第Ⅰ篇 高考专题讲练 思想篇
角度一 函数与方程思想
函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题.求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,往往都可利用函数思想转化为函数问题.
方程思想是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题.如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅲ]设a=log0.20.3,b=log20.3,则 ( )
A.a+b
0,b<0,且0<1a+1b=a+bab=log0.30.4<1,可得ab0,函数f(x)=x2+2ax+a,x≤0,-x2+2ax-2a,x>0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 .
就x的范围分段处理方程f(x)=ax,得到两个含有参数a的关于x的方程,通过方程根的情况得出a的取值范围.答案:(4,8)
[2016全国卷Ⅱ]函数f(x)=cos 2x+6cosπ2-x的最大值为 ( )
A.4
B.5
C.6
D.7
先化简为关于sin x的表达式,再用二次函数的性质去解.答案:B
[2016全国卷Ⅲ]已知a=243,b=425,c=2513,则 ( )
A.b0)的焦点为F,过点F且倾斜角为π4的直线l与抛物线相交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点-p2,2,则该抛物线的方程为 .
角度二 数形结合思想
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想体现了数与形之间的转化,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,即将代数问题几何化、几何问题代数化.
数形结合思想常用来解决函数零点、方程根与不等式问题,参数范围问题,以立体几何为模型的代数问题,解析几何中的斜率、截距、距离等问题.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅰ]已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )
A.32 B.3 C.23 D.4
不妨设∠OMF=90,由渐近线方程及图形可知,|OM|=|OF|cos 30,|MN|=|OM|tan 60.答案:B
[2018全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
g(x)有两个零点等价于f(x)的图像与直线y=-x-a有两个不同的交点,作图求解.答案:C
[2017全国卷Ⅱ]已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是( )
A.-2 B.-32 C.-43 D.-1
建立平面直角坐标系,将各点、各向量用坐标表示出来,再求最小值.答案:B
[2017全国卷Ⅲ]设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+fx-12>1的x的取值范围是 .
先写出函数fx-12,考查不等式fx-12>1-f(x),画出y=fx-12与y=1-f(x)的图像,由图像得解集.答案:-14,+∞
测题
1.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,ABAD=-1,点M在边CD上,则MAMB的最大值为 ( )
A.2 B.22-1 C.5 D.3-1
2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,则异面直线AB1与CA1所成的角的余弦值为 ( )
A.0 B.-14 C.14 D.12
3.不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则实数a的取值范围是 .
4.已知函数f(x)=-x2-2x,x≤m,x-4,x>m,如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为 .
角度三 分类讨论思想
分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题,通过对基础问题的解答解决原问题的思维策略,实质上就是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.使用分类讨论思想应明白这样几点:一是引起分类讨论的原因;二是分类讨论的原则,不重不漏,分类标准统一;三是明确分类讨论的步骤.
常见的分类讨论问题有以下几种:1.由概念引起的分类讨论;2.由性质、定理、公式的限制条件引起的分类讨论;3.由数学运算引起的分类讨论;4.图形的不确定性引起的分类讨论;5.由参数的变化引起的分类讨论.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅰ]从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)
分两类求解:3人中1女2男,3人中2女1男.答案:16
[2017全国卷Ⅰ]设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120,则m的取值范围是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,3]∪[4,+∞)
分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论.答案:A
[2017天津卷]已知函数f(x)=x2-x+3,x≤1,x+2x,x>1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是 ( )
A.-4716,2 B.-4716,3916 C.[-23,2] D.-23,3916
分x≤1,x>1两种情况,分别求参数a.答案:A
[2016全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ( )
A.4π
B.9π2
C.6π
D.32π3
分球与三棱柱的三个侧面相切和球与三棱柱的上、下两个底面相切进行讨论.答案:B
测题
1.设函数f(x)=x2-1(x≥2),log2x(00)上一点到两焦点的距离之和为m-3,则此椭圆的离心率为 ( )
A.53 B.53或217
C.217 D.37或59
3.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且4不在第四位,则这样的六位数共有 个.
4.已知函数f(x)=x,x≥a,x3-3x,x0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是 ( )
A.(22,+∞) B.(-∞,22)
C.(-∞,3) D.-∞,275
3.已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则点P到这两条直线的距离之和的最小值为( )
A.2 B.234
C.161534 D.181734
4.已知平面向量OA,OB,OC满足:|OA|=|OB|=|OC|=1,OAOB=12.若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x+y的最大值是 ( )
A.1 B.33
C.2 D.233
思想篇 数学思想方法应用
角度一
1.A [解析] x,y,z为正实数,设k=log2x=log3y=log5z<0,则x2=2k-1,y3=3k-1,z5=5k-1,可得2x=21-k>1,3y=31-k>1,5z=51-k>1.因为函数f(x)=x1-k单调递增,所以2x<3y<5z.
2.D [解析] 以C为原点,CB为x轴正半轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(3,0).设D(t,3t)0≤t≤32,则BDBC=(t-3,3t)(-3,0)=9-3t≥9-332=92,即BDBC的最小值为92,故选D.
3.A [解析] 根据向量的运算得到BDCD=(BC+CD)CD=BCCD+14,设BC=x,x∈(0,2),∠BCD=θ,则BDCD=-x2cos θ+14=-x2+14∈-34,14,故选A.
4.y2=4x [解析] 易知以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切,又以线段AB为直径的圆过点-p2,2,所以可知线段AB的中点的纵坐标为2.直线l的方程为y=x-p2,由y=x-p2,y2=2px,可得y2-2py-p2=0,则线段AB中点的纵坐标为2p2=2,解得p=2,所以该抛物线的方程为y2=4x.
角度二
1.A [解析] ∵在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,ABAD=-1,即|AB||AD|cos A=-1,
∴cos A=-12,∴A=120.以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AB的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D-12,32.设Mx,32,则-12≤x≤32,∴MA=-x,-32,MB=2-x,-32,
∴MAMB=x(x-2)+34=x2-2x+34=(x-1)2-14.设f(x)=(x-1)2-14,x∈-12,32,易知当x=-12时,f(x)取得最大值2.故选A.
2.C [解析] 以A为原点,AC为y轴,AA1为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B1(3,1,2),A1(0,0,2),C(0,2,0),
AB1=(3,1,2),A1C=(0,2,-2).
设异面直线AB1与A1C所成的角为θ,则cos θ=AB1A1C|AB1||A1C|=288=14.
3.12,4 [解析] 满足约束条件的平面区域D如图中阴影部分所示.因为直线y=a(x+1)过定点(-1,0),所以当直线y=a(x+1)过点B(0,4)时,得到a=4;当直线y=a(x+1)过点A(1,1)时,得到a=12.又因为直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点,所以12≤a≤4.
4.[-2,0)∪[4,+∞) [解析] 作出函数y=-x2-2x和y=x-4的图像,如图所示,要使函数f(x)恰有两个零点,则-2≤m<0或m≥4,即实数m的取值范围是[-2,0)∪[4,+∞).
角度三
1.D [解析] 当m≥2时,m2-1=3,∴m2=4,∴m=2,∵m≥2,∴m=2.
当00,即m>3,若a2=4,即a=2,则m-3=4,即m=7>4,不合题意,因此a2=m,即a=m,则2m=m-3,解得m=9,则a=3,c=m-4=5,所以椭圆的离心率e=53.故选A.
3.120 [解析] 先排好3个偶数,则从左到右有4个空,若排第1,2,3个空,则由于4不在第四位,故共有A21A22A33=24(种)排法;若排第1,2,4个空,则由于4不在第四位,故共有A21A22A33=24(种)排法;若排第1,3,4个空,则4不会在第四位,共有A33A33=36(种)排法;若排第2,3,4个空,则4不会在第四位,共有A33A33=36(种)排法.因此共有24+24+36+36=120(种)排法,故这样的六位数共有120个.
4.-32,2 [解析] g(x)=(2-a)x,x≥a,2x3-(6+a)x,x0且a≠2,则g(x)在[a,+∞)上无零点,在(-∞,a)上存在零点x=0和x=-6+a2,且6+a2≥a,∴00在区间[1,5]上有解,即x+2x>a,x∈[1,5]有解.设f(x)=x+2x,x∈[1,5],则f(x)的最大值为f(5)=275,故选D.
3.D [解析] 由题意得,抛物线C:y2=8x的准线为l1:x=-2,焦点为F(2,0).如图所示,
过点P作PM⊥l1于M,由抛物线的定义可得|PM|=|PF|.
设点P到直线l2的距离为d,
则d+|PM|=d+|PF|.
结合图形可得,点P到两条直线的距离之和的最小值即为抛物线的焦点F到l2的距离,
即为|32+30|32+52=183417.故选D.
4.D [解析] 由|OC|=1,可设C(cos θ,sin θ).由OAOB=12,|OA|=|OB|=1,可设A(1,0),B12,32.由已知可得cos θ=x+y2,sin θ=32y,
即得y=2sinθ3,x=cos θ-sinθ3,则x+y=cos θ+sinθ3=23sinθ+π3,所以x+y的最大值是233,故选D.