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17直线方程与圆的方程1.已知三点A(1,-2),B(a,-1),C(-b, 0)共线,则1+2aa+2+bb(a0,b0)的最小值为().A.11B.10C.6D.4解析由题意知,kAB=kBC,所以2a+b=1,所以1+2aa+2+bb=3+1a+2b=3+1a+2b(2a+b)=3+4+4ab+ba7+24abba=11,当且仅当a=14,b=12时等号成立,故选A.答案A2.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=33x对称的圆的方程是().A.(x-3)2+(y-1)2=4B.(x-2)2+(y-2)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-3)2=4解析设所求圆的圆心为(a,b),则b2=33a+22,ba-2=-3,所以a=1,b=3,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=4,故选D.答案D3.若圆x2+y2+4x-2y-a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2,则实数a=().A.2B.-2C.4D.4解析圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=5+a2,则圆心坐标为(-2,1),半径r=a2+5.所以圆心到直线x+y+5=0的距离为|-2+1+5|2=22.由1+(22)2=5+a2,得a=2,故选A.答案A4.已知AB为圆C:x2+y2-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则|PA|2+|PB|2的最小值为.解析圆心C(0,1),设PCA=,|PC|=m,则|PA|2=m2+1-2mcos ,|PB|2=m2+1-2mcos(-)=m2+1+2mcos ,|PA|2+|PB|2=2m2+2.又点C到直线y=x-1的距离d=|0-1-1|2=2,即m的最小值为2,|PA|2+|PB|2的最小值为2(2)2+2=6.答案6能力1会用直线方程判断两条直线的位置关系【例1】已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(m+5)y=8,则“l1l2”是“m-1”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若l1l2,则(3+m)(5+m)=42,解得m=-1或m=-7,经检验,当m=-1时,l1与l2重合,m=-7,故“l1l2”是“m-1”的充分不必要条件,故选A.答案A(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.设aR,则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若两条直线平行,则a1=1a-11,解得a2=1,且a-1,所以a=1,即“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的充要条件,故选C.答案C能力2会结合平面几何知识求圆的方程【例2】若圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是().A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0解析设圆心为(0,b),半径为r,则r=|b|,故圆的方程为x2+(y-b)2=b2.点(3,1)在圆上,9+(1-b)2=b2,解得b=5.圆的方程为x2+y2-10y=0,故选B.答案B确定圆心位置的方法:(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是().A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1解析设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.答案A能力3会用几何法求直线与圆中的弦长问题【例3】若直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是().A.x=0B.y=1C.x+y-1=0D.x-y+1=0解析依题意,直线l:y=kx+1过定点P(0,1),圆C:x2+y2-2x-3=0化为标准方程为(x-1)2+y2=4,故圆心为C(1,0),半径r=2,则易知定点P(0,1)在圆内,由圆的性质可知当PCl时,此时直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长最短.因为kPC=1-00-1=-1,所以直线l的斜率k=1,即直线l的方程是x-y+1=0,故选D.答案D有关弦长问题的两种求法:如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2r2-d2若斜率为k的直线与圆相交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,则|AB|=1+k2(xA+xB)2-4xAxB=1+1k2(yA+yB)2-4yAyB,其中k0.特别地,当k=0时,|AB|=|xA-xB|;当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB|过点(2,0)引直线l与圆x2+y2=2相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB面积取最大值时,直线l的斜率为.解析由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,当AOB面积取最大值时,OAOB,此时圆心O到直线l的距离d=1,由点到直线的距离公式得d=|2k|1+k2=1,k=33.答案33能力4会用数形结合解决直线和圆中的最值问题【例4】已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B为切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值是().A.2B.22C.3D.23解析圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径r=1.根据对称性可知,四边形PACB的面积为2SAPC=212|PA|r=|PA|=|PC|2-r2,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,当|PC|最小时,圆心到直线l:3x-4y+11=0的距离d=|3-4+11|32+(-4)2=105=2,所以四边形PACB面积的最小值为|PC|min2-r2=4-1=3,故选C.答案C解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则ABP面积的最小值为().A.6B.112C.8D.212解析如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,此时ABP的面积最小.直线AB的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,圆心C(0,1)到直线AB的距离d=|30-41-12|32+(-4)2=165,|AB|=5,所以ABP面积的最小值为125165-1=112,故选B.答案B一、选择题1.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是().A.-1k15B.-1k12C.k15D.k12解析设直线l的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-2k.由-31-2k3,得k12,故选D.答案D2.已知圆C:(x-a)2+y2=1与抛物线y2=-4x的准线相切,则a的值是().A.0B.2C.0或1D.0或2解析圆心坐标为(a,0),准线方程为x=1,所以|a-1|=1,解得a=0或a=2,故选D.答案D3.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是().A.2B.8C.175D.1710解析直线方程6x+my-14=0可化为3x+m2y-7=0,所以两条平行直线之间的距离d=|3-(-7)|5=2,故选A.答案A4.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是().A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4解析AB的垂直平分线为y=x,直线y=x与x+y-2=0的交点是(1,1),即圆的圆心坐标为(1,1),故半径r=(1-1)2+1-(-1)2=2,故选C.答案C5.若过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为().A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=0解析由过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,得点(3,1)在圆上,代入可得r2=5,圆的方程为(x-1)2+y2=5,则得过点(3,1)的切线方程为(x-1)(3-1)+y(1-0)=5,即2x+y-7=0,故选B.答案B6.已知过原点的直线l与圆C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B,且线段AB的中点D的坐标为(2,2),则弦长|AB|为().A.2B.3C.4D.5解析圆C:x2+y2-6x+5=0,整理得其标准方程为(x-3)2+y2=4,圆C的圆心坐标为(3,0),半径为2.线段AB的中点为D(2,2),|CD|=1+2=3,|AB|=2|AD|=24-3=2,故选A.答案A7.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,则圆O2的方程为().A.(x-2)2+(y-1)2=6B.(x-2)2+(y-1)2=22C.(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22D.(x-2)2+(y-1)2=36或(x-2)2+(y-1)2=32解析设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r0),因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0,所以圆心O1到直线AB的距离d=|r2-14|42.由d2+22=6,得(r2-14)232=2,所以r2-14=8,r2=6或r2=22.故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22,故选C.答案C8.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=r2(r0),若p:1r3;q:圆C上至多有3个点到直线x-3y+3=0的距离为1,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析圆心C(1,0)到直线x-3y+3=0的距离d=|1-30+3|1+3=2,当r=1时,圆上恰有一个点到直线的距离为1;当1r3时,圆上有两个点到直线的距离为1;当r=3时,圆上有三个点到直线的距离为1.所以pq.若圆C上不存在点到直线的距离为1,则0r0),半径为r,所以(a-2)2=r2,a2+(0+1)2=r2,a2+(0-1)2=r2,解得a=34,r2=2516.故圆E的标准方程为x-342+y2=2516,故选C.答案C10.已知直线l:x+y-1=0被圆O:x2+y2=r2(r0)所截得的弦长为14,交点为M,N,且直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,若PMPN,则|MN|的取值范围为().A.2-2,2+3B.2-2,2+2C.6-2,6+3D.6-2,6+2 解析由题意知,2r2-12=14,解得r=2.因为直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,所以点P的坐标为(1,1).设MN的中点为Q(x,y),则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得x-122+y-122=32,所以点Q的轨迹是以12,12为圆心,62为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为6-22,6+22.又|MN|=2|PQ|,所以|MN|的取值范围为6-2,6+2,故选D.答案D二、填空题11.已知点A(-2,0),P为圆C:(x+4)2+y2=16上任意一点,若在x轴上存在点B满足2|PA|=|PB|,则点B的坐标为.解析设B(a,0),P(x,y),则2(x+2)2+y2=(x-a)2+(y-0)2,整理得到3x2+3y2+(16+2a)x+16-a2=0.又P(x,y)在圆C:(x+4)2+y2=16上,则x2+y2+8x=0,从而16-a2=0,31=16+2a8,解得a=4.故点B的坐标为(4,0).答案(4,0)12.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y-4)2=1,过动点P(a,b)分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN(M、N分别为切点),若PM=PN,则(a-5)2+(b+1)2的最小值是.解析在RtPMC1与RtPNC2中,PM=PN,MC1=NC2=1,所以RtPMC1与RtPNC2全等,所以PC1=PC2,则点P在线段C1C2的垂直平分线上,根据C1(0,0),C2(2,4)可求得其垂直平分线的方程为x+2y-5=0.因为(a-5)2+(b+1)2表示P(a,b),Q(5,-1)两点间的距离,所以最小值就是点Q到x+2y-5=0的距离,利用点到直线的距离公式可求出最小值为255.答案255三、解答题13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为(3,0),A为椭圆C的右顶点,以A为圆心的圆A与直线y=bax相交于P,Q两点,且APAQ=0,OP=3OQ,求椭圆C的标准方程和圆A的方程.解析设T为线段PQ的中点,连接AT,则ATPQ.APAQ=0,即APAQ,|AT|=12|PQ|.又OP=3OQ,则|OT|=|PQ|,|AT|OT|=12,即ba=12.由c=3,得a2=4,b2=1,故椭圆C的标准方程为x24+y2=1.又|AT|2+|OT|2=a2=4,则|AT|2+4|AT|2=4,|AT|=255,r=|AP|=2105,故圆A的方程为(x-2)2+y2=85.
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