第Ⅰ篇 高考专题讲练 方法篇
角度一 特值(例)排除法
特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等,针对各选项进行代入对照,结合排除法,从而得到正确的答案.
(1)使用前提:满足当一般性结论成立时,对符合条件的特殊化情况也一定成立.
(2)使用技巧:找到满足条件的合适的特殊化例子,或举反例排除,有时甚至需要两次或两次以上特殊化例子才可以确定结论.
(3)常见问题:求范围、比较大小、含字母求值、恒成立问题、任意性问题等.而对于函数图像的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题,常通过排除法解决.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅲ]函数y=-x4+x2+2的图像大致为( )
图F1-1
当x=0时,y=2,排除A,B;当x=0.5时,x2>x4,所以此时y>2,排除C.故选D
[2018全国卷Ⅰ]图F1-2来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( )
图F1-2
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
不妨设三角形ABC为等腰直角三角形,则易得区域Ⅰ,Ⅱ的面积相等.答案:A
[2016全国卷Ⅱ]函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图F1-3所示,则 ( )
图F1-3
A.y=2sin2x-π6
B.y=2sin2x-π3
C.y=2sinx+π6
D.y=2sinx+π3
令x=0和x=π3,验证可得结果.答案:A
[2017全国卷Ⅰ]已知α∈0,π2,tan α=2,则cosα-π4= .
取角α终边上特殊点(1,2),利用定义代入计算,求sin α,cos α.答案:31010
[2017全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
当x=4时,f(x-2)=
f(2)
b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 ( )
A.a+1bb|b|,则下列不等式一定成立的是( )
A.a3>b3 B.a2>b2
C.1a<1b D.log12|a|0,0,x=0,-1,x<0,则函数f(x)=sin xsgn x的图像大致是( )
A B
C D
图F1-4
3.已知函数f(x)=-x2+ax,x≤1,a2x-7a+14,x>1,若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围为( )
A.a<2
B.34,x-ay≤2},则 ( )
A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉A
C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a≤32时,(2,1)∉A
对a取数字验证.a=0时,A错;a=2时,B错;a=32时,C错.所以选D
[2018全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
当sin x=0,cos x=1时,函数值为4,所以A,C错;把x+π代入验证,可得f(x+π)=f(x),说明D错.故选B
[2018全国卷Ⅲ]下列函数中,其图像与函数y=ln x的图像关于直线x=1对称的是 ( )
A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
函数y=ln x的图像过定点(1,0),而(1,0)关于直线x=1对称的点还是(1,0),将(1,0)代入选项验证.答案:B
[2017全国卷Ⅰ]设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120,则m的取值范围是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
选取四个选项的差异值m=3,m=4代入验证.答案:A
[2014全国卷Ⅰ]若tan α>0,则 ( )
A.sin α>0B.cos α>0
C.sin 2α>0 D.cos 2α>0
令α=60,210,逐个验证选项.答案:C
测题
1.已知函数f(x)=1x-a为奇函数,g(x)=ln x-2f(x),则函数g(x)的零点所在区间为 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
2.已知函数f(x)=sinωx+π6(其中ω>0)图像的一条对称轴为直线x=π12,则ω的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.10 D.16
3.已知函数f(x)=-x3-7x+sin x,若f(a2)+f(a-2)>0,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,3)
C.(-1,2) D.(-2,1)
4.圆C:x2+y2=2,点P为直线x3+y6=1上的一个动点,过点P向圆C作切线,切点分别为A,B,则直线AB过定点 ( )
A.12,13 B.23,13
C.13,12 D.13,23
角度三 估算法
由于选择题提供了唯一正确的答案,又不需写出过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算获得答案,这样往往可以减少运算量.估算省去了很多推导过程和复杂的计算,节省时间.
(1)使用前提:针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的命题,常与特值法结合起来使用.
(2)使用技巧:对于数值计算,常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等;对于几何体问题,常进行分割、拼凑、位置估算.
(3)常见问题:求几何体的表面积、几何体的体积、三角函数的值、离心率、参数的范围等.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅲ]设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ( )
A.123B.183
C.243 D.543
等边三角形ABC的面积为93,显然球心不是此三角形的中心,所以三棱锥体积最大时,三棱锥的高应在区间(4,8)内,所以13934b>cB.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
a=log2e>1,b=ln 2=1log2e∈(0,1),c=log1213=log23>log2e,据此可得c>a>b.故选D
[2017全国卷Ⅲ]函数f(x)=15sinx+π3+cosx-π6的最大值为( )
A.65 B.1 C.35 D.15
当x=π6时,函数值大于1,故选A
[2017全国卷Ⅱ]若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(2,2)
C.(1,2) D.(1,2)
列出关于e的表达式,用a表示,根据a>1,估算e的范围.答案:C
测题
1.某班设计了一个八边形的班徽(如图F3-1), 它由四个腰长为1,顶角为α的等腰三角形和一个正方形组成,则该八边形的面积为 ( )
图F3-1
A.2sin α-2cos α+2
B.sin α-3cos α+3
C.3sin α-3cos α+1
D.2sin α-cos α+1
2.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上的一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为( )
A.a
B.b
C.a2+b2
D.a+b-a2+b2
3.sin 1,sin 2,sin 3的大小关系为 ( )
A.sin 1>sin 2>sin 3
B.sin 2>sin 1>sin 3
C.sin 3>sin 2>sin 1
D.sin 2>sin 3>sin 1
4.若0<α<β<π4,sin α+cos α=a,sin β+cos β=b,则( )
A.ab
C.ab<1 D.ab>2
角度四 构造法
构造法是一种创造性的解题方法,它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想.利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等,从而简化推理与计算过程,使较复杂的或不易求解的数学问题简单化.
构造法来源于对基础知识和基本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从类似的问题中找到构造的灵感.
(1)使用前提:所构造的函数、方程、图形等要合理,不能超出原题的限制条件.
(2)使用技巧:对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函数,对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理.
(3)常见问题:比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等.
示例
解法关键
[2018全国卷Ⅱ]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ( )
A.15 B.56 C.55 D.22
在长方体ABCD-A1B1C1D1的面ABB1A1的一侧再补填一个完全一样的长方体ABC2D2-A1B1B2A2,研究△AB2D1即可.答案:C
[2016全国卷Ⅱ]α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
构造正方体,将有关棱与面看作问题中有关线与面,逐一判断.答案:②③④
[2016全国卷Ⅰ]若a>b>0,0cb
构造函数y=logcx和y=xc,利用函数的单调性可解决.答案:B
[2015全国卷Ⅱ]设函数f(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
据题意构造新函数g(x)=f(x)x,先求导再解题.答案:A
[2015全国卷Ⅱ]设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .
由an+1=Sn+1-Sn变形,再构造等差数列1Sn求解.答案:-1n
测题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15= ( )
A.35 B.42
C.49 D.63
2.已知a>b>0,则下列不等式中成立的是 ( )
A.1a>1b
B.log2ab-12
3.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图F4-1,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ( )
图F4-1
A.12 B.-12
C.32 D.-32
4.设函数f(x)的导函数为f(x),且对任意x∈R都有f(x)>f(x)成立,则 ( )
A.3f(ln 2)>2f(ln 3)
B.3f(ln 2)=2f(ln 3)
C.3f(ln 2)<2f(ln 3)
D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小关系不确定
方法篇 选填题的特殊解法
角度一
1.A [解析] (利用排除法)当a=-1,b=-2时,a2>b2与log12|a|0,故排除D选项;当π1,f(-1)=f(1)=-1,故a=0符合题意,排除B,D选项;当a=4时,由函数f(x)的图像(图略)可知,符合题意,排除A选项.故选C.
4.C [解析] (特殊位置法)取A(0,3),B(0,-3),P(-5,0),则直线OM,ON的方程分别为y=35x,y=-35x,可得M52,32,N52,-32,所以S△MON=152.故选C.
5.2 [解析] (选用特殊图形)设△ABC为等边三角形,则有tan C=3,S=34a2,满足题中条件(a2+b2)tan C=8S,所以sin2A+sin2Bsin2C=2.
角度二
1.C [解析] 函数f(x)=1x-a为奇函数,可得a=0,
则g(x)=ln x-2f(x)=ln x-2x,显然函数g(x)为增函数,且有g(1)=ln 1-2=-2<0,g(2)=ln 2-1<0,g(3)=ln 3-23>0,g(4)=ln 4-12>0,g(2)g(3)<0,故函数g(x)的零点所在区间为(2,3),故选C.
2.B [解析] (从选项验证)若ω=2,则当x=π12时,f(x)=sin2π12+π6=32,不符合题意;若ω=4,则当x=π12时,f(x)=sin4π12+π6=1,符合题意.所以ω的最小值为4.
3.D [解析] (从选项分析)若a=1,则f(a2)+f(a-2)=f(1)+f(-1)=0,不满足f(a2)+f(a-2)>0,所以B,C错;若a=-2,则f(a2)+f(a-2)=f(4)+f(-4)=0,也不满足f(a2)+f(a-2)>0,所以A错.故选D.
4.B [解析] 如图所示,不妨设P(3,0),AB垂直x轴于点D.在直角三角形OAP中,根据射影定理可知(2)2=|OD|3,则|OD|=23,即过切点A,B的直线方程为x=23.四个选项中,只有B选项符合,故选B.
角度三
1.A [解析] 当顶角α→π时,八边形几乎是边长为2的正方形,面积接近于4,四个选项中,只有A符合,故选A.
2.A [解析] 如图,点P沿双曲线向右顶点无限接近时,△PF1F2的内切圆越来越小,直至“点圆”,此“点圆”应为右顶点,则内切圆圆心的横坐标为a,故选A.
3.B [解析] 因为sin 1=sin(π-1),π2<2<π-1,正弦函数在π2,π上单调递减,所以sin 2>sin(π-1),即sin 2>sin 1.因为sin 1=sin(π-1),π2<π-1<3<π,正弦函数在π2,π上单调递减,所以sin(π-1)>sin 3,即sin 1>sin 3.综上所述,sin 2>sin 1>sin 3.
4.A [解析] 若α→0,则sin α+cos α=a→1.若β→π4,则sin β+cos β=b→2,从而b>a,结合选项分析,应选A.
角度四
1.B [解析] (构造新数列)易知S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=214,解得S15=42.
2.C [解析] (构造函数)因为a>b>0,所以1a<1b.因为y=log2x为单调递增函数,所以log2a>log2b.因为y=x-12(x>0)为单调递减函数,所以a-12f(x)成立,所以g(x)>0,即g(x)在R上单调递增.又ln 2
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