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考点规范练34直接证明与间接证明基础巩固组1.用反证法证明命题:“如果a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为()A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除答案B解析因为命题:“如果a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”的否定是a,b都不能被5整除,所以用反证法证明该命题时假设的内容应为a,b都不能被5整除.故选B.2.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2答案D解析a0,b0,c0,a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c6,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.3.已知p=ab+cd,q=ma+ncbm+dn(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小关系为()A.pqB.pqC.pqD.不确定答案B解析q=ab+madn+nbcm+cdab+2abcd+cd=ab+cd=p.4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x20,可知x1-x2,即f(x1)f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)0,故选A.5.在ABC中,sin Asin Ccos Acos C,则ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案C解析由sinAsinC0,即cos(A+C)0,则A+C是锐角,从而B2,故ABC必是钝角三角形.6.已知2+23=223,3+38=338,4+415=4415,若6+at=6at(a,t均为正实数),类比以上等式可推测出a,t的值,则a+t=.答案41解析按题中的等式可推测出a=6,t=a2-1=35,则a+t=6+35=41.7.设a,b,c是不全相等的实数,给出下列判断:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20;ab,ab2+c2解析由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc0,则b2+c2-a2b2+c2.能力提升组9.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是()A.B.C.D.答案C解析若a=12,b=23,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,假设a1且b1,则a+b2,与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故选C.10.已知x为正实数,不等式x+1x2,x+4x23,x+27x34,可推广为x+axnn+1,则a的值为()A.2nB.n2C.22(n-1)D.nn答案D解析因为第一个式子中a=11,第二个式子中a=4=22,第三个式子中a=27=33,所以猜想第n个式子中a=nn.故选D.11.已知函数f(x)=12x,a,b是正实数,A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,则A,B,C的大小关系为()A.ABCB.ACBC.BCAD.CBA答案A解析因为a+b2ab2aba+b,又f(x)=12x在R上是减函数,所以fa+b2f(ab)f2aba+b.12.设x,y,z均大于0,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2答案C解析因为x0,y0,z0,所以yx+yz+zx+zy+xz+xy=yx+xy+yz+zy+xz+zx6,当且仅当x=y=z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于2.13.已知p3+q3=2,求证p+q2,用反证法证明时,可假设p+q2;已知a,bR,|a|+|b|2,所以不正确;对于,其假设正确.14.如果1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*都成立,那么a=,b=,c=.答案121414解析等式1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*均成立,n=1,2,3时等式成立,即1=3(a-b)+c,1+23=32(2a-b)+c,1+23+332=33(3a-b)+c,整理得3a-3b+c=1,18a-9b+c=7,81a-27b+c=34,解得a=12,b=c=14.故答案为12,14,14.15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为Pyx2+y2,-xx2+y2,当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:若点A的“伴随点”是点A,则点A的“伴随点”是点A;单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.答案解析对于,令P(1,1),则其“伴随点”为P12,12,而P12,12的“伴随点”为(-1,-1),并不是P,故错误;对于,设P(x,y)是单位圆C:x2+y2=1上的点,其“伴随点”为P(x,y),则有x=yx2+y2,y=-xx2+y2,所以x2+y2=yx2+y22+-xx2+y22=1x2+y2=1,所以正确;对于,设P(x,y)的“伴随点”为Pyx2+y2,-xx2+y2,P1(x,-y)的“伴随点”为P1-yx2+y2,-xx2+y2,易知Pyx2+y2,-xx2+y2与P1-yx2+y2,-xx2+y2关于y轴对称,所以正确;对于,设原直线的解析式为Ax+By+C=0,其中A,B不同时为0,且P(x0,y0)为该直线上一点,P(x0,y0)的“伴随点”为P(x,y),其中P,P都不是原点,且x=y0x02+y02,y=-x0x02+y02,则x0=-(x02+y02)y,y0=(x02+y02)x.将P(x0,y0)代入原直线方程,得A(x02+y02)y+B(x02+y02)x+C=0,则-Ay+Bx+Cx02+y02=0,由于x02+y02的值不确定,所以“伴随点”不一定共线,所以错误.16.已知函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2D(x1x2),都有fx1+x22f(x1)+f(x2)2成立,则称y=f(x)为D上的凹函数.由此可得下列函数中为凹函数的是.y=log2x;y=x;y=x2;y=x3.答案解析对于y=x2,证明如下:欲证fx1+x22f(x1)+f(x2)2,即证x1+x222x12+x222,即证(x1+x2)20,又x1x2,所以这个不等式是成立的,故原不等式得证.17.设函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-a2,3a2c2b.求证:(1)a0且-3ba2c2b,a0,b2c2b得b-3a,4b-3a.-3ba-34.(2)假设函数f(x)在区间(0,2)内没有零点.f(1)=-a20矛盾,函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.18.已知函数f(x)=x3+11+x,x0,1,求证:(1)f(x)1-x+x2;(2)3434,所以f(x)34.综上,34f(x)32.
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