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第一节 曲线运动 运动的合成与分解李仕才班别 姓名 学号 一、学习目标1.熟记曲线运动的概念、特点及条件.2.掌握运动的合成与分解法则.3.掌握小船渡河、与绳或杆相关联的物体速度的求解方法.二、知识梳理考点一曲线运动的条件及运动轨迹分析【典例1】如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图,且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直,则质点从A点运动到E点的过程中,下列说法中正确的是( )A.质点经过C点的速率比D点的大B.质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90C.质点经过D点时的加速度比B点的大D.质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小【即时训练1】关于曲线运动,下列说法中正确的是( )A.做曲线运动的物体速度方向必定变化B.速度变化的运动必定是曲线运动C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动D.加速度变化的运动必定是曲线运动【即时训练2】一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变则该质点()A不可能做匀变速运动B速度的大小保持不变C速度的方向总是与该恒力的方向垂直D任意相等时间内速度的变化量总相同【解析】恒力施加后，物体一定做匀变速运动，可能是曲线运动，也可能是直线运动，故选项D正确【答案】D考点二运动的合成、分解及运动性质分析两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线，为匀变速直线运动如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动【典例2】 如图(甲)所示,在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水,水中放一个蜡块,将玻璃管的开口端用胶塞塞紧.然后将这个玻璃管倒置,在蜡块沿玻璃管上升的同时,将玻璃管水平向右移动.假设从某时刻开始计时,蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm,玻璃管向右匀加速平移,每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm,7.5 cm,12.5 cm,17.5 cm.图(乙)中y表示蜡块竖直方向的位移,x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移,t=0时蜡块位于坐标原点.(1)请在图(乙)中画出蜡块4 s内的轨迹;(2)求出玻璃管向右平移的加速度大小;(3)求t=2 s时蜡块的速度v的大小.【即时训练3】在某次杂技表演中,猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,同时人顶着直杆以速度v0水平匀速运动,经过时间t,猴子沿杆向上运动的高度为h,人顶杆沿水平地面运动的距离为x,如图所示.关于猴子的运动情况,下列说法正确的是( )A.猴子相对于地面的运动轨迹为直线B.猴子相对于地面做变加速曲线运动C.t时刻猴子相对于地面的速度大小为v0+atD.t时间内猴子相对于地面的位移大小为【即时训练4】（多选）如图所示，起重机将货物沿竖直方向以速度v1匀速吊起，同时又沿横梁以速度v2水平匀速向右运动，关于货物的运动下列表述正确的是()A货物的实际运动速度为v1v2B货物的实际运动速度为C货物相对地面做曲线运动D货物相对地面做直线运动【解析】货物的实际速度为，选项B正确，A错误；货物的速度大小和方向均不变，做直线运动，D正确，C错误【答案】BD考点三小船渡河问题1模型展示 2三种速度：v1(水的流速)、v2(船在静水中的速度)、v(船的实际速度)3三种情景过河要求过河方法图象以最短时间过河船头垂直对岸(在下游上岸) tmin以最短位移过河v2v1时，船头指向上游，垂直到达对岸位移xd，船头方向与河岸方向的夹角为，那么cos 渡河时间t位移xv2v1时，运动方向与船头方向垂直船头方向与河岸间的夹角为，那么cos 渡河时间t位移x【典例3】一小船渡河，河宽d180 m，船在静水中的速度为v15 m/s，水流速度v22.5 m/s.求：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？【解析】(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v15 m/s.ts36 sv m/sxvt90 m.(2)欲使船渡河航程最短，合速度应垂直于河岸，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角如图乙所示，有v1sin v2，得30所以当船头向上游垂直河岸方向偏30时航程最短xd180 m.t s24 s.【答案】(1)垂直河岸方向36 s90 m(2)向上游垂直河岸方向偏3024 s180 m【即时训练5】 (多选)小船横渡一条两岸平行的河流,船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船头方向垂直于河岸,水流速度与河岸平行,已知小船的运动轨迹如图所示,则( )A.越接近河岸水流速度越小B.越接近河岸水流速度越大C.无论水流速度是否变化,这种渡河方式耗时最短D.该船渡河的时间会受水流速度变化的影响【即时训练6】 (多选)河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图(甲)所示,船在静水中的速度与时间的关系如图(乙)所示,若要使船以最短时间渡河,则( )A.船渡河的最短时间是60 sB.船在行驶过程中,船头始终与河岸垂直C.船在河水中航行的轨迹是一条直线D.船在河水中的最大速度是5 m/s【即时训练7】如图所示,船从A处开出后沿直线AB到达对岸,若AB与河岸成37角,水流速度为4 m/s,则船从A点开出的最小速度为( )A.2 m/s B.2.4 m/s C.3 m/s D.3.5 m/s【方法技巧】 (1)“三模型、两方案”(2)解决问题的关键正确区分分运动和合运动,船的划行方向也就是船头指向,是分运动.船的运动方向也就是船的实际运动方向,是合运动,一般情况下与船头指向不一致.考点四关联速度问题1模型特点沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等2思路与方法合速度绳拉物体的实际运动速度v分速度方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则3解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解常见的模型如下图所示【典例4】 (2018陕西宝鸡模拟)如图所示,水平光滑长杆上套有一物块Q,跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q,另一端悬挂一物块P.设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为,初始时很小.现将P,Q由静止同时释放,关于P,Q以后的运动下列说法正确的是( )A.当=60时,P,Q的速度之比是 2B.当=90时,Q的速度最大C.当=90时,Q的速度为零D.当增大到90的过程中Q的合力一直增大【例题拓展】 上述例题中,若物块Q,P质量相等,长杆到圆环距离为h.(1)当=90时,物体Q的速度是多少?(2)随着Q向右运动,P能否回到初始位置?【即时训练7】（多选）如图所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为、，下列说法正确的是() A此时B球的速度为 vB此时B球的速度为 vC在增大到90的过程中，B球做匀速运动D在增大到90的过程中，B球做加速运动【解析】由速度的合成与分解知，A、B两球沿绳方向的分速度相等，则vcos vBcos ，可得vBv，A正确，B错误；在A球向左匀速运动的过程中，减小、增大，余弦函数为减函数，故在增大到90的过程中，B球做加速运动，C错误，D正确【答案】AD【即时训练8】两根光滑的杆互相垂直地固定在一起,上面分别穿有一个小球,小球a,b间用一细直棒相连,如图所示.当细直棒与竖直杆夹角为时,求两小球实际速度大小之比.【即时训练9】（多选）在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑细杆AB的两个端点A、B被分别约束在x轴和y轴上运动，现让A沿x轴正方向以v0匀速运动，已知P点为杆的中点，杆AB与x轴的夹角为，下列关于P点的运动轨迹和P点的运动速度大小v的表达式正确的是() AP点的运动轨迹是一条直线BP点的运动轨迹是圆的一部分CP点的运动速度大小vv0tan DP点的运动速度大小v【解析】设P点坐标为(x，y)，则A、B点的坐标分别为(2x,0)、(0,2y)，AB长度一定，设为L，根据勾股定理，有(2x)2(2y)2L2，解得x2y22，故P点的运动轨迹是圆的一部分，故A错误，B正确画出运动轨迹，如图所示，速度v与杆的夹角902由于杆不可伸长，故P点的速度沿杆方向的分速度与A点速度沿杆方向的分速度相等，故vcos v0cos ，vcos (902)v0cos ，解得v，故C错误，D正确【答案】BD三、巩固训练1.在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是() A合外力的方向与速度方向在一条直线上B合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧C合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向D合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向【解析】足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故C正确【答案】C2（多选）下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线则其中可能正确的是()【解析】船头垂直于河岸时，船的实际航向应斜向右上方，A正确，C错误；船头斜向上游时，船的实际航向可能垂直于河岸，B正确；船头斜向下游时，船的实际航向一定斜向下游，D错误【答案】AB3(2015广东卷，14)如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物() A帆船朝正东方向航行，速度大小为vB帆船朝正西方向航行，速度大小为vC帆船朝南偏东45方向航行，速度大小为vD帆船朝北偏东45方向航行，速度大小为v【解析】以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为v，方向朝北偏东45，故选项D正确【答案】D4(2014四川卷，4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()A. BC. D【解析】设河岸宽度为d，去程时t1，回程时，t2，又k，得v静，B正确【答案】B5如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为() A水平向左，大小为vB竖直向上，大小为vtan C沿A杆斜向上，大小为D沿A杆斜向上，大小为vcos 【解析】两杆的交点P参与了两个分运动：与B杆一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的匀速运动，交点P的实际运动方向沿A杆斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为vP，故C正确【答案】C6如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平向右设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v04 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示(坐标格为正方形，g10 m/s2)求：(1)小球在M点的速度v1；(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；(3)小球到达N点的速度v2的大小【解析】(1)设正方形的边长为x0.竖直方向做竖直上抛运动，有v0gt1,2x0t1水平方向做匀加速直线运动，有3x0t1.解得v16 m/s.(2)由竖直方向的对称性可知，小球再经过t1到x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x12处，位置N的坐标为(12,0)(3)到N点时竖直分速度大小为v04 m/s水平分速度vxa水平tN2v112 m/s，故v24 m/s.【答案】(1)6 m/s(2)见解析图(3)4 m/s
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