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刷题大卷练 12圆锥曲线大卷练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12019龙岩质检若直线AB与抛物线y24x交于A，B两点，且ABx轴，|AB|4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A1 B2C3 D5答案：A解析：由|AB|4及ABx轴，不妨设点A的纵坐标为2，代入y24x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x2.又y24x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为211，故选A.22019黑龙江月考已知抛物线C：y的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|2y0，则x0()A2 B2C4 D4答案：D解析：由y得x28y，抛物线C的准线方程为y2，焦点为F(0,2)由抛物线的性质及题意，得|AF|2y0y02.解得y02，x04.故选D.方法点拨：首先将抛物线方程化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程，利用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点的横(纵)坐标，代回抛物线方程求得点的纵(横)坐标32019咸宁模拟已知F1，F2为双曲线C：1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|2|PF2|，则cosF1F2P()A. B.C. D答案：D解析：由题意可知，a4，b3，c5，设|PF1|2x，|PF2|x，则|PF1|PF2|x2a8，故|PF1|16，|PF2|8，又|F1F2|10，利用余弦定理可得cosF1F2P.4已知双曲线1(a0，b0)的焦点为F1，F2，M为双曲线上一点，且MF1MF2，tanMF1F2，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.答案：D解析：因为MF1MF2，tanMF1F2，所以sinMF1F2，|MF2|F1F2|sinMF1F2，|MF1|.又点M在双曲线上，所以2a|MF1|MF2|，所以e，故选D.52019河北唐山模拟双曲线1的顶点到渐近线的距离为()A2 B3C2 D.答案：D解析：根据题意，双曲线的标准方程为1，其中a2，b2，则其顶点坐标为(2，0)，其渐近线方程为yx，即x3y0.由双曲线的对称性可知：无论哪个顶点到任何一条渐近线的距离都是相等的则顶点到渐近线的距离d.故选D.62019安徽名校联考已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A. B.C. D.答案：D解析：设抛物线C：y28x的准线为l，易知l：x2，直线yk(x2)恒过定点P(2,0)，如图，过A，B分别作AMl于点M，BNl于点N，由|FA|2|FB|，知|AM|2|BN|，点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为1，k0，点B的坐标为(1,2)，k.故选D.72019广州调研在平面直角坐标系xOy中，直线xy20与椭圆C：1(ab0)相切，且椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：yx的对称点E在椭圆C上，则OEF的面积为()A. B.C1 D2答案：C解析：联立方程可得消去x，化简得(a22b2)y28b2yb2(8a2)0，由0得2b2a280.设F为椭圆C的左焦点，连接FE，易知FEl，所以FEEF，又点F到直线l的距离d，所以|EF|，|FE|2a|EF|，在RtFEF中，|FE|2|EF|2|FF|2，化简得2b2a2，代入2b2a280得b22，a2，所以|EF|FE|2，所以SOEFSFEF1.82019广西南宁联考已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.答案：C解析：因为点M为直线xy50与椭圆1(ab0)相交的弦的中点，所以由中点弦公式可知yMxM，代入，M(4,1)的坐标，解得，则e.故选C.92018全国卷已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A. B3C2 D4答案：B解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为yx.设两渐近线夹角为2，则有tan，所以30.所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|.则在RtOMN中，|MN|ON|tan2tan603.故选B.102019湖南百校联盟联考已知椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案：A解析：圆O与直线BF相切，圆O的半径为，即OC，四边形FAMN是平行四边形，点M的坐标为，代入椭圆方程得1，5e22e30，又0e0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C.若|BC|3|BF|，且|AF|4，则p为()A. B2C. D.答案：C解析：设点A，B在准线上的射影分别为A，B，则|AF|AA|，|BF|BB|.|BC|3|BF|，|BC|3|BB|，直线l的斜率为2.|AF|4，|AA|4，|AC|3|AA|12，|CF|8，|BF|2，|CB|6.，.解得p.故选C.12已知A(3,0)，B(2,1)是椭圆1内的点，M是椭圆上的一动点，则|MA|MB|的最大值与最小值之和为()A20 B12C22 D24答案：A解析：由题知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由椭圆的定义知|MF1|MA|10，所以|MA|MB|10|MB|MF1|.又|MB|MF1|BF1|，所以|BF1|MB|MF1|BF1|，如图，设直线BF1交椭圆于M1，M2两点当M为点M1时，|MB|MF1|最小，当M为点M2时，|MB|MF1|最大所以|MA|MB|的最大值为10，最小值为10.故|MA|MB|的最大值与最小值之和为20.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上132019桂林模拟已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到x轴的距离为_答案：解析：由题意知，a3，b4，c5，从而|F1F2|10，|PF1|PF2|6.设|PF1|与|PF2|中较小的为s，则较大的为6s，因为PF1PF2，所以s2(6s)2100，得s26s32.由PF1F2为直角三角形，知点P到x轴的距离d.14已知点A是抛物线y22px(p0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，FBC为正三角形，且ABC的面积是，则抛物线的标准方程为_答案：y216x解析：如图，依题意得|DF|p，cos30，因此|BF|，|AF|BF|.由抛物线的定义知，点A到准线的距离也为，又ABC的面积为，因此有，p8，该抛物线的标准方程为y216x.152019昆明模拟直线l：yk(x)与曲线C：x2y21(x0)交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是_答案：解析：曲线C：x2y21(x1或kb0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|a，APPQ，则椭圆C的离心率为_答案：解析：不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|，因为APPQ，所以在RtPOA中，cosPOA，故POA60，易得P，代入椭圆方程得1，故a25b25(a2c2)，所以椭圆C的离心率e.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)2018全国卷设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解析：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.18(本小题满分12分)2019黑龙江大庆实验月考已知椭圆C：1(ab0)的右焦点(，0)，且经过点，点M是x轴上的一点，过M点的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)(1)求椭圆C的方程；(2)若|AM|2|MB|，且直线l与圆O：x2y2相切于点N，求|MN|的长解析：(1)由题意知解得a24，b21，椭圆C的方程为y21.(2)设M(m,0)，直线l：xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)由|AM|2|MB|，得y12y2.由得(t24)y22tmym240，y1y2，y1y2.y1y22y，y1y22y2y2y2，y1y22(y1y2)22(y1y2)2，即22，化简得(m24)(t24)8t2m2.原点O到直线l的距离d，又直线l与圆O：x2y2相切，即t2m21.联立消去t2得21m416m2160，即(3m24)(7m24)0，解得m2，此时t2，满足0，此时M，在RtOMN中，|MN|，|MN|的长为.19(本小题满分12分)2019河北唐山联考已知F为抛物线E：y24x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的A，B两点，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0)解析：(1)由题设可知k0，所以直线m的方程为ykx2，与y24x联立，整理得ky24y80.由11632k0，解得k0，解得k0或kb0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解析：(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21，故E的方程为y21.(2)依题意当lx轴时不合题意，故设直线l的方程为ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2，从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ1，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.21(本小题满分12分)2019广东广州联考已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点A(2,1)(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点A的直线l：ykxm与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值解析：(1)因为椭圆C的焦距为2，且过点A(2,1)，所以1,2c2.又因为a2b2c2，由以上三式解得a28，b22，所以椭圆C的方程为1.(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x22，则y1kx1m，y2kx1m.由消去y并整理，得(4k21)x28kmx4m280，(*)则x1x2，x1x2.因为kAPkAQ0，所以，化简得x1y2x2y1(x1x2)2(y1y2)40.即2kx1x2(m12k)(x1x2)4m40.(*)代入得4m40，整理得(2k1)(m2k1)0.因为直线l不经过点A，所以2km10，所以k.所以直线PQ的斜率为定值，该值为.22(本小题满分12分)2019福建三明高中联盟模拟设椭圆E的方程为y21(a0)，点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0,1)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T(0，t)(t1)，问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值；若不存在，说明理由解析：(1)设点M的坐标为(x0，y0)，x0，y0，又，a2，椭圆E的方程为y21.(2)设直线l的方程为ykxt，代入y21，得(4k21)x28ktx4t240.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.假设存在实数t，使得以CD为直径的圆恒过点B，则.(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)0，即x1x2(kx1t1)(kx2t1)0，得(k21)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，整理得5t22t30，解得t(t1)，即当t时，符合题意
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