行波法与积分变换法.ppt

第三章行波法与积分变换法 一行波法 适用范围 无界域内波动方程 等 1基本思想 先求出偏微分方程的通解 然后用定解条件确定特解 这一思想与常微分方程的解法是一样的 关键步骤 通过变量变换 将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程 一维波动方程的达朗贝尔公式 行波法 结论 达朗贝尔解表示沿x轴正 反向传播的两列波速为a波的叠加 故称为行波法 a 只有初始位移时 代表以速度a沿x轴正向传播的波代表以速度a沿x轴负向传播的波 4解的物理意义 b 只有初始速度时 假使初始速度在区间上是常数 而在此区间外恒等于0 解 将初始条件代入达朗贝尔公式 5达朗贝尔公式的应用 特征线 特征变换 行波法又叫特征线法 6相关概念 7非齐次问题的处理 利用叠加原理将问题进行分解 利用齐次化原理 若满足 则 令 从而原问题的解为 双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程 特征方程 例1解定解问题 解 例2求解 解 特征方程为 令 例3求解Goursat问题 解 令 补充作业 解定解问题 二积分变换法 1傅立叶变换法 傅立叶变换的性质 微分性 位移性 积分性 相似性 傅立叶变换的定义 偏微分方程变常微分方程 例1解定解问题 解 利用傅立叶变换的性质 例2解定解问题 解 利用傅立叶变换的性质 2拉氏变换法 拉普拉斯变换的性质 微分性 相似性 拉普拉斯变换的定义 偏微分方程变常微分方程 例3解定解问题 解 对t求拉氏变换 例4解定解问题 解 对x求傅氏变换 对t求拉氏变换 例5解定解问题 解 对t求拉氏变换 对x求傅氏变换 例6求方程 解法一 解法二 对y求拉氏变换 例7解定解问题 解 对t取拉氏变换 x取傅立叶变换 其中 3积分变换法求解问题的步骤 对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程 对定解条件做相应的积分变换 导出新方程变的为定解条件 对常微分方程 求原定解条件解的变换式 对解的变换式取相应的逆变换 得到原定解问题的解 4积分变换法求解问题的注意事项 如何选取适当的积分变换 定解条件中那些需要积分变换 那些不需取 如何取逆变换 思考 利用积分变换方法求解问题的好处是什么