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第2课时等比数列前n项和的性质及应用课后篇巩固探究A组1.在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189解析由S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22S3=84.答案C2.已知数列an的前n项和Sn=an-1(a是不为零且不等于1的常数),则数列an()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列解析因为Sn=an-1符合Sn=-Aqn+A的形式,且a0,a1,所以数列an一定是等比数列.答案B3.已知an是等比数列,a1=1,a4=,则a1a2+a2a3+anan+1等于()A.2(1-4-n)B.2(1-2-n)C. (1-4-n)D. (1-2-n)解析设公比为q,a4a1=q3=,q=.a1=1,anan+1=112n-1112n=21-2n.故a1a2+a2a3+a3a4+anan+1=2-1+2-3+2-5+21-2n=121-14n1-14= (1-4-n).答案C4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏B.3盏C.5盏D.6盏解析设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得a(1-27)1-2=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.答案B5.已知一个等比数列共有3m项,若前2m项之和为15,后2m项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为()A.63B.72C.75D.87解析由已知S2m=15,S3m-Sm=60,又(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)=Sm(Sm+60-S2m),解得Sm=3,所以S3m=60+3=63.答案A6.在各项均为正数的等比数列an中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,Sn是数列an的前n项和,则S10-S4=.解析依题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,则有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10-S4=2(1-210)1-2-2(1-24)1-2=2 016.答案2 0167.已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),则S2 018=.解析an+1an=2n(nN*),a1=1,a2=2,a3=2.又an+2an+1=2n+1,an+2an=2,数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.S2 018=(a1+a3+a2 017)+(a2+a4+a2 018)=21 009-12-1+2(21 009-1)2-1=321 009-3.答案321 009-38.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.007111.080,1.007121.087,1.07112.105,1.07122.252)解析设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2 000(1+0.007)-x=2 0001.007-x,A2=(2 0001.007-x)1.007-x=2 0001.0072-1.007x-x,A12=2 0001.00712-(1.00711+1.00710+1)x,因为A12=0,所以2 0001.00712-(1.00711+1.00710+1)x=0,解得x=2 0001.007121+1.007+1.00711=2 0001.007121.00712-11.007-1175,即每期应付款175元.答案1759.在等差数列an中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an+bn是首项为1,公比为|a2|的等比数列,求bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d,依题意得a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.所以数列an的通项公式为an=-3n+2.(2)由(1)得a2=-4,所以|a2|=4.而数列an+bn是首项为1,公比为4的等比数列.所以an+bn=4n-1,即-3n+2+bn=4n-1,所以bn=3n-2+4n-1,于是Sn=1+4+7+(3n-2)+(1+4+42+4n-1)=n(3n-1)2+1-4n1-4=n(3n-1)2+4n-13.10.导学号04994050已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn,nN*,求:(1)a2,a3,a4的值及数列an的通项公式;(2)a2+a4+a6+a2n的值.解(1)由a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3,得a2=S1=a1=,a3=S2= (a1+a2)=,a4=S3= (a1+a2+a3)=1627.由an+1-an=13(Sn-Sn-1)= an(n2),得an+1=an(n2),a2=,an=1343n-2(n2).数列an的通项公式为an=1,n=1,1343n-2,n2.(2)由(1)可知,a2,a4,a2n是首项为,公比为432,项数为n的等比数列,a2+a4+a6+a2n=131-432n1-432=37432n-1.B组1.在等比数列an中,a1+a2+a3+a4+a5=3,a12+a22+a32+a42+a52=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是()A.3B.5C.-5D.5解析由题意可知等比数列an的公比q1,则a1+a2+a5=a1(1-q5)1-q=3,a12+a22+a52=a12(1-q10)1-q2=15,a1(1+q5)1+q=5,a1-a2+a3-a4+a5=a11-(-q)51-(-q)=a1(1+q5)1+q=5.答案D2.已知某公司今年获利5 000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元大约还需要()(参考数据:lg 1.010.004,lg 1.060.025,lg 1.10.041,lg 1.60.204)A.4年B.7年C.12年D.50年解析根据题意知每年的利润构成一个等比数列an,其中首项a1=5 000,公比q=1+10%=1.1,Sn=30 000.于是得到5 000(1-1.1n)1-1.1=30 000,整理得1.1n=1.6,两边取对数,得nlg 1.1=lg 1.6,解得n=lg1.6lg1.15,故还需要4年.答案A3.已知等比数列an的公比为q,其前n项和为Sn,前n项之积为Tn,且满足a11,a2 016a2 0171,a2 016-1a2017-10,则下列结论正确的是()A.q0C.T2 016是数列Tn中的最大数D.S2 016S2 017解析由已知,得a2 0161,a2 0171,所以前2 016项均大于1,0q1,S2 0160,b1),则a4=.解析当n2时,an=Sn-Sn-1=(b-1)bn.因为a1=S1=b2-2,所以(b-1)b=b2-2,解得b=2,因此Sn=2n+1-2,于是a4=S4-S3=16.答案166.导学号04994051如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆,如此下去,则前n个内切圆的面积和为.解析根据题意知第一个内切圆的半径为363=32,面积为,第二个内切圆的半径为34,面积为316,这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为,公比为,故前n个内切圆的面积之和为341-14n1-14=1-14n.答案1-14n7.已知正项等差数列an的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列bn的前三项,a2=3.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记数列bn的前n项和为Tn,若对任意的nN*,kTn+323n-6恒成立,求实数k的取值范围.解(1)设公差为d,根据题意知d0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,3d2-6d=0,d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,a1=1,an=2n-1.b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,bn=3n.(2)由(1)知b1=3,q=3.Tn=b1(1-qn)1-q=3(1-3n)1-3=3n+1-32,3n+1-32+32k3n-6对nN*恒成立.Tn0,k2n-43n对nN*恒成立.令cn=2n-43n,cn-cn-1=2n-43n-2n-63n-1=-2(2n-7)3n,当n3时,cncn-1,当n4时,cncn-1,(cn)max=c3=227,故k227.8.导学号04994052已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列bn的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,求数列cn的前2n+1项和P2n+1.解(1)由题意知,a1+d=8,4a1+6d=40,解得a1=4,d=4,an=4n.Tn-2bn+3=0,当n=1时,b1=3,当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0,两式相减,得bn=2bn-1(n2),故数列bn为等比数列,且bn=32n-1.(2)由(1)知cn=4n,n为奇数,32n-1,n为偶数.P2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(b2+b4+b2n)=(n+1)4+4(2n+1)2+6(1-4n)1-4=22n+1+4n2+8n+2.
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