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章末检测(一)解三角形时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1有关正弦定理的叙述：正弦定理只适用于锐角三角形；正弦定理不适用于钝角三角形；在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；在ABC中，sin Asin Bsin Cabc.其中正确的个数是()A1B2C3 D4解析：正弦定理适用于任意三角形，故均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故正确；由比例性质和正弦定理可推知正确故选B.答案：B2在ABC中，A60，b6，c10，则ABC的面积为()A15 B15C15 D30答案：B3ABC为钝角三角形，a3，b4，cx，C为钝角，则x的取值范围是()Ax5 B5x7C1x5 D1x7解析：由已知条件可知x34且3242x2，5xb，且A150，也有唯一解；C中ba，且A98为钝角，故解不存在；D中由于bsin 45aBC BBACCCBA DCAB解析：由正弦定理得，sin B，又B为锐角，B60，C90，即CBA.答案：C9有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1 km B2sin 10 kmC2cos 10 km Dcos 20 km解析：如图所示，ABC20，AB1 km，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理，ADAB2cos 10(km)答案：C10在ABC中，a、b、c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形解析：因为a2bcos C，所以由余弦定理得：a2b，整理得b2c2，则此三角形一定是等腰三角形答案：C11在ABC中，三内角A，B，C分别对应三边a，b，c，tan C，c8，则ABC外接圆的半径R为()A10 B8C6 D5解析：由tan C0且C(0，)，得C.由同角三角函数的基本关系式，得cos C，sin Ccos Ctan C，由正弦定理，有2R10，故外接圆半径为5，故选D.答案：D12设锐角ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，B2A，则b的取值范围为()A(，) B(1，)C(，2) D(0,2)解析：由，得b2cos A.AB3A，从而A.又2A，所以A，所以A，cos A，所以b.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13在等腰ABC中，已知sin Asin B12，底边BC10，则ABC的周长是_解析：由正弦定理得BCACsin Asin B12.又BC10，AC20，ABAC20.ABC的周长是10202050.答案：5014在ABC中，A120，AB5，BC7，则_.解析：由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即49b2255b，解得b3或b8(舍去)，所以.答案：15在ABC中，若SABC12，ac48，ca2，则b_.解析：由SABCacsin B得sin B，B60或120.由余弦定理得，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B22248248cos B，b252或148，即b2或2.答案：2或216ABC的三内角A，B，C所对边分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为_解析：由mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，由正弦定理有(ab) (ba)c(ac)，即a2c2b2ac，再由余弦定理得cos B，B(0，180)，B150.答案：150三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a4，b5，c.(1)求C的大小；(2)求ABC的面积解析：(1)依题意，由余弦定理得cos C.0C0，故cos B，所以B45.21(13分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C.(1)求sin C的值；(2)当a2,2sin Asin C时，求b及c的长解析：(1)因为cos 2C12sin2C，及0C，所以sin C.(2)当a2,2sin Asin C时，由正弦定理，得c4.由cos 2C2cos2C1，及0C得cos C.由余弦定理c2a2b22abcos C.得b2b120，解得b或2，所以或22(13分)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解析：(1)如图所示，AB40，AC10，BAC，sin .由于090，所以cos .由余弦定理得BC10.所以船的行驶速度为15(海里/小时)(2)如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D，由题设有，x1y1AB40，x2ACcosCAD10cos(45)30，y2ACsinCAD10sin(45)20.所以过点B、C的直线l的斜率k2，直线l的方程为y2x40.又点E(0，55)到直线l的距离d37，所以船会进入警戒水域.
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