2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法导学案 新人教B版选修4-5.docx

1.3绝对值不等式的解法1.3.1|axb|c，|axb|c型不等式的解法1.3.2|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法1.理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围.2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式.自学导引1.设x，a为实数，|xa|表示数轴上的点x与点a之间的距离；|x|表示数轴上的点x与原点之间的距离.当x0时，|x|x；当xa (a0)xa或xa.3.|x|0)axa.4.a0时，|x|a的解集为；|x|a的解集为R.5.|f(x)|0)af(x)a (a0)f(x)a或f(x)a.7.|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x).9.|f(x)|g(x)|f2(x)|g(x)|f2(x)g2(x).基础自测1.已知全集UR，且Ax|x1|2，Bx|x26x82x|x3，Bx|x26x80x|2x4，UAx|1x3，(UA)Bx|2x3，故选C.答案C2.不等式1|x1|3的解集为()A.(0，2) B.(2，0)(2，4)C.(4，0) D.(4，2)(0，2)解析原不等式可化为1x13或3x11，解得：0x2或4x2故应选D.答案D3.若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_.解析根据绝对值不等式的性质及不等式的解集求解.|ax2|3，1ax0时，x，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，x0)；(2)|xa|b (b0).解(1)|xa|b (b0)bxababxba.所以原不等式的解集为x|abxab.(2)|xa|bxab或xabxab或xab.所以原不等式的解集为x|xab或xab.反思感悟：对于|axb|c或(axb)c型不等式的化简，要特别注意a为负数时，可以先把a化为正数.1.解不等式：(1)2|x|17；(2)|12x|72|x|6|x|3x3或x3或x3.(2)|12x|5|2x1|552x1542x62x3.不等式的解集为x|2x3.知识点2解|f(x)|g(x)|型不等式【例2】 解不等式|xa|xb| (ab).解由|xa|xb|两边平方得：(xa)2a2b2.因ab，当ab时，x；当ab时，xb时，；当ab时，.反思感悟：解含有绝对值符号的不等式关键是去掉绝对值符号，把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式.2.解不等式|x22x3|0，|x22x3|3x1|x22x3x22x3或3x1x22x3x25x40或x2x20.由x25x40，得：1x4，由x2x20，得：0，该不等式解集为.所以原不等式的解集为(1，4).知识点3解|xa|xb|c、|xa|xb|c型不等式【例3】 解不等式|x3|2x1|1.解x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式化为(x3)(2x1)2，x2.综上可知：原不等式的解集为.反思感悟：对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点).令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集.3.设函数f(x)|xa|(a0).(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.所以f(x)2.(2)解f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5，得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5，得a3.综上，a的取值范围是.课堂小结解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有3种：(1)根据实数的绝对值的意义：|a|(2)根据不等式的性质：|x|aax0).(3)根据|a|2a2 (aR)，不等式两边同时平方，当然应注意不等式两边平方的前提.随堂演练1.不等式|x1|x5|2的解集是() A.(，4) B.(，1)C.(1，4) D.(1，5)解析利用零点分区间法解绝对值不等式.当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4.当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(，4)，故选A.答案A2.不等式|x1|x2|3的最小整数解是()A.0B.1C.1D.2解析(1)x2则不等式化为x1x22x33，解得2x3.xZ，x2或x3.(2)1x2，则不等式化为x12x13，则x1，2).xZ，x1.(3)x1，则不等式化为1x2x32x3，解得x0.xZ且取最小整数，x0.综上所得：x0.答案A3.不等式|2x1|x2|0的解集为_.解析|2x1|x2|0|2x1|x2|(2x1)2(x2)24x24x1x24x43x231x1.答案(1，1)4.不等式|x1|x2|5的解集为_.解析思路一：利用数轴对x进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.方法一：要去掉绝对值符号，需要对x与2和1进行大小比较，2和1可以把数轴分成三部分.当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2.方法二：|x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2，故满足不等式|x1|x2|5的x的取值为x3或x2，所以不等式的解集为x|x3或x2.答案x|x3或x2基础达标1.如果同时成立，那么x的取值范围是()A.x或x D.x解析解不等式2得x.解不等式|x|得x或x或x.答案B2.若集合Ax|2x1|3，Bx|0，则AB()A.x|1x或2x3B.x|2x3C.x|x2D.x|1x解析|2x1|332x131x2，Ax|1x2，0(2x1)(3x)0x3，Bx|x3.结合数轴：ABx|1x.答案D3.设xR，则“|x2|0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断.|x2|11x0x1或x2.由于x|1x1或x2的真子集，所以“|x2|0”的充分而不必要条件.答案A4.若不等式|ax2|6的解集为(1，2)，则实数a等于_.解析由|ax2|6可知8ax0时，x.解集为(1，2)，有，矛盾，故a不可能大于0.当a0，则xR不符合题意.当a0时，x.解集为(1，2)，有，故a4.答案45.若不等式|x1|a成立的充分条件是0x4，则a_.解析由题意得0x4|x1|a，则0x1，|x1|1x，01x1.1x4，|x1|x1，0x13.综合，得|x1|0的解集为()A.x|0x1 B.x|x0且x1C.x|1x1 D.x|x1且x1解析不等式可化为或0x1或x0且x1.xa，对于xR均成立，那么实数a的取值范围是()A.(，5) B.0，5)C.(，1) D.0，1解析由绝对值的几何意义知|x2|x3|表示的是x与数轴上的点A(3)及B(2)两点距离之和，A、B两点的距离为5，线段AB上任一点到A、B两点距离之和也是5.数轴上其它点到A、B两点距离之和都大于5，|x2|x3|5，xR，a5.答案A9.已知aR，若关于x的方程x2x|a|0有实根，则a的取值范围是_.解析关于x的方程x2x|a|0有实根，140，|a|.当a0时，|a|2a，a0；当0a时，|a|aa成立，0时，|a|aa2a，a，a不存在.综上可知0a.答案0a10.不等式2|2x3|4的解集为_.解析22x34，转化为22x34或42x32，解得x或x，所以原不等式的解集为.答案11.求不等式|logx|1的解.解因为对数必须有意义，所以先解不等式组解得0x3.又原不等式可化为|log3x|log3(3x)|1.(1)当0x1时，不等式化为log3xlog3(3x)log33，3x3x，x，结合前提条件，得0x.(2)当1x2时，即log3xlog3(3x)log33，x23x30，x.(3)当2x3时，log3xlog3(3x)log33，x3(3x).x，结合前提条件，得x0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).