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第1讲函数及其表示考纲解读1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(重点)2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(重点)3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2020年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.1函数与映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数(2)分段函数的相关结论分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集1概念辨析(1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)A1,4,9，B3，2，1,1,2,3f：xx的平方根是A到B的映射()(4)分段函数是一个函数，而不是两个或多个函数()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)下列图形中可以表示为以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的是()答案C解析观察图形可知，B，D不是函数图象，A中函数的值域不是y|0y1，故选C.(2)函数y的定义域为()A. B(，3)(3，)C.(3，) D(3，)答案C解析由解得x且x3，所以已知函数的定义域为(3，)(3)下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()Ay()2 By1Cy1 Dy1答案B解析对于A，函数y()2的定义域为x|x1，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数(4)若函数f(x)则ff(1)的值为()A10 B10 C2 D2答案C解析f(1)2142，ff(1)f(2)2(2)22.(5)函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_(图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交)答案3,01,4)1，)1,2)(5，)解析观察函数yf(x)的图象可知，f(x)的定义域为3,01,4)，值域是1，)，当y1,2)(5，)时，只有唯一的x值与之对应题型 函数的定义域1函数y的定义域为()A(，1 B1,1C1,2)(2，) D.答案D解析由得1x1，且x，所以函数y的定义域为，故选D.2函数f(x)的定义域是2，)，则函数y的定义域是()A1，) B(，1C1,2)(2，) D2，)答案C解析依题意，解得x1且x2，所以函数y的定义域是1,2)(2，)1函数yf(x)的定义域2抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数fg(x)的定义域由ag(x)b求出如举例说明2中f(x)的定义域是2，)；f(2x)中x应满足2x2.(2)若已知函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域 1(2018潍坊二模)函数f(x)lg (3x25x2)的定义域为_答案解析由得所以x1)解析令t1，则由x0知11，x，所以由flg x，得f(t)lg (t1)，所以f(x)lg (x1)2已知fx2x2，则f(x)_.答案x22(x2或x2)解析因为fx2x222，且当x0时，x2；当x0时，x2，所以f(x)x22(x2或x2)3已知f(x)是二次函数且f(0)5，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.答案x2x5解析因为f(x)是二次函数且f(0)5，所以设f(x)ax2bx5(a0)又因为f(x1)f(x)x1，所以a(x1)2b(x1)5(ax2bx5)x1，整理得(2a1)xab10，所以解得a，b，所以f(x)x2x5.4已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.答案2x(x0)解析因为2f(x)f3x，所以将x用替换，得2ff(x)，由解得f(x)2x(x0)，即f(x)的解析式是f(x)2x(x0)条件探究1举例说明2中“x”改为“x”，其他条件不变，该如何求解？解因为fx2x222，当x0时，xR，所以f(x)x22，xR.条件探究2举例说明4中“f”改为“f(x)”，其他条件不变，该如何求解？解因为2f(x)f(x)3x，所以将x用x替换，得2f(x)f(x)3x，由解得f(x)3x，即f(x)的解析式是f(x)3x.求函数解析式的四种方法 1若函数f(x)是一次函数，且ff(x)4x3，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)2x1或f(x)2x3解析设f(x)axb(a0)，则ff(x)af(x)ba2xabb4x3，解得或f(x)2x1或f(x)2x3.2已知f()x1，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)x21(x0)解析令t，则t0，xt22，由f()x1可得f(t)t221t21.故函数f(x)的解析式为f(x)x21(x0)题型 分段函数角度1求分段函数的函数值1(2018衡水模拟)已知函数f(x)则f(2017)()A1 B0 C1 Dlog32答案B解析由已知得，当x0时，f(x4)f(x2)f(x)，所以f(2017)f(45041)f(1)f(1)log310.角度2分段函数与方程、不等式的综合问题2设函数f(x)若f4，则实数a()A BC或 D2或答案A解析因为(成立)；若a1，即a(舍去)，综上a.3设函数f(x)则使得f(x)3成立的x的取值范围是_答案(，27解析当x8时，2ex823，此时f(x)3恒成立；当x8时，由x3得x27，此时x的取值范围为8x27.综上所述，x的取值范围为(，271求分段函数的函数值(1)基本步骤确定要求值的自变量属于哪一区间代入该区间对应的解析式求值(2)两种特殊情况当出现ff(a)的形式时，应从内到外依次求值如举例说明2.当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点如举例说明2，求f后再求f要分类讨论2求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围 1(2018河南郑州三模)设函数f(x)则ff(4)_.答案1解析ff(4)f(1642)f(10)1.2函数f(x)若f(a)a，则实数a的取值范围是_答案1，)解析当a0时，由f(a)a1a，解得a2，所以a0；当a0时，由f(a)a，解得1a1，所以1a0.综上所述，实数a的取值范围是1，)
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