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专题16 数列的通项公式的求解方法一【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.二【方法总结】1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质. 练习1. 已知数列满足，则数列的前40项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。练习2. 数列满足，且对于任意的都有，则等于（）A. B. C. D. 【答案】D【方法总结】：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的练习3. 已知数列满足， ，若，则数列的通项（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】, , ,则,数列是首项为2，公比为2的等比数列，利用叠加法， ，则.选B. 【方法总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用处理.练习1. 数列的一个通项公式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D练习2.数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，的通项公式是an()A. (10n1) B. C. (10n1) D. (10n1).【答案】B【解析】10.9，10.99，故原数列的通项公式为an.选B.练习3两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数5，9，14，20，为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第2017项为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【方法总结】：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想4.项和互化求通项例4.设是数列的前项和，且，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得：，考查所给选项：，则选项B错误；当时：，即，考查ACD选项：,则选项AC错误，本题选择D选项.【方法规律总结】：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.练习1. 设数列满足，通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C练习2. 设数列满足，通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时， ，.(1) ， .(2),(1)-(2)得： ， ， 符合，则通项公式是，选C.练习3. 已知正项数列的前项和为，且， ，现有如下说法：；当为奇数时，；则上述说法正确的个数为（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】D【方法总结】：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.5.构造辅助数列求通项（1）的形式例5.数列满足则（ ）A. 33 B. 32 C. 31 D. 34【答案】A【解析】数列满足，是以2为公比的等比数列，首项为1，得到故答案为：A。 练习1. 已知数列an满足a12，an+13an+2，则an的通项公式为A. an2n-1 B. an3n-1 C. an2n-1 D. an6n-4【答案】B【解析】，得是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即。故选B。（2）的形式例6设为数列的前项和，且.记 为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和0比研究单调性，直接研究表达式的单调性。练习1. 已知数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C练习2. 已知数列满足，则的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由得，当时也符合，数列的通项公式为.故选C. 练习2. 已知数列满足，则 ( )A. 121 B. 136 C. 144 D. 169【答案】C练习3. 数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】（）当也适合，故所以是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故选B.练习4. 已知数列则 （ ）A. B. C. 或1 D. 【答案】B【方法总结】：已知数列要求通项，可以两边取倒数，得到是等差数列，已知可以求出 ，再根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再取倒数可以求出，代入n=7,求得结果即可.练习5. 已知数列的首项，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，可得，是以为公差，以为首项的等差数列，故选C.7.倒序相加求通项例7. 已知是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【方法总结】：本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，奇函数的应用与数列第一项联系起来，就知道该怎么对x赋值了，继续推导，要求学生理解f（t）+f（1-t）=2本题有一定的探索性，难度大. 练习2.已知数列满足， ， ，则（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】由题意，对进行变形，得 则，即4个一循环，那么，故选A.【方法总结】：本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键.练习2. 在数列中，则（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】A练习3. 已知数列满足，则（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】C【解析】，是周期为的数列，故选C. 10.裂项求通项例10. 数列满足，且对任意的都有，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对任意的都成立，即，把上面个式子相加可得，从而有， ，故选C.【方法点晴】本题主要考查递推公式求通项、累加法的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
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