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考查角度3数列的综合运用分类透析一数列的新定义、新情景问题例1 若三个非零且互不相等的实数x1,x2,x3成等差数列,且满足1x1+1x2=2x3,则称x1,x2,x3成一个“等差数列”.已知集合M=x|x|100,xZ,则由M中的三个元素组成的所有数列中,“等差数列”的个数为().A.25B.50C.51D.100解析 1x1+1x2=2x3,且x1+x3=2x2,1x1+1x2=22x2-x1,(x1-x2)(x1+2x2)=0,x1=x2(舍去)或x1=-2x2,x3=4x2.令-1004x2100,得-25x225,又由题意知x20,“等差数列”的个数为225=50.答案 B方法技巧 含“新信息”背景的数列问题有以下几个难点:一是对于新的概念与规则,学生不易抓住信息的关键部分并用于解题之中;二是学生不易发现每一问所指向的知识点,传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理,但新信息问题所问的因为与新信息相关,所以要运用的知识隐藏的较深,学生不易找到解题的方向.分类透析二数列与函数的综合问题例2 已知f(x)=(2a-1)x+4,x1,ax,x1的定义域为R,an=f(n)(nN*),且数列an是递增数列,则a的取值范围是().A.(1,+)B.12,+C.(1,3)D.(3,+)解析 f(x)=(2a-1)x+4,x1,ax,x1的定义域为R,an=f(n),且an是递增数列,2a-10,a1,2a+33.答案 D方法技巧 (1)数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列综合问题体现了在知识交汇上命题的特点.(2)数列与函数的综合问题主要有以下两类:已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般要利用函数的性质及图象求解;已知数列条件,解决函数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、公式和求和对式子化简变形.分类透析三数列与不等式的综合问题例3 已知在数列an中,a1=2,nan+1-(n+1)an=1,nN*.若对于任意的nN*,不等式an+1n+1a恒成立,则实数a的取值范围为().A.(3,+)B.(-,3)C.3,+)D.(-,3解析 由nan+1-(n+1)an=1,nN*,可得an+1n+1-ann=1n(n+1)=1n-1n+1,nN*.a22-a11=1-12,a33-a22=12-13,a44-a33=13-14,an+1n+1-ann=1n-1n+1,将上面各式相加,可得an+1n+1-a11=1-1n+1,则an+1n+1=3-1n+13.对于任意的nN*,不等式an+1n+10)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=().A.18B.21C.24D.30解析 依题意,y=2x,函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线方程为y-ak2=2ak(x-ak).令y=0,可得x=12ak,即ak+1=12ak,数列an为等比数列,an=1612n-1,a1+a3+a5=16+4+1=21.答案 B2.(2018盐湖区校级三模)在等差数列an中,已知a4,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则an的前10项和等于().A.-18B.9C.18D.20解析 a4,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,即a4,a7是方程x2-4x+3=0的两个根,由韦达定理可知a4+a7=4,S10=a1+a10210=a4+a7210=20.答案 D3.(2018四川模拟)已知等比数列an中,a1=1,a4=18,且a1a2+a2a3+anan+1k,则k的取值范围是().A.12,23B.12,+C.12,23D.23,+解析 设等比数列an的公比为q,a1=1,a4=18,q3=18,解得q=12.an=112n-1=12n-1,anan+1=12n-112n=122n-1=214n.a1a2+a2a3+anan+1=214+142+14n=2141-14n1-14=231-14n23.a1a2+a2a3+anan+10,tan B=30,A+B+C=,0A2,0B2.C=-A-B,tan C=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB=-51-6=1.0Cn+1an+1对任意nN*恒成立,则实数的取值范围是.解析 在数列an中,a1=1,当n2时,an=an-1+n,即an-an-1=n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1=n(n+1)2.(当n=1时也成立)an=n(n+1)2.不等式nn+1an+1可化为21+2n(n+1),21+2n(n+1)n+1an+1对任意nN*恒成立,2.则实数的取值范围是2,+).答案 2,+)14.(2018和平区二模)已知f(x)=x2-1,x3,2x2+2,x3,规定fn(x)=f(x),n=1,f(fn-1(x),n2(nN*),则f532的值为.解析 由f(x)=x2-1,x3,2x2+2,x3,fn(x)=f(x),n=1,f(fn-1(x),n2(nN*),可得f132=f32=234+2=72,f232=ff132=f72=272+2=3,f332=ff232=f(3)=29+2=20,f432=ff332=f(20)=20-1=19,f532=ff432=f(19)=192-1=360.答案 36015.(2018成都模拟)已知数列an的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列,各项都是正数的数列xn满足x1=3,x1+x2+x3=39,xnan=xn+1an+1=xn+2an+2,则xn=.解析 设xnan=xn+1an+1=xn+2an+2=k,则an=logxnk,所以1an=logkxn.同理可得,1an+1=logkxn+1,1an+2=logkxn+2.因为数列an的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列,所以2logkxn+1=logkxn+logkxn+2xn+12=xnxn+2,所以数列xn是等比数列.把x1=3代入x1+x2+x3=39,得公比q=3或q=-4(舍去),所以xn=33n-1=3n. 答案 3n
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