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1.1.2充分条件和必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明知识点一充分条件与必要条件1框图表示2条件与结论之间的关系pq且qpp是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的既不充分又不必要条件知识点二充要条件思考在ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B60”的什么条件？答案因为A，B，C成等差数列，故2BAC，又因为ABC180，故B60，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B60”的充分必要条件梳理(1)如果pq，且qp，那么称p是q的充分必要条件，简称为p是q的充要条件，记作pq.(2)充要条件的实质是原命题“若p则q”和其逆命题“若q则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果pq，那么p与q互为充要条件1当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()2当p是q的充分必要条件时，那么q也一定是p的充分必要条件()类型一充分条件、必要条件的判断例1对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，下列结论正确的是_(填序号)b24ac0是函数f(x)有零点的充要条件；b24ac0是函数f(x)有零点的充分条件；b24ac0是函数f(x)有零点的必要条件；b24ac0是函数f(x)没有零点的充要条件答案解析正确，因为b24ac0方程ax2bxc0(a0)有实根f(x)ax2bxc有零点；正确，因为b24ac0方程ax2bxc0(a0)有实根，因此函数f(x)ax2bxc(a0)有零点，但是f(x)ax2bxc(a0)有零点时，有可能0；错误，因为函数f(x)ax2bxc(a0)有零点时，方程ax2bxc0(a0)有实根，但未必有b24ac0，也有可能0；正确，因为b24ac0方程ax2bxc0(a0)无实根函数f(x)ax2bxc(a0)无零点反思与感悟充分、必要条件判断的常用方法(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2ax10的解集是R，q：0a4；(2)p：|x2|3，q：0满足题意；当a0时，由可得0a4.故p是q的必要不充分条件(2)易知p：1x5，q：1x5，所以p是q的充要条件(3)因为ABAABB，所以p是q的充要条件(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，有即pq.但比如，当1，5时，而2，所以qp，所以p是q的充分不必要条件类型二充要条件的探求与证明例2求ax22x10至少有一个负实根的充要条件是什么？解(1)当a0时，原方程变为2x10，即x，符合要求(2)当a0时，ax22x10为一元二次方程，它有实根的充要条件是0，即44a0，a1.方程ax22x10只有一个负实根的充要条件是即a0.方程ax22x10有两个负实根的充要条件是即0a1.综上所述，ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.反思与感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件跟踪训练2已知数列an的前n项和Sn(n1)2t(t为常数)，试问t1是否为数列an是等差数列的充要条件？请说明理由解是充要条件(充分性)当t1时，Sn(n1)21n22n.a1S13，当n2时，anSnSn12n1.又a13符合上式，an2n1(nN*)，又an1an2(常数)，数列an是以3为首项，2为公差的等差数列故t1是an为等差数列的充分条件(必要性)an为等差数列，则2a2a1a3，a1S14t，a2S2S15，a3S3S27，1011t，解得t1，故t1是an为等差数列的必要条件综上，t1是数列an为等差数列的充要条件例3已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要条件是xy，其中x，yR，且xy1.证明充分性：若点P满足xy，其中x，yR，且xy1，消去y，得x(1x)x()，x()，即x.点P在直线AB上，即点P在直线l上必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，使得tt()，tt(1t)t.令1tx，ty，则xy，其中x，yR，且xy1.综上，点P在直线l上的充要条件是xy，其中x，yR，且xy1.反思与感悟证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”“结论”，必要性需要证明“结论”“条件”跟踪训练3已知ab0，求证：ab1是a3b3aba2b20的充要条件证明充分性：ab1，b1a，a3b3aba2b2a3(1a)3a(1a)a2(1a)2a313a3a2a3aa2a212aa20，即a3b3aba2b20.必要性：a3b3aba2b20，(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，(a2abb2)(ab1)0.ab0，a0且b0，a2abb20.ab10，ab1.综上可知，当ab0时，ab1是a3b3aba2b20的充要条件类型三利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且qp，得M?N，或解得a2或a2，即a2.即实数a的取值范围是.反思与感悟1.在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围2根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤(1)记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)(2)若p是q的充分不必要条件，则M?N，若p是q的必要不充分条件，则N?M，若p是q的充要条件，则MN.(3)根据集合的关系列不等式(组)(4)求出参数的范围跟踪训练4设A，B，记命题p：“yA”，命题q：“yB”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为_答案解析由题意知A(0,1)，B，依题意，得B?A，故m1”是“1可得到1，反之不成立3记不等式x2x60的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_答案(，3解析由于Ax|x2x60x|3xa，而“xA”是“xB”的充分条件，则有AB，则有a3.4设p：1x4，q：xm，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_考点充分条件的概念及判断题点由充分条件求取值范围答案4，)解析因为p为q的充分条件，所以1,4)(，m)，得m4.5“a0”是“直线l1：x2ay10与l2：2x2ay10平行”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析(1)a0，l1：x10，l2：2x10，l1l2，即a0l1l2.(2)若l1l2，当a0时，l1：yx，l2：yx.令，方程无解当a0时，l1：x10，l2：2x10，显然l1l2.a0是直线l1与l2平行的充要条件充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“pq”及“qp”的真假，根据定义下结论(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题(3)集合法：写出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断一、填空题1“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的_条件答案充分不必要解析由sin0可得k(kZ)，此为曲线ysin(2x)过坐标原点的充要条件，故“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分不必要条件2若集合A，Bx|x22，则“mA”是“mB”的_条件答案充分不必要解析Ax|0x1，Bx|x22x|x4，b4，b5时，一次函数y(k4)xb5的图象如图当一次函数y(k4)xb5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，即当x0时，yb50，b0.b4.4已知不等式m1xm1成立的一个充分不必要条件是xbc”是“ab”的必要条件；“acbc”是“ab”的必要条件；“ac2bc2”是“ab”的充分条件；“acbc”是“ab”的充分条件答案解析由得当ab时，得到acbc；由得ac2bc2ab.6关于x的方程m2x2(m1)x20的实数根的总和为2的充要条件是_答案m0解析当m0时，原方程即x2，满足条件，当m0时，2，则m1或m，但(m1)28m2，m1及m均使b”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“cosb”是“3a3b”的充要条件，故错误；2，cos2cos，cos cos ；cos cos 2，2，cos .“”是“coscos”的既不充分又不必要条件，故错误；“a0”是“函数f(x)x3ax2(xR)为奇函数”的充要条件，正确11有下列命题：“x2且y3”是“xy5”的充分条件；“x0”是“x20”的必要不充分条件；“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的充分不必要条件；“xy1”是“lgxlgy0”的必要不充分条件其中真命题的序号为_考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案解析当x2且y3时，xy5成立，反之不一定，所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件，故为真命题；x0x20，x20x0，故为假命题；当a2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则，所以a2，所以“a2”是“两直线平行”的充要条件，故为假命题；lg xlg ylg(xy)0，所以xy1且x0，y0，所以xy1必成立，反之不然，所以“xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件，故为真命题综上可知，真命题是.二、解答题12判断下列各题中，p是q的什么条件(1)p：|x|y|，q：xy；(2)p：ABC是直角三角形，q：ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2y2r2(r0)与直线axbyc0相切，q：c2(a2b2)r2.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1)|x|y|xy，但xy|x|y|，p是q的必要不充分条件(2)ABC是直角三角形ABC是等腰三角形，ABC是等腰三角形ABC是直角三角形，p是q的既不充分又不必要条件(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，p是q的必要不充分条件(4)若圆x2y2r2(r0)与直线axbyc0相切，则圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于r，即r，c2(a2b2)r2；反过来，若c2(a2b2)r2，则r成立，说明圆x2y2r2(r0)的圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于r，即圆x2y2r2(r0)与直线axbyc0相切，故p是q的充要条件13求方程ax2bxc0(a0)有两个正根的充要条件解方程ax2bxc0(a0)有两个正根等价于所以方程ax2bxc0(a0)有两个正根的充要条件是b24ac，且b0，c0.三、探究与拓展14“a1或b2”是“ab3成立”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点充分条件、必要条件的判断题点必要不充分条件的判断答案必要不充分解析命题“若a1或b2，则ab3”与命题“若ab3，则a1且b2”互为逆否命题，当a3，b0时，有ab3，所以命题“若ab3，则a1且b2”是假命题，所以命题“若a1或b2，则ab3”是假命题，所以a1或b2推不出ab3.“若a1且b2，则ab3”是真命题，所以命题“若ab3，则a1或b2”是真命题，所以ab3a1或b2，所以“a1或b2”是“ab3成立”的必要不充分条件15设a，b，c是ABC的三个内角A，B，C所对的边求证：a2b(bc)的充要条件是A2B.证明充分性：A2B，ABB，则sin(AB)sinB，则sinAcosBcosAsinBsinB，结合正弦、余弦定理得abb，化简整理得a2b(bc)；必要性：由余弦定理a2b2c22bccosA，且a2b(bc)，得b2bcb2c22bccosA，12cosA，即sinB2sinBcosAsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，sinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)，由于A，B均为三角形的内角，故必有BAB，即A2B.综上，知a2b(bc)的充要条件是A2B.
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