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第2讲解三角形(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形1,3,4,6,8,9,10三角函数与解三角形的综合2,5,7,11一、选择题1.(2018辽宁葫芦岛二模)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且ab,则B等于(A)(A)6(B)3(C)23(D)56解析:因为asin Bcos C+csin Bcos A=12b,所以根据正弦定理可得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B,即sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=12sin B,因为sin B0,所以sin(A+C)=12,即sin B=12,因为ab,所以AB,即B为锐角,所以B=6.故选A.2.(2018吉林百校联盟九月联考)已知tan B=2tan A,且cos Asin B=45,则cos（A-B-32）等于(D)(A)-45(B)45(C)-25(D)25解析:由tan B=2tan A,可得cos Asin B=2sin Acos B,又cos Asin B=45,所以sin Acos B=25,则cos（A-B-32）=-sin (A-B)=-sin Acos B+cos Asin B=25.故选D.3.(2018天津河西区三模)在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2B-sin2C-sin2A=3sin Asin C,则B的大小为(D)(A)30(B)60(C)120(D)150解析:因为sin2B-sin2C-sin2A=3sin Asin C,所以b2-c2-a2=3ac,即a2+c2-b2=-3ac,则cos B=a2+c2-b22ac=-32,又0B,则B=150.4.(2018重庆九校一模)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,asin B=3bcos A,当b+c=4时,ABC面积的最大值为(C)(A)33(B)32(C)3(D)23解析:由asin B=3bcos A,利用正弦定理可得,sin Asin B=3sin Bcos A,又sin B0,可得,tan A=3,因为A(0,),所以A=3.故SABC=12bcsin A=34bc34（b+c2）2=3(当且仅当b=c=2时取等号),故选C.5.(2018广东湛江一模)已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD,BCD=90,则四边形ABCD面积的最大值为(C)(A)6(B)2+23(C)2+22(D)4解析:如图,设DAB=,BC=CD=x,则BD=2x.在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos ,即(2x)2=4+4-8cos =8-8cos ,所以x2=4-4cos .所以四边形ABCD的面积为S=1222sin +12x2=2sin +2-2cos =22sin(-4)+2,因为0,所以-4-40,上式化为21+2t+t=21+2t+12(2t+1)-12221+2t12(2t+1)-12=32.当且仅当2t+1=2,即t=12,可得c=2b,又bc=8,解得c=4,b=2时,等号成立;所以2sinCsinC+2sinB+sinBsinC的最小值为32.故选C.二、填空题7.(2018漳州二模)在ABC中,a=2,C=4,tanB2=12,则ABC的面积等于.解析:tan B=2tanB21-tan2B2=2121-14=43,因为sin2B+cos2B=1,所以sin B=45,cos B=35,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=4522+3522=7210,由asinA=bsinB,可得b=2457210=827,所以SABC=12absin C=12282722=87.答案:878.(2018青海西宁二模)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B-asin A=12asin C,且ABC的面积为a2sin B,则cos B=.解析:因为ABC的面积为a2sin B,所以12acsin B=a2sin B,即c=2a,由bsin B-asin A=12asin C,得b2-a2=12ac=a2,即b=2a,则cos B=a2+(2a)2-(2a)24a2=34.答案:349.(2018福建三校联考)如图,在路边安装路灯,路宽为OD,灯柱OB长为10米,灯杆AB长为1米,且灯杆与灯柱成120角,路灯采用圆锥形灯罩,其轴截面的顶角为2,灯罩轴线AC与灯杆AB垂直.若灯罩截面的两条母线所在直线一条恰好经过点O,另一条与地面的交点为E.则该路灯照在路面上的宽度OE的长是米.解析:在三角形AOB中,由余弦定理可得OA=111,由正弦定理得sinBAO=53737,所以cos =sinBAO=53737,sin =2337,则sin 2=2sin cos =20337,sinAEO=sin(60-)=33237,在三角形AOE中,由正弦定理可得OE=OAsin2sinAEO=4033(米).答案:4033三、解答题10.(2018威海二模)在ABC中,边BC上一点D满足ABAD,AD=3DC.(1)若BD=2DC=2,求边AC的长;(2)若AB=AC,求sin B.解:(1)因为ABAD,所以在RtABD中,sinABD=ADBD=32,所以ABD=60,ABC中,AB=1,BC=3,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=1+9-2312=7.所以AC=7.(2)在ACD中,由正弦定理可得ADsinC=DCsinDAC,因为AD=3DC,所以3sinC=1sinDAC,因为AB=AC,所以B=C,所以BAC=180-2B,因为BAD=90,所以DAC=BAC-BAD=180-2B-90=90-2B,所以3sinB=1sin(90-2B),所以3sinB=1cos2B,化简得23sin2B+sin B-3=0,因为sin B0,所以sin B=33.11.(2018东北三校二模)已知ABC三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B).(1)求角C;(2)若ABC的外接圆半径为2,求ABC周长的最大值.解:(1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),所以a2-c2=ab-b2,所以a2+b2-c22ab=12,即cos C=12,因为0C,则C=3.(2)由正弦定理2r=csinC=bsinB=asinA=4,所以a=4sin A,b=4sin B,c=4sin C=23,所以周长l=a+b+c=4sin A+4sin B+23=4sin A+4sin(23-A)+23=4sin A+432cos A+412sin A+23=6sin A+23cos A+23=43sin(A+6)+23,因为A(0,23),所以A+6(6,56),所以当A+6=2,即A=3时,lmax=43+23=63,所以当A=B=3时,ABC周长取到最大值为63.
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