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板块一 六大核心素养一、数学抽象、直观想象素养1数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.例1(1)如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样其中，正确信息的序号是_答案解析看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故正确，错误(2)某楼梯共有11级，每步可走一级或二级，走完这11级楼梯共有多少种不同的走法？解楼梯共有11级，数值比较大，可以先考虑简单情形楼梯共有：1级、2级、3级、4级、5级、，从特殊的情境里发现规律.楼梯级数1234511走法种数12358？从上面的走法种数1,2,3,5,8，可以发现：前两个走法种数之和是下一个走法种数于是，容易推算出：走完这11级楼梯，共有144种不同的走法1加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟答案B解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t222，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟2甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120个单位，则混合物重量的最小值为_kg.答案30解析设甲食物重xkg，乙食物重ykg，A，B的含量分别不低于100,120个单位，由得A(20,10)，混合物重zxy，平移直线zxy，由图知，当直线过A(20,10)时，z取最小值为201030.素养2直观想象是指借助几何直观形象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.例2(1)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与点Q不重合)若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()ASn是等差数列BS是等差数列Cdn是等差数列Dd是等差数列答案A解析作A1C1，A2C2，A3C3，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，Cn，则A1C1A2C2AnCn.|AnAn1|An1An2|，|CnCn1|Cn1Cn2|.设|A1C1|a，|A2C2|b，|B1B2|c，则|A3C3|2ba，|AnCn|(n1)b(n2)a(n3)，n1和n2时也符合Snc(n1)b(n2)ac(ba)n(2ab)，Sn1Snc(ba)(n1)(2ab)(ba)n(2ab)c(ba)，数列Sn是等差数列(2)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于()A.1B.2C21D22答案B解析如图，取BB1的中点E，CC1的中点F，连接AE，EF，FD，则BN平面AEFD.设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为，能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，矩形AEFD的周长为2.3“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正(主)视图和侧(左)视图完全相同时，它的正(主)视图和俯视图分别可能是()Aa，bBa，cCc，bDb，d答案A解析当正(主)视图和侧(左)视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正(主)视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.4(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1B2C3D4答案C解析由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PAABAD2，BC1，所以PAAD，PAAB，PABC.又BCAB，ABPAA，AB，PA平面PAB，所以BC平面PAB.又PB平面PAB，所以BCPB.在PCD中，PD2，PC3，CD，所以PCD为锐角三角形所以侧面中的直角三角形为PAB，PAD，PBC，共3个故选C.二、逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.例3(1)(2018北京)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由|a3b|3ab|，得(a3b)2(3ab)2，即a29b26ab9a2b26ab.又a，b均为单位向量，所以a2b21，所以ab0，能推出ab.由ab得|a3b|，|3ab|，能推出|a3b|3ab|.所以“|a3b|3ab|”是“ab”的充要条件故选C.(2)记I为虚数集，设a，bR，x，yI，则下列类比所得的结论正确的是_(填序号)由abR，类比得xyI；由a20，类比得x20；由(ab)2a22abb2，类比得(xy)2x22xyy2；由ab0，ab，类比得xy0，xy.答案解析由abR，不能类比得xyI，如xyi，则xy1I，故不正确；由a20，不能类比得x20.如xi，则x2P2，所以大一学生是“手机迷”的概率大(2)由频率分布直方图可知，从大一学生抽取的100人中，“手机迷”有(0.0100.0025)2010025(人)，非手机迷有1002575(人)22列联表如下：非手机迷手机迷总计男301545女451055总计7525100假设“手机迷”与性别无关，随机变量K2的观测值k3.030，因为3.0302.706，所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关9某市一水电站的年发电量y(单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x(单位：毫米)有如下统计数据：2013年2014年2015年2016年2017年降雨量x(毫米)15001400190016002100发电量y(亿千瓦时)7.47.09.27.910.0(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为0.004x，该水电站计划2019年的发电量不低于8.6亿千瓦时，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1800毫米，请你预测2019年能否完成发电任务？解(1)从统计的5年发电量中任取2年，基本事件为7.4,7.0，7.4,9.2，7.4,7.9，7.4,10.0，7.0,9.2，7.0,7.9，7.0,10.0，9.2,7.9，9.2,10.0，7.9,10.0，共10个；其中这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的基本事件为9.2,7.9，9.2,10.0，7.9,10.0，共3个所以这2年发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率为P.(2)因为1 700，8.3.又直线0.004x过点(，)，所以8.30.0041 700，解得1.5，所以0.004x1.5.当x1 800时，0.0041 8001.58.78.6，所以预测该水电站2019年能完成发电任务
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