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第一讲直线与圆年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018卷圆的弦长问题T15命题分析1.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上学科素养通过考查直线与圆的位置关系，着重考查学生数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养.卷直线与抛物线位置关系及圆的方程求法T20卷直线与圆的位置关系及面积问题T82017卷探索性问题与圆的弦长问题T202016卷直线与圆的位置关系及圆的面积问题T15直线方程与应用授课提示：对应学生用书第42页悟通方法结论1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.4与已知直线l：AxByC0(A0，B0)平行的直线可改为AxBym0(mC)，垂直的直线可设为BxAym0.5直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，当l1l2时，有A1A2B1B20，当l1l2时，A1B2A2B10且A1C2A2C10.全练快速解答1(2018洛阳一模)已知直线l1：xmy10，l2：nxyp0，则“mn0”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若mn0，当mn0时，直线l1：x10与直线l2：yp0互相垂直；当mn0时，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为n，(n)m1，l1l2.当l1l2时，若m0，l1：x10，则n0，此时mn0；若m0，则(n)1，即nm，有mn0.故选C.答案：C2已知直线l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，若l1l2，则实数a的值为()A B0 C或0 D2解析：若a0，则由l1l2，得，所以2a21，即a；若a0，则l1：x10，l2：x0，互相平行答案：C3若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A. B. C. D.解析：由l1l2，得(a2)a13，且a2a36，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2间的距离为d.答案：B4过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为_解析：由得l1与l2的交点为(1,2)当所求直线斜率不存在，即直线方程为x1时，显然不满足题意当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y2k(x1)，即kxy2k0，点P(0,4)到直线的距离为2，2，k0或k.直线方程为y2或4x3y20.答案：y2或4x3y20【类题通法】1求直线方程时易忽视斜率k不存在情形2利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形3有关截距问题易忽视截距为零这一情形圆的方程及应用授课提示：对应学生用书第43页悟通方法结论1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心、为半径的圆全练快速解答1已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程是()A(x1)2y22B(x1)2y28C(x1)2y22D(x1)2y28解析：直线xy10与x轴的交点坐标为(1,0)，因为圆C与直线xy30相切，所以半径为圆心到切线的距离，即rd，则圆C的方程为(x1)2y22，故选A.答案：A2(2018长沙模拟)与圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则解得所以所求圆的圆心坐标为(1，)，半径为2.从而所求圆的方程为(x1)2(y)24.答案：D3(2018广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x24y的焦点，且该圆与直线yx3相切，则该圆的标准方程是_解析：抛物线x24y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2(y1)2r2(r0)，因为该圆与直线yx3相切，所以r，故该圆的标准方程是x2(y1)22.答案：x2(y1)22【类题通法】用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.直线与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第43页悟通方法结论1直线和圆的位置关系的判断方法直线l：AxByC0(A2B20)与圆：(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系如表.方法 几何法：根据d与r的大小关系代数法：消元得一元二次方程，根据判别式的符号判断相交dr0相切dr0相离dr02.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|2(其中d为弦心距)(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|(其中C为圆心)(2017高考全国卷)(12分)已知抛物线C：y22x，为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求学审题条件信息想到方法注意什么信息中过定点的直线l直线l的方程的设法数形结合分析，灵活设l：xmy2.注意斜率是否存在信息中AB为直径抓住圆的几何性质坐标化条件OAOBx1x2y1y20信息中求圆的方程确定圆心与半径是求圆方程关键设出圆心坐标，注意多解规范解答(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2. (1分)由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24. (3分)因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB.故坐标原点O在圆M上 (5分)(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r. (8分)由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m. (10分)当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为 ，圆M的半径为，圆M的方程为22. (12分)【类题通法】1圆上的点到直线的距离的化归思想(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解(3)直接设点，利用方程思想解决2数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点练通即学即用1(2018银川九中五模)直线l：kxy40(kR)是圆C：x2y24x4y60的一条对称轴，过点A(0，k)作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为()A.B.C.D2解析：圆C：x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22，表示以C(2,2)为圆心，为半径的圆由题意可得，直线l：kxy40经过圆心C(2,2)，所以2k240，解得k3，所以点A(0,3)，故直线m的方程为yx3，即xy30，则圆心C到直线m的距离d，所以直线m被圆C所截得的弦长为2 .故选C.答案：C2(2018高考全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C，3D2，3解析：设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距离为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20的距离为2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知条件可得AB2，所以ABP面积的最大值为ABdmax6，ABP面积的最小值为ABdmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,6故选A答案：A3已知圆C：x2y22x4ym0.(1)若圆C与坐标轴有3个交点，求m的值；(2)若圆C与直线x2y40的两个交点为M，N，且满足0(其中O为坐标原点)，求此时m的值解析：(1)由x2y22x4ym0配方得(x1)2(y2)25m.由题意，可得圆C与x轴相切或过原点时，圆C与坐标轴有三个交点，所以5m4，或145m，解得m1或m0.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)则(x1，y1)，(x2，y2)由0，得x1x2y1y20.由消x，得(42y)2y22(42y)4ym0.整理得5y216y8m0.根据根与系数的关系得，y1y2，y1y2.由x142y1，x242y2，x1x2168(y1y2)4y1y2.由x1x2y1y20，得0，解得m.由知16220(8m)0，即m，故m满足题意，因此m为所求授课提示：对应学生用书第129页一、选择题1“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20平行”的()A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又当a1，b4时，满足ab4，但是两直线重合，故选C.答案：C2已知圆(x1)2y21被直线xy0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为()A12B13C14D15解析：(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为12，故选A.答案：A3(2018临沂模拟)已知直线3xay0(a0)被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则a的值为()A.B.C2D2解析：由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为，即，得a.答案：B4(2018济宁模拟)已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线xy4上，若直线x2yt0与圆C相切，则t的值为()A62B62C26D64解析：因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线yx上，又圆心C在直线xy4上，联立，解得xy2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r2.又直线x2yt0与圆C相切，所以2，解得t62.答案：B5(2018南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2x1与圆x2y24相交于A，B两点，则cosAOB()A.BC.D解析：因为圆x2y24的圆心为O(0,0)，半径为2，所以圆心O到直线y2x1的距离d，所以弦长|AB|22.在AOB中，由余弦定理得cosAOB.答案：D6(2018合肥第一次教学质量检测)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：当直线l的斜率不存在时，计算出弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有1，解得k ，综上，直线l的方程为x0或3x4y120，故选B.答案：B7已知圆O：x2y21，点P为直线1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点()A(，)B(，)C(，0)D(0，)解析：因为点P是直线1上的一动点，所以设P(42m，m)因为PA，PB是圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，所以OAPA，OBPB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦因为圆心C的坐标是(2m，)，且半径的平方r2，所以圆C的方程为(x2m)2(y)2，又x2y21，所以得，(2m4)xmy10，即公共弦AB所在的直线方程为(2xy)m(4x1)0，所以由得所以直线AB过定点(，)故选B.答案：B8若过点A(1,0)的直线l与圆C：x2y26x8y210相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，l与直线x2y20的交点为N，则|AM|AN|的值为()A5B6C7D8解析：圆C的方程化成标准方程可得(x3)2(y4)24，故圆心为C(3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kxyk0(k0)，由得N，又直线CM与l垂直，得直线CM的方程为y4(x3)由得M，则|AM|AN|.6.故选B.答案：B二、填空题9(2018高考全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.解析：由x2y22y30，得x2(y1)24.圆心C(0，1)，半径r2.圆心C(0，1)到直线xy10的距离d，|AB|222.答案：210(2018江苏三市三模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B(1，1)，P为圆x2y22上一动点，则的最大值是_解析：设动点P(x，y)，令t(t0)，则t2，整理得，(1t2)x2(1t2)y22x(24t2)y24t20，(*)易知当1t20时，(*)式表示一个圆，且动点P在该圆上，又点P在圆x2y22上，所以点P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x(12t2)y23t20，所以圆心(0,0)到直线l的距离d，解得0t2，所以的最大值为2.答案：2三、解答题11已知圆C过点P(1,1)，且圆C与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解析：(1)设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2，令xcos ，ysin ，则xy2(sin cos )22sin2，所以的最小值为4.12已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标解析：(1)圆C的标准方程为(x1)2(y2)22.当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为ykx，由，得k2，此切线方程为y(2)x.当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1或a3.此切线方程为xy10或xy30.综上，此切线方程为y(2)x或y(2)x或xy10或xy30.(2)由|PO|PM|，得|PO|2|PM|2|PC|2|CM|2，即xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130，即点P在直线l：2x4y30上，当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，此时直线POl，直线PO的方程为2xy0.解方程组得故使|PM|取得最小值时，点P的坐标为.
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