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专题六立体几何第1课时1(2015年新课标)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图Z61，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图Z61A. B. C. D.2如图Z62，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图Z62A. B. C. D323某几何体的三视图如图Z63，则该几何体的体积为()图Z63A. B. C. D.4(2016年河北“五校联盟”质量监测)某四面体的三视图如图Z64，则其四个面中最大的面积是()图Z64A2 B2 C. D2 5已知一个几何体的三视图如图Z65，则该几何体的体积为()图Z65A8 B. C. D76点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB1，AC2，AD3，则该球的表面积为()A7 B14 C. D.7(2013年新课标)如图Z66，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()图Z66A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm38(2016年北京)某四棱柱的三视图如图Z67，则该四棱柱的体积为_图Z679球O半径为R13，球面上有三点A，B，C，AB12 ，ACBC12，则四面体OABC的体积是()A60 B50 C60 D50 10如图Z68，已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是()图Z68A. B2 C. D311(2017年广东茂名一模)过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且两两夹角都为60，若球半径为R，则BCD的面积为_12已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB2，AC1，BAC60，则此球的表面积等于_第2课时1在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D902(2016年天津模拟)如图Z69，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：图Z69BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是()A B C D3三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长各为，m，n，其中m2n26，则三棱锥体积的最大值为()A. B. C. D.4(2016年辽宁葫芦岛统测)已知四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在PAD中，PAPD2，APD120，AB2，则球O的外接球的表面积等于()A16 B20 C24 D365在矩形ABCD中，AD2，AB4，E，F分别为边AB，AD的中点，将ADE沿DE折起，点A，F折起后分别为点A，F，得到四棱锥ABCDE.给出下列几个结论：A，B，C，F四点共面；EF平面ABC；若平面ADE平面BCDE，则CEAD；四棱锥ABCDE体积的最大值为，其中正确的是_(填上所有正确的序号)6(2017年广东梅州一模)如图Z610所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中BAEGAD45，AB2AD2，BAD60.(1)求证：BD平面ADG；(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值图Z6107(2017年广东广州二模)如图Z611，ABCD是边长为a的菱形，BAD60，EB平面ABCD，FD平面ABCD，EB2FDa.(1)求证：EFAC；(2)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值图Z6118(2017年广东揭阳一模)如图Z612，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC上的点，B1C平面A1BD；(1)求证：BD平面A1ACC1；(2)若AB1，且ACAD1，求二面角BA1DB1的余弦值图Z612专题六立体几何第1课时1D解析：由三视图，得在正方体ABCDA1B1C1D1中，截去四面体AA1B1D1，如图D164，图D164设正方体棱长为a，则a3a3.则剩余几何体体积为a3a3a3.所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.故选D.2B解析：几何体为如图D165所示的正方体中的三棱锥EBB1C(E为AA1的中点)，它的体积为444.故选B. 图D165 图D1663B解析：由三视图知对应的几何体为如图D166所示的正方体中的三棱锥PABC，其中PC平面PAB，PAAB，PCPB2，A到PB的距离为2，故该几何体的体积为222.故选B.4D解析：如图D167，在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即D1BCB1，其四个面的面积分别为2,2 ，2 ，2 .故选D.图D1675D解析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为2的正方体截去两个三棱锥AA1PQ和DPC1D1后剩余的部分，如图D168，其中Q是棱A1B1的中点，P是A1D1的中点，所以该几何体的体积为V81121227.故选D.图D1686B解析：三棱锥ABCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，所以长方体的对角线长是，它的外接球半径是，外接球的表面积是4214.故选B.7A解析：如图D169，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5.V球53(cm3)图D1698.解析：由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高为1，故该四棱柱的体积VSh(12)11.9A解析：设ABC外接圆半径为r，由AB12 ，ABBC12，得AB30，C120.所以2r24.解得r12.则O到平面ABC的距离d5.又SABC1212sin 12036 ，所以VOABC36 560 .故选A.10C解析：根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点E的球O的截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值设正三角形ABC的中心为O1，连接O1A，连接O1O，O1C，OC，O1是正三角形ABC的中心，A，B，C三点都在球面上，O1O平面ABC.结合O1C平面ABC，可得O1OO1C.球的半径R2，球心O到平面ABC的距离为1，O1O1.RtO1OC中，O1C.又E为AB的中点，ABC是等边三角形O1EAO1sin 30.OE.过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r.可得截面面积为Sr2.故选C.11.R2解析：方法一，由条件知ABCD是正四面体，BCD是正三角形，A，B，C，D为球上四点，将正三棱锥ABCD补充成一个正方体AGBHFDEC，如图D170.则正三棱锥ABCD和正方体AGBHFDEC有共同的外接球，BCD的边长就是正方体面的对角线，设正方体AGBHFDEC的棱长为a，则正方体外接球半径R满足：a2a2a2(2R)2，解得a2R2.所以BC2a2a2R2.所以BCD的面积SBCBDsin 60R2R2. 图D170 图D171方法二，由条件ABCD是正四面体，BCD是正三角形，A，B，C，D为球上四点，球心O在正四面体中心，如图D171.设BCa，CD的中点为E，O1为过点B，C，D截面圆的圆心，则截面圆半径rO1BBEaa.正四面体ABCD的高AO1a.截面BCD与球心的距离dOO1aR.在RtBOO1中，2R22，解得aR.BCD的面积为SBCBCsin 602R2.128解析：三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AC1，AB2，BAC60，12sin 60AA1.AA12.BC2AB2AC22ABACcos 604123，BC.设ABC外接圆的半径为R，则2R.R1.故外接球的半径为，外接球的表面积等于4()28.第2课时1C解析：延长CA到D，使得ADAC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角又A1DB为等边三角形DA1B60.2B解析：由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错3D解析：直接求三棱锥的体积很困难，因为不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥ACB1D1符合题意，设AA1x，A1D1y，A1B1z，有x2y22z2m2n26,2z24，z，x2y222xy，xy1.三棱锥体积VV长方体xyzxy.所以三棱锥体积的最大值为.故选D.图D1724B解析：取AD的中点为E，连接PE，则由平面PAD垂直于平面ABCD可得，PE平面ABCD，于是以点E为原点，以ED，EP分别为x，z轴建立空间直角坐标系，其中AC与BD相交于F点于是可得E(0,0,0)，D(，0,0)，A(，0,0)，P(0,0,1)，C(，2,0)，B(，2,0)，F(0,1,0)，设球O的球心的坐标为O(0，1，z0)，则(0，1,1z0)，(，1，z0)，由|，得.解之，得z01.所以球心O(0,1，1)于是其半径为|，由球的表面积公式知，S4r24()220.故选B.56(1)证明：在BAD中，AB2AD2，BAD60，由余弦定理，可得BD.AB2AD2BD2，ADBD.又在直平行六面体中，GD平面ABCD，BD平面ABCD，GDBD.又ADGDD，BD平面ADG.(2)解：以D为坐标原点，建立如图D173所示的空间直角坐标系Dxyz.图D173BAEGAD45，AB2AD2，A(1,0,0)，B(0，0)，G(0,0,1)，E(0，2)，C(1，0)(1，2)，(1,0,1)设平面AEFG的法向量为n(x，y，z)，故有令x1，得y，z1.n(1，1)而平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)，cos ，n.故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为.7解：(1)证明：连接BD，如图D174.因为ABCD是菱形，所以ACBD.因为FD平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACFD.因为BDFDD，所以AC平面BDF.因为EB平面ABCD，FD平面ABCD，所以EBFD.所以B，D，F，E四点共面因为EF平面BDFE，所以EFAC. 图D174 图D175(2)如图D175，以D为坐标原点，分别以，的方向为y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.可以求得A，B，F，C(0，a,0)，E.所以(0，a,0)，.设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，则平面ABF的一个法向量为n(1,0,1)因为，所以.所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为.8(1)证明：如图D176，连接ED，平面AB1C平面A1BDED，B1C平面A1BD，B1CED.E为AB1的中点，D为AC的中点ABBC，BDAC.方法一，由A1A平面ABC，BD平面ABC，得A1ABD，由及A1A，AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，BD平面A1ACC1.方法二，A1A平面ABC，A1A平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC.又平面A1ACC1平面ABCAC，BD平面A1ACC1. 图D176 图D177(2)由AB1，得BCBB11.由(1)知DAAC，由ACDA1，得AC22.AC22AB2BC2，ABBC.以B为原点，建立空间直角坐标系Bxyz如图D177，则A1(1,0,1)，B1(0,0,1)，D.所以(1,0,0)，.设m(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，则得令z1，得m(0,2,1)设n(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，则得令c1，得n(1,1,1)依题意知二面角BA1DB1为锐二面角，设其大小为，则cos |cosn，m|.即二面角BA1DB1的余弦值为.
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