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专题突破练144.14.2组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯() A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏2.(2018辽宁大连二模,理4)设等比数列an的前n项和为Sn,S2=-1,S4=-5,则S6=()A.-9B.-21C.-25D.-633.已知等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.4.(2018河北唐山三模,理6)数列an的首项a1=1,对于任意m,nN*,有an+m=an+3m,则an前5项和S5=()A.121B.25C.31D.355.(2018山东潍坊二模,理4)设数列an的前n项和为Sn,若Sn=-n2-n,则数列的前40项的和为()A.B.-C.D.-6.设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.67.(2018吉林长春外国语学校二模,理8)已知数列an的前n项和Sn=2n-1,则数列的前10项和为()A.410-1B.(210-1)2C.(410-1)D.(210-1)8.设等差数列an满足3a8=5a15,且a10,Sn为其前n项和,则数列Sn的最大项为()A.S23B.S24C.S25D.S269.(2018全国高考必刷模拟一,文12)数列an满足a1=,an+1-1=an(an-1)(nN*),Sn=+,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是()A.0,1,2B.0,1,2,3C.1,2D.0,2二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2018湖南衡阳一模,文15)已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn=.11.设等比数列an的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为.12.(2018辽宁抚顺一模,文16)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn+2,则a9的值为.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:+0,d0,an+1an,因此数列an单调递增.an+1-1=an(an-1),.Sn=+=3-.由an+1-1=an(an-1)(nN*),得a2-1=,a2=,同理可得a3=,a4=.当n=1时,S1=3-,其整数部分为0,当n=2时,S2=3-=3-=1+,其整数部分为1,当n=2时,S3=3-=2+,其整数部分为2,因数列an单调递增,当n4时,01,所以当n4时,Sn=3-(2,3),所以Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是0,1,2.10.n2n解析 Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得Sn-2Sn-1=2n,等式两边同时除以2n,则=1.又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,所以Sn=n2n.11.2解析 等比数列an的前n项和为Sn,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,解得a1q=8,q3=-,a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8=2.12.384解析 当n2时,由an+1=Sn+2,得an=Sn-1+2,两式相减,得an+1-an=an,an+1=2an.当n=2时,a2=S1+2=3,所以数列an中,当n2时,是以2为公比的等比数列,a9=a227=3128=384.13.(1)解 设等差数列log2(an-1)的公差为d.由a1=3,a3=9,得log22+2d=log28,即d=1.log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.(2)证明 ,+=+=1-1.14.解 (1)在3an=2Sn+3中,令n=1,得a1=3.当n2时,3an=2Sn+3,3an-1=2Sn-1+3,-得an=3an-1,数列an是以3为首项,3为公比的等比数列,an=3n.(2)由(1)得bn=log3an=n,数列bn的前n项和Tn=1+2+3+n=.15.解 (1)由2an=an+1+an-1(n2,nN*),得数列an为等差数列,且首项为1,公差为a2-a1=1,所以an=n.(2)2nbn+1=(n+1)bn,(n1),数列是以=1为首项,为公比的等比数列,即,从而bn=,Tn=+Tn=+,由-,得Tn=1+=2-,Tn=4-.
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