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专题08 功能关系、机械能守恒定律及其应用考纲定位本讲共1个考点，一个二级考点（1）功能关系本讲高考频率非常高，本考点涵盖了前面动能定理、重力做功、机械能守恒等知识，高考中选择题多以难度比较大，计算题题中考查这个知识也是非常之高。必备知识一、几种常见的功能关系及其表达式力做功能的变化定量关系 合力的功动能变化WEk2Ek1Ek重力的功重力势能变化(1)重力做正功，重力势能减少(2)重力做负功，重力势能增加(3)WGEpEp1Ep2弹簧弹力的功弹性势能变化(1)弹力做正功，弹性势能减少(2)弹力做负功，弹性势能增加(3)WFEpEp1Ep2只有重力、弹簧弹力做功机械能不变化机械能守恒E0除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功机械能变化(1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少(3)W其他E一对相互作用的滑动摩擦力的总功机械能减少内能增加(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加(2)摩擦生热QFfx相对二、两种摩擦力做功特点的比较类型比较静摩擦力滑动摩擦力不同点能量的转化方面只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能(1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体(2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量一对摩擦力的总功方面一对静摩擦力所做功的代数和总等于零一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体均可以做正功，做负功，还可以不做功三、能量守恒定律1内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变2表达式E减E增3基本思路(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等题型洞察一.题型研究一：机械能守恒定律及其应用（一）真题再现1.(2018江苏高考)如图所示,钉子A、B相距5l,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为53。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取sin 53=0.8,cos 53=0.6。求:(1)小球受到手的拉力大小F。(2)物块和小球的质量之比Mm。(3)小球向下运动到最低点时,物块M所受的拉力大小T。【答案】(1)Mg-mg (2)65(3)（）【解析】(1)设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2,F1sin 53=F2cos 53F+mg=F1cos 53+ F2sin 53且F1=Mg解得F=Mg-mg。(2)小球运动到与A、B相同高度过程中小球上升高度h1=3lsin 53,物块下降高度h2=2l根据机械能守恒定律mgh1=Mgh2解得Mm=65。(3)根据机械能守恒定律,小球回到起始点。设此时AC方向的加速度大小为a,物块受到的拉力为T由牛顿第二定律得Mg-T=Ma,小球受AC的拉力T=T由牛顿第二定律得T-mgcos 53=ma解得T=（）2（2017江苏卷，9）如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L，B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长.现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角由60变为120，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此下降过程中（A）A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于mg（B）A的动能最大时，B受到地面的支持力等于mg（C）弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下（D）弹簧的弹性势能最大值为 mgL【答案】AB【名师点睛】本题的重点是当A球的动能最大时，受合外力为零，在竖直方向整体加速度为零，选择整体为研究对象，分析AB两个选项；弹性势能最大对应A球下降至最低点，根据能量守恒，可求最大的弹性势能。3(2015全国卷T21)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则()Aa落地前，轻杆对b一直做正功Ba落地时速度大小为Ca下落过程中，其加速度大小始终不大于g Da落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 【答案】BD【解析】由题意知，系统机械能守恒设某时刻a、b的速度分别为va、vb.此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为，分别将va、vb分解，如图因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v与v是相等的，即vacos vbsin .当a滑至地面时90，此时vb0，由系统机械能守恒得mghmv，解得va，选项B正确同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确正确选项为B、D.4(2016全国卷丙T24)如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动(1)求小球在B、A两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点【答案】(1)5(2)能沿轨道运动到C点（二）精准练习1如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2.则()Av1v2，t1t2 Bv1t2Cv1v2，t1t2 Dv1v2，t1t2.2水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，一小球以初速度v0沿直轨道ab向右运动，如图所示，小球进入半圆形轨道后刚好能通过最高点c.则()AR越大，v0越大BR越大，小球经过b点后的瞬间对轨道的压力越大Cm越大，v0越大Dm与R同时增大，初动能Ek0增大【答案】AD【解析】小球刚好能通过最高点c，表明小球在c点的速度为vc，根据机械能守恒定律有mvmg2RmvmgR，选项A正确；m与R同时增大，初动能Ek0增大，选项D正确；从b到c机械能守恒，mg2Rmvmv得vb，在b点，Nmgm得N6mg，选项B错误；mvmg2Rmv，v0，v0与m无关，选项C错误3如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点正下方距离为d处现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是()A环到达B处时，重物上升的高度hB环到达B处时，环与重物的速度大小相等C环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能D环能下降的最大高度为 【答案】CD【解析】环到达B处时，对环的速度进行分解，可得v环cos v物，由题图中几何关系可知45，则v环v物，B错；因环从A到B，环与重物组成的系统机械能守恒，则环减少的机械能等于重物增加的机械能，C对；当环到达B处时，由题图中几何关系可得重物上升的高度h(1)d，A错；当环下落到最低点时，设环下落高度为H，由机械能守恒有mgH2mg(d)，解得Hd，故D正确4如图所示，直立弹射装置的轻质弹簧顶端原来在O点，O与管口P的距离为2x0，现将一个重力为mg的钢珠置于弹簧顶端，再把弹簧压缩至M点，压缩量为x0.释放弹簧后钢珠被弹出，钢珠运动到P点时的动能为4mgx0，不计切阻力，下列说法中正确的是()A弹射过程，弹簧和钢珠组成的系统机械能守恒B弹簧恢复原长时，弹簧的弹性势能全部转化为钢珠的动能C钢珠弹射所到达的最高点距管口P的距离为7x0D弹簧被压缩至M点时的弹性势能为7mgx0【答案】AD二.题型研究二：功能关系（一）真题再现1.(2018全国卷I T18) 如图,abc是竖直面内的光滑固定轨道,ab水平,长度为2R;bc是半径为R的四分之一圆弧,与ab相切于b点。一质量为m的小球,始终受到与重力大小相等的水平外力的作用,自a点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点,机械能的增量为()A.2mgR B.4mgR C.5mgR D.6mgR【答案】C【解题指南】解答本题应注意以下三点:(1)小球由a到c的过程,由动能定理求出小球在c点的速度大小。(2)小球离开c点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为g。(3)小球轨迹最高点的竖直方向速度为零。【题后反思】此题将运动的合成与分解、牛顿运动定律和动能定理有机融合,难度较大,能力要求较高。2（2017全国，24）一质量为8.00104 kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60105 m处以7.5103 m/s的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100 m/s时下落到地面。取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8 m/s2。（结果保留2位有效数字）（1）分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；（2）求飞船从离地面高度600 m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。【答案】（1）（1）4.0108J 2.41012J ；（2）9.7108J【解析】（1）飞船着地前瞬间的机械能为式中，m和v0分别是飞船的质量和着地前瞬间的速率。由式和题给数据得设地面附近的重力加速度大小为g，飞船进入大气层时的机械能为式中，vh是飞船在高度1.6105m处的速度大小。由式和题给数据得（2）飞船在高度h=600 m处的机械能为由功能原理得式中，W是飞船从高度600m处至着地瞬间的过程中克服阻力所做的功。由式和题给数据得W=9.7108 J3(2015江苏卷T9)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长圆环从A处由静止开始下滑,经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，ACh.圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A.弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g.则圆环()A下滑过程中，加速度一直减小B下滑过程中，克服摩擦力做的功为mv2C在C处，弹簧的弹性势能为mv2mghD上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度【答案】BD【解析】由题意知，圆环从A到C先加速后减速,到达B处的加速度减小为零，故加速度先减小后增大，故A错误；根据能量守恒，从A到C有mghWfEp,从C到A有mv2EpmghWf，联立解得：Wfmv2，Epmghmv2，所以B正确,C错误；根据能量守恒，从A到B有mgh1mvEpWf1，从B到A有mgh1Wf1mvEp，可得vB2vB1，所以D正确4(2016全国甲卷T25) 轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。【答案】(1)2l(2)mMm）的滑块,通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()A.两滑块组成系统的机械能守恒B重力对M做的功等于M动能的增加C轻绳对m做的功等于m机械能的增加D两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功【答案】CD【解析】由于斜面ab粗糙，在两滑块沿斜面运动的过程中，.两滑块组成系统的机械能不守恒，选项A错误；由动能定理，重力对M做的功大于M动能的增加，选项B错误；由功能关系，轻绳对m做的功等于m机械能的增加，选项C正确；由功能关系可知，两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功，选项D正确。2如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时对轨道压力为.已知AP2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中()A重力做功2mgRB合力做功mgRC克服摩擦力做功mgRD机械能减少2mgR【答案】B【解析】小球能通过B点，在B点速度v满足mgmgm，解得v ，从P到B过程，重力做功等于重力势能减小量为mgR，动能增加量为mv2mgR，合力做功等于动能增加量mgR，机械能减少量为mgRmgRmgR，克服摩擦力做功等于机械能的减少量mgR，故只有B选项正确3如图所示，长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块，现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，在整个过程中()A木板对小物块做的功为mv2B支持力对小物块做的功为零C小物块的机械能的增量为mv2mgLsinD滑动摩擦力对小物块做的功为mv2mgLsin【答案】AD4如图所示，斜面固定，AB与水平方向的夹角45，A、B两点的高度差h4 m，在B点左侧的水平面上有一左端固定的轻质弹簧，自然伸长时弹簧右端到B点的距离s3 m质量为m1 kg的物块从斜面顶点A由静止释放，物块进入水平面后向左运动压缩弹簧的最大压缩量x0.2 m已知物块与水平面间的动摩擦因数0.5，取g10 m/s2，不计物块在B点的机械能损失求：(1)弹簧的最大弹性势能；(2)物块最终停止位置到B点的距离；(3)物块在斜面上滑行的总时间(结果可用根式表示)【答案】(1)24 J(2)1.6 m(3) s【解析】(1)物块从开始位置到压缩弹簧至速度为0的过程，由功能关系可得：mghmg(sx)Ep解得最大弹性势能Ep24 J. (3)物块在光滑斜面上运动时，由牛顿第二定律有：mgsin ma解得：agsin 设物块第一次在斜面上运动的时间为t1，则at解得：t1 s设物块从水平面返回斜面时的速度为v，由动能定理可得：mgh2mg(sx)mv2解得：v4 m/s所以，物块第二次在斜面上滑行的时间为：t22 s.物块在斜面上滑行总时间为：tt1t2 s.5光滑圆轨道和两倾斜直轨道组成如图所示装置，其中直轨道BC粗糙，直轨道CD光滑，两轨道相接处为一很小的圆弧，质量为m0.1 kg的滑块(可视为质点)在圆轨道上做圆周运动，到达轨道最高点A时的速度大小为v4 m/s，当滑块运动到圆轨道与直轨道BC的相切处B时，脱离圆轨道开始沿倾斜直轨道BC滑行，到达轨道CD上的D点时速度为零若滑块变换轨道瞬间的能量损失可忽略不计，已知圆轨道的半径为R0.25 m，直轨道BC的倾角37，其长度为L26.25 m，D点与水平地面间的高度差为h0.2 m，取重力加速度g10 m/s2，sin370.6，cos370.8.求：(1)滑块在圆轨道最高点A时对轨道的压力大小；(2)滑块与直轨道BC间的动摩擦因数；(3)滑块在直轨道BC上能够运动的时间【答案】(1)5.4 N(2)0.8(3)7.66 s【解析】(1)在圆轨道最高点A处对滑块，由牛顿第二定律得：mgFNm，得FNm(g)5.4 N由牛顿第三定律得滑块在圆轨道最高点A时对轨道的压力大小为5.4 N.(2)从A点到D点全程，由动能定理得：mg(RRcosLsinh)mgcosL0mv2即0.8.(3)设滑块在BC上向下滑动的时间为t1，向上滑动的加速度为a2，时间为t2，在C点时的速度为vC.由C到D：mvmghvC2 m/sA点到B点的过程：mgR(1cos)mvmv2vB5 m/s在轨道BC上：下滑：Lt1，t17.5 s上滑：mgsinmgcosma2a2gsingcos12.4 m/s20vCa2t2t2 s0.16 stan，滑块在轨道BC上停止后不再下滑滑块在BC上运动的总时间：t总t1t2(7.50.16) s7.66 s
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