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专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一学习目标1理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性2会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期3理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题二方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f(x)与f(x)的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，偶函数一般可化为yAcos xb的形式.2.三角函数的单调性(1)函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，其基本思想是把x看作一个整体，比如：由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间.若函数yAsin(x)中A0，0，可用诱导公式将函数变为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数yAcos(x)，yAtan(x)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；再利用单调性比较.3.求三角函数的最值常见类型：(1)yAsin(x)B或yAtan(x)B，(2)yA(sin xa)2B，(3)ya(sin xcos x)bsin xcos x(其中A，B，a，bR，A0，a0).三函数图象与性质需要掌握的题型（一）三角函数图象平移（二）三角函数的零点（三）函数的单调性（四）函数的解析式（五）三角函数图象综合（六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四典例分析（一）三角函数图象平移例1为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度 D向右平行移动个单位长度【答案】B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1为了得到的图像，只需把函数的图像（ ）A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2函数的零点个数为A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1设函数为定义域为的奇函数，且，当时，则函数在区间上的所有零点的和为A10 B8 C16 D20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。【详解】因为函数为定义域为的奇函数，所以，又因为，所以，可得，即函数是周期为4的周期函数，且 图像关于直线对称。故在区间上的零点，即方程的根，分别画出与的函数图像，因为两个函数图像都关于直线对称，因此方程的零点关于直线对称，由图像可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为，则，所以所有零点和为8,故选B。练习2设，则函数A有极值 B有零点 C是奇函数 D是增函数【答案】D【解析】由x0，求得导数判断符号，可得单调性；再由三次函数的单调性，可得x0的单调性，即可判断正确结论【详解】由x0，f（x）=xsinx，导数为f（x）=1cosx，且f（x）0，f（x）递增，f（x）0；又x0，f（x）=x3+1递增，且f（0）=10sin0，故f（x）在R上递增；f（x）无极值和无零点，且不为奇函数.故答案为：D练习3已知，若函数在上有两个不同零点，则_【答案】【解析】通过两角和的正弦公式得到函数的解析式，再通过换元结合正弦函数的图像得到两根之和，进而得到结果.【详解】已知=，令，函数在上有两个不同零点,即函数和y=m两个图像有两个不同的交点，做出函数y=sint，和y=m的图像,通过观察得到 进而得到= 故答案为：. （五）三角函数图象综合例5函数在，上的图象大致为()A B C D【答案】D【解析】由题易得函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除选项B、C，当 时，f(x)0，排除选项A.故选D.练习1函数的图像大致是（ ）A BC D【答案】A【解析】因为函数y=f(x)= 可化简为f(x)= 可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C；同时有y=f(x)= =故函数在x(0, )时f(x)0,则x(0, )上单调递增，排除答案B和D，故选：A.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题练习2函数在上的图像大致为（ ）【答案】C【解析】试题分析：因为函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数的图像关于原点对称，排除A、B选项，在同一直角坐标系中，作出函数， 在的图像，由图可知故在时，靠近轴的部分满足，比较选项C、D可得答案C正确.（六）三角函数的奇偶性例6已知函数f(x)sin(2x)在x时有极大值，且f(x)为奇函数，则，的一组可能值依次为()A B C D【答案】D【解析】依题意得22k1，即2k1，k1Z，A，B均不正确由f(x)是奇函数得f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，函数f(x)的图象关于点(，0)对称，f()0，sin(2)0，sin(2)0,2k2，k2Z，结合选项C，D取得，k2Z，故选D.练习1设函数的最小正周期为，且，则（ ）A在单调递减 B在单调递减C在单调递增 D在单调递增【答案】A考点：函数的解析式，函数的奇偶性，单调性（七）三角函数的对称性例7函数f(x)2cos(x)(0)对任意x都有，则等于()A2或0 B2或2 C0 D2或0【答案】B【解析】由ff得x是函数f(x)的一条对称轴，所以f2，故选B.练习1已知函数对任意都有则等于（ ）A B C或 D【答案】C【解析】因为函数对任意都有所以关于直线对称.则为的最大值或最小值，即或.故选C.（八）三角函数的最值例8已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)f(2)【答案】A【解析】因为函数的最小正周期为，所以，又当时，函数取得最小值，则是经过函数最小值的一条对称轴，是经过函数最大值的一条对称轴，因为，所以，且，所以，即；故选A.点睛：本题考查三角函数的性质；比较三角函数值的大小时，往往将角转化到同一个单调区间上，而本题中将难以转化到同一个单调区间上，而是利用对称性和开口方向进行比较.练习1已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】，又函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，解得： 故选：D练习2已知函数，若存在实数，使得对任意的实数，都有恒成立，则的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】，所以周期，存在实数，使得对任意的实数，都有恒成立，则,解得： ，故选B.（九）三角函数与数列的综合例9若，则中值为的有（ ）个A200 B201 C402 D403【答案】C【解析】不难发现，在10个位一组里面有两个值为0，那么在中有故答案选练习1函数，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】当时,，f(x)1,2，对于(m0)，当时, , 对任意，存在,使得成立，解得实数m的取值范围是.故选：D.点睛：函数中的方程有解问题：（1）若为一元方程，通常有两个方法：要么画函数的图象，研究图象与轴的交点即可；要么将方程整理成两个函数相等，画两个函数的图象求解即可；（2）若为二元方程，通常是转成研究方程左右两边的函数的值域的包含关系即可.练习2函数（）的图象与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数的图象，只要将的图象（ ）个单位A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移【答案】D【解析】正弦函数图象与轴相邻交点横坐标相差为半个周期，即，又因为，所以，则，所以只要将函数的图象向右平移个单位就能得到的图象，故选A考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角函数图象的平移变换（十）三角函数的周期性例10函数的最小正周期为（）A B C D【答案】C【解析】化简，利用周期公式可得结果.【详解】因为函数，所以最小正周期为，故选C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角的正弦公式，以及正弦函数的周期公式，属于中档题. 函数的最小正周期为.练习1给出以下命题：若均为第一象限角，且，且；若函数的最小正周期是，则；函数是奇函数；函数的周期是；函数的值域是0，2其中正确命题的个数为（）A3 B2 C1 D0【答案】D【解析】利用三角函数周期公式，奇偶性以及图像即可得出结果.若函数的周期是，由周期定义知，故函数的周期不是，故不正确. = ,当时，可知函数的值域为故不正确;综上可知:都不正确.故选：D练习2（2018年全国卷文）函数的最小正周期为A B C D【答案】C【解析】将函数进行化简即可详解：由已知得的最小正周期故选C.练习3下列函数的周期为的是( )；.A B C D【答案】D【解析】利用，的周期不是，可排除选项；利用，排除，从而可得结果.【详解】设，则，不是的周期，不合题意，排除，设，则，故是的周期，符合题意，排除，故选D.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.练习4函数是（ ）A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数【答案】D【解析】由题意，因为，所以为偶函数，故排除A,C，由诱导公式得，即函数的最小正周期为，所以正确答案为D.点睛：引题主要考查三角函数的奇偶性、周期性等性质，以及三角函数诱导公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.在此类问题中，函数解析式相对特殊，直接法求解不容易算，采用三角函数的性质去判断，反而会使问题简单化，以达到四两拔千斤的效果.
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