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小题分层练(七)压轴小题巧解练(建议用时：40分钟)一、选择题1若曲线yln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )A.B.C(0，)D0，)D由题意得y2ax0在(0，)上恒成立，a在x(0，)上恒成立令f(x)，x(0，)，则f(x)在(0，)上单调递增，又f(x)1f(x)，f(0)2，则不等式f(x)1ex的解集为( )A(1，)B(0，)C(1，)D(e，)B令g(x)exf(x)ex，则g(x)exf(x)f(x)10，所以函数g(x)在R上单调递增又g(0)e0f(0)e01，所以不等式f(x)1exexf(x)ex1g(x)g(0)x0，故不等式f(x)1ex的解集为(0，)4半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是()A2R2B.R2 C3R2D.R2A设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，则rRcos ，圆柱的高为2Rsin ，圆柱的侧面积为2R2sin 2，当且仅当时，sin 21，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为2R2，球的表面积为4R2，球的表面积与该圆柱的侧面积之差为2R2，故选A.5(2018孝义市一模)已知函数f(x)ex2xa，若曲线yx3x1(x1,1)上存在点(x0，y0)使得f(y0)y0，则实数a的取值范围是( )A(，e39)e3，)Be39，e3C(e39，e26) D(，e39)(e3，)B因为曲线yx3x1在x1,1上递增，由曲线yx3x1(x1,1)上存在点(x0，y0)使f(y0)y0，可知y01,3，由f(y0)y0，可得y0e2y0a，ae3y0，而ae3y0在1,3上单调递减，ae39，e3，故选B.6(2018武汉调研)已知A，B分别为椭圆1(0b3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线yx的距离为1，则该椭圆的离心率为()A.B. C.D.B根据椭圆的标准方程1(0b3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，y0)，则1，kAPm，kBQn，mn，直线yxx，即x3y0.又点A到直线yx的距离为1，1，解得b2，c2a2b2，e，故选B.7已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，)B(0,13，)C(0，2，)D(0，3，)B在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当01时，00)准线的距离为4，F为抛物线的焦点，点N(1,1)，当点P在直线l：xy2上运动时，的最小值为( )A. B. C. D.B点M(3,2)到抛物线C：yax2(a0)准线的距离为4，24，a，抛物线C：x28y，直线l：xy2与x轴交于A(2,0)，则FAl，且点N，A，F三点共线，设|AP|t，则|AN|，|AF|2，|PN|，|PF|，设1m(m1)，则，m1，即t0时，的最小值为.10.如图27，在ABC中，ABBC，ABC90，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )图27A7 B5 C3DA依题意可得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD平面PCD，设三棱锥PBDC外接球的球心为O，PCD外接圆的圆心为O1，则OO1平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD，O1D1，及OBOD，可得OB，则外接球的半径R.所以该球的表面积S球4R27.11记函数f(x)sin 2nxcos nx在区间0，内的零点个数为an(nN*)，则数列an的前20项的和是( )A430B840C1 250D1 660A令f(x)sin 2nxcos nx2cos nx0，得cos nx0或sin nx，由得，nxk(kZ)，令0kn，得kn，故共有n个解，由得nx2k或2k(kZ)，令02kn，得k，令02kn，得k，当n为偶数时，有个解，有个解，故有n个解，故an2n；当n为奇数时，有个解，有个解，故有n1个解，故an2n1；令bna2n1a2n2(2n1)12(2n)8n1；故a1a2a20b1b2b10430，故选A.12.在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，ABBC2AD2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在上运动(如图28)若，其中，R，则25的取值范围是()图28A2,2B2,2C2，2D2，2C分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴，AB，AD方向为正方向建立直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，E(2,1)，F，设P(cos ，sin )(0)，由APAEBF，得(cos ，sin )(2,1)，则252cos 2sin 2sin，由0可得，则22sin2.则25的取值范围是2，2故选C.二、填空题13. (2018长春模拟)如图29，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量mn(m，n为实数)，则mn的取值范围是_图29如图建立平面直角坐标系，则(4,0)，(0,4)，mn(4m,4n)，设Q(4，t)，t0,4，则P在圆(x4)2(yt)21上，设P(4cos ，tsin )，则4m4n4tsin，当t0，时，mn取得最小值1，当t4，时，mn取得最大值2，所以mn的取值范围是.14函数f(x)的图象与函数g(x)2sinx(0x4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，则f(y1y2yn)g(x1x2xn)_.如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点对称，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0 .15.如图30，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值为_图305连接A1B，沿BC1将CBC1展开，使与A1BC1在同一个平面内，如图所示，连接A1C.则A1C的长度就是所求的最小值易知A1C1B90，BC1C45，所以A1C1C135，在A1C1C中，由余弦定理可得A1C5.故CPPA1的最小值为5.16.具有公共y轴的两个直角坐标平面和所成的二面角y轴大小为45，如图31，已知在内的曲线C的方程是y24x，曲线C在平面内射影的方程y22px，则p的值是_图312结合题中所给的示意图可知，曲线C的方程是y24x，则OF，作F平面于点F，由于平面和所成的二面角y轴大小为45，故OFcos 451，即曲线C在平面内射影所形成的抛物线的焦距为1，故p212.
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