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第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义. 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切 能进行角度与弧度的互化. 能判断角所在的象限，会判断半角和倍角所在的象限. 准确理解任意角的三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号1. (必修4P10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min，则这段时间内钟表的分针走过的角度是_答案：90解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角又周角为360，所以1590，即分针走过的角度是90.2. (必修4P10习题4改编)若角的终边与角的终边相同，则在0，2)内终边与角的终边相同的角的集合为_(用列举法表示)答案：解析：由题意2k(kZ)， k(kZ)由02，即0k2知k，kZ. k0或1.故在0，2)内终边与角的终边相同的角的集合为.3. (必修4P9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为_答案：6解析：设扇形的半径为R，则R22， R242.而R21， R1， 扇形的周长为2RR246.4. 已知角的终边经过点P(8，m1)，且sin ，则m_答案：5解析：sin ，解得m5.5. 函数ylg(2cos x1)的定义域为_答案：(kZ)解析： 2cos x10， cos x.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， x(kZ)1. 任意角(1) 角的概念的推广 按旋转方向不同分为正角、负角、零角 按终边位置不同分为象限角和轴线角(2) 终边相同的角终边与角相同的角可写成k360(kZ)(3) 弧度制 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径 弧度与角度的换算：3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad度 弧长公式：l|r扇形面积公式：S扇形lr|r22. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设P(x，y)是角终边上任意一点，且|PO|r(r0)，则有sin ，cos ，tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：全正、正弦、正切、余弦(3) 特殊角的三角函数值角弧度数sin cos tan 0001030451609010/120续表角弧度数sin cos tan 135115018001027010/3. 三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan AT我们把有向线段OM，MP，AT叫做的余弦线、正弦线、正切线三角函数线备课札记,1象限角及终边相同的角),1)(1) 已知2 017，则与角终边相同的最小正角为_，最大负角为_(2) (必修4P10习题12改编)已知角是第三象限角，试判断： 是第几象限角？ 是第几象限角？ 2的终边在什么位置？(1) 答案：143217解析：可以写成6360143的形式，则与终边相同的角可以写成k360143(kZ)的形式当k0时，可得与角终边相同的最小正角为143，当k1时，可得最大负角为217.(2) 解： 是第三象限角， 2k2k，kZ. 2k2k，kZ. 是第四象限角 kk，kZ， 是第二或第四象限角 4k224k3，kZ， 2的终边在第一或第二象限或y轴非负半轴上变式训练(必修4P10习题5改编)终边在直线yx上的角的集合可表示为_答案：解析：直线yx 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为，则终边在该直线上的角的集合为x|xk，kZ,2三角函数的定义),2)(1) 点P是始边与x轴的正半轴重合、顶点在原点的角的终边上的一点，若|OP|2，60，则点P的坐标是_；(2) (2017泰州模拟)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为_答案：(1) (1，)(2) 解析：(1) 设点P的坐标为(x，y)，由三角函数的定义，得sin 60，cos 60，所以x2cos 601，y2sin 60，故点P的坐标为(1，)(2) r， cos ， m0， ，即m.变式训练(2017无锡期末)已知角的终边与单位圆的交点为P，则sin tan _答案：解析：由OP2y21，得y2，y.当y时，sin ，tan ，此时sin tan .当y时，sin ，tan ，此时sin tan .,3三角函数的符号及判定),3)点A(sin 2 017，cos(2 017)位于第_象限答案：三解析：因为2 0175360217是第三象限角，所以sin 2 0170.又2 0176360143是第二象限角，所以cos(2 017)0，所以点A(sin 2 017，cos(2 017)位于第三象限变式训练下列判断正确的是_(填序号) sin 3000； cos(305)0； tan0； sin 100.答案：解析：30036060，则300是第四象限角；30536055，则305是第一象限角；8，则是第二象限角；因为310，所以10是第三象限角故sin 3000，cos(305)0，tan0，sin 100，正确,4弧长公式与扇形面积公式),4)扇形AOB的周长为8 cm.(1) 若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为，(1) 由题意可得解得或 或6.(2) 2rl8， S扇lrl2r4(cm2)，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值， r2， 弦长AB22sin 14sin 1(cm)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是_；扇形的圆心角所对的弦长为_cm.答案： 22sin 1解析：设此扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则2rl4，面积Srlr(42r)r22r(r1)21，故当r1时S最大，这时l42r2 cm.从而2.扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm.1. 若tan(45)0，则sin ，cos ，sin 2，cos 2中一定为负数的是_答案：cos 2解析： tan(45)0， k180135k18045， k3602702k36090， cos 20)，扇形所在圆的半径为R.(1) 若90，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2) 若扇形的周长是一定值C cm(C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l，弓形面积为S弓，又90，R10，则l105(cm)，S弓S扇S三角形5101022550 (cm2)(2) 扇形周长C2Rl(2RR)cm， Rcm， S扇R2.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值 cm2.1. 给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； 若sin sin ，则与的终边相同； 若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确的命题是_(填序号)答案：解析：由于第一象限角370大于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故错；当时，cos 10，则实数a的取值范围是_答案：(2，3解析： cos 0，sin 0， 角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上 2a3.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式(2) 已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角2. 已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解的三角函数值3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式4. 利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤(1) 用边界值定出角的终边位置(2) 根据不等式(组)定出角的范围(3) 求交集，找单位圆中公共的部分(4) 写出角的表达式第2课时同角三角函数的基本关系式与 诱导公式(对应学生用书(文)、(理)5152页) 会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan . 理解正弦、余弦、正切的诱导公式2k(kZ)，1. 已知sin ，且，则tan _答案：解析：由sin ，得cos ，则tan .2. (必修4P20练习2改编)sin(585)的值为_答案：解析：sin(585)sin 585sin(360225)sin 225sin(18045)sin 45.3. (2017苏北四市摸底)已知sin，则cos 的值为_答案：解析： sinsincos ， cos .4. (必修4P23习题11改编)已知tan 2，则_答案：1解析：因为tan 2，所以1.5. (必修4P21例4改编)若sin，则coscos2_答案：解析： sin ， sin， cos . cos21sin21sin21sin21. coscos2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin2cos21(2) 商数关系：tan_. 2. 诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限k(kZ)与的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限,1同角三角函数的基本关系式),1)(必修4P23习题20改编)已知x0，sin xcos x.(1) 求sin2xcos2x的值；(2) 求的值解：由sin xcos x，得12sin xcos x，则2sin xcos x. x0， sin x0，即sin xcos x0.则sin xcos x.(1) sin2xcos2x(sin xcos x)(sin xcos x).(2) 由得则tan x.即.变式训练(2017盐城模拟)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为_答案：解析： ， cos 0，sin sin ， cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12， cos sin .,2)(必修4P23习题12(2)改编)化简：()()解：原式()()若为第二象限角，则cos sin _答案：0解析：原式cos sin cos sin .因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以cos sin 110，即原式等于0.,2诱导公式及其运用),3)已知sin，则sinsin2的值为_答案：解析：由诱导公式得sin sin，sin2cos2，则sinsin2.变式训练已知cosa(|a|1)，则cossin_答案：0解析：由题意知，coscoscosa.sinsincosa， cossin0.,3同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用),4)(1) 设tan(5)m，求的值；(2) 在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三个内角解：(1) 由tan(5)m，得tan m， .(2) 由已知得22得2cos2A1，即cos A.() 当cos A时，cos B.又 A，B是三角形的内角， A，B， C(AB).() 当cos A时，cos B.又 A，B是三角形的内角， A，B，不合题意综上知，A，B，C.变式训练(1) (2017江西联考)已知tan()，且，求的值；(2) 在ABC中，若sin(3A)sin(B)，coscos(B)试判断三角形的形状解：(1) 由已知得tan ，.(2) 由题设条件，得sin Asin B，sin Acos B， sin Bcos B， tan B1. B(0，)， B， sin A1.又A(0，)， A， C. ABC是等腰直角三角形1. 已知cos 31a，则sin 239tan 149的值是_答案：解析：sin 239tan 149sin(27031)tan(18031)(cos 31)(tan 31)sin 31.2. 已知为锐角，且tan()30，则sin 的值是_答案：解析：(解法1)由tan()30，得tan 3，即3，sin 3cos ，所以sin29(1sin2)，10sin29，sin2.因为为锐角，所以sin .(解法2)因为为锐角，且tan()30，所以tan 30即tan 3.在如图所示的直角三角形中，令A，BC3，则AC1，所以AB，故sin .3. (2017南通调研)已知sin cos ，则sin cos _答案：解析： sin cos ， 2sin cos ， (sin cos )212sin cos ， sin cos 或. ， sin cos ， sin cos .4. 已知2，则(cos 3)(sin 1)的值为_答案：4解析：因为2，所以sin242cos 2，即cos22cos 30，解得cos 1或cos 3(舍去)由cos 1得sin 0，故(cos 3)(sin 1)4.1. 已知sin(3)2sin，则sin cos _答案：解析：因为sin(3)sin()2sin，所以sin 2cos ，所以tan 2，所以sin cos .2. 已知cos(80)k，那么tan 100_答案：解析：因为cos(80)cos 80k，所以sin 80.所以tan 100tan 80.3. (2017盐城调研)若3sin cos 0，则_答案：解析： 3sin cos 0，且cos 0， tan ， .4. (2017南京、盐城模拟)已知cos，且，求x的取值范围解：(1) 周期T， 2. fcoscossin .又， 2k2x2k， 2k2x2k， kxk，kZ， x的取值范围是.,2三角函数的性质)已知函数f(x)sin1.(1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 求f(x)在区间上的最大值和最小值；(3) 求f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y轴的距离分别最小【思维导图】【规范解答】解：(1) 函数f(x)的最小正周期为T.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2) 当x时，2x.由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取最大值1；当2x，即x时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0.(3) 令2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以当k0时，直线x是所有对称轴中最靠近y轴的令2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以当k0时，是所有对称中心中最靠近y轴的，所以所求的对称轴为直线x，对称中心为.【精要点评】 对于三角函数f(x)Asin(x)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令tx，将其转化为函数yAsin t，再进行其性质的研究总结归纳解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)Asin(x)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理若0)的形式，再将x看成整体，利用正弦函数ysin x的性质进行求解题组练透1. 将函数ysin 2x的图象向左平移(0)个单位，若所得的图象过点，则的最小值为_答案：解析：易知ysin 2(x)，即ysin(2x2) 图象过点， sin， 22k或22k，kZ，即k或k，kZ. 0， 的最小值为.2. 设函数ysin(0x)，当且仅当x时，y取得最大值，则正数的值为_答案：2解析：当x时，令x，则正数2.3. 函数f(x)sin在区间上的最小值为_答案：解析：由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.4. 设函数f(x)2sin的最小正周期为，且满足f(x)f(x)(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 当x时，试求yf的最值，并写出取得最值时自变量x的值解：(1) 因为f(x)的最小正周期为，所以T，解得2.又f(x)f(x)，所以f(0)0，所以sin0.又|，所以，所以2，所以f(x)2sin 2x.则2x(kZ)，解得函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2) 当x时，2x，yf2sin 22sin.当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x0时，f(x)取得最小值.,3根据图象和性质确定函数yAsin(x)的解析式),3)设函数f(x)Asin(x)(A0，0，xR)的部分图象如图所示(1) 求函数yf(x)的解析式；(2) 当x时，求f(x)的取值范围解：(1) 由图象知，A2.又，0，所以T2，得1.所以f(x)2sin(x)，将点代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)又，所以.所以f(x)2sin.(2) 当x时，x，所以sin，即f(x)，2变式训练已知函数f(x)2sin(0，0)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值；(2) 将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间解：(1) f(x)为偶函数， k，kZ，解得k，kZ. 0， .由题意得2，解得2.故f(x)2cos 2x，f2cos .(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象，所以g(x)f()2cos2cos.当2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)时，g(x)单调递减因此g(x)的单调递减区间为4k，4k(kZ),4三角函数的应用),4)(必修4P42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1) 将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2) 点P第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角OP每秒钟内所转过的角为.则OP在t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin2.当t0时，z0，得sin ，即.故所求函数解析式为z4sin2.(2) 令z4sin26，得sin1.令t，得t4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，且60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1) 求h与之间的函数解析式；(2) 设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少解：(1) 以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系则以Ox为始边，OB为终边的角为，故点B的坐标为， h5.64.8sin.(2) 点A在圆上转动的角速度是 rad/s，故t s转过的弧度数为t， h5.64.8sin，t0，)到达最高点时，h10.4 m.由sin1，得t， t30 s， 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.1. 已知函数f(x)2sin(x)的最小正周期为，且它的图象过点，则的值为_答案：解析：f(x)2sin(x) 的最小正周期为，则2，所以f(x)2sin(2x)，它的图象过点，则sin，故.2. 函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示若A，B两点之间的距离AB5，则的值为_答案：解析：AB5，|yAyB|4，则|xAxB|3，则T6，则6，.3. 将函数ysin(2x)(0)的图象沿x轴向左平移个单位得到的图象关于点对称，则_答案：解析：由题意得平移以后的函数为ysin，因为图象关于点对称，所以2k(kZ)，解得k(kZ)因为00，所以，x0.(2) 由(1)可知f(x)cos.因为x，所以x.所以当x0，即x时，f(x)取得最大值1；当x，即x时，f(x)取得最小值0.1. (2017南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数ysin(2x)(0)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数yf(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则_答案：解析：将函数ysin(2x)(0)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数f(x)sinsin的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)sin0，k，kZ，k，kZ.又0，则.2. 若函数ysin(x)在区间上的图象如图所示，则，的值分别是_答案：2，解析：由题图可知，T2，所以2.又sin0，所以k(kZ)，即k(kZ)而|，所以.3. (2017第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，则ab|a|b|cos()cos()，由向量数量积的坐标表示，可知abcos cos sin sin ，因而cos()cos cos sin sin .2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式cos()cos_cos_sin_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；tan()；tan()4. asin bcos sin()，其中cos ，sin ，tan .的终边所在象限由a，b的符号来决定5. 常用公式变形tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_)；sin cos sin；sin cos sin.备课札记,1利用角的和、差公式进行化简、求值或证明),1)(1) 求值：_；(2) (原创)化简：tan(18)tan(18)tan(12)_答案：(1) (2) 1解析：(1) 原式.(2) 原式tan(18)tan(18)tan(12)tan(18)tan(12)tan(18)(12)1tan(18)tan(12)tan(18)tan(12)1tan(18)tan(12)1.变式训练(1) (改编题)求4(cos 24cos 26cos 66sin 26)tan 40的值；(2) 化简：sin(75)cos(45)cos(15)解：(1) 原式4(sin 66cos 26cos 66sin 26)tan 404sin 40.(2) 原式sin(45)30cos(45)cos(45)30sin(45)cos(45)cos(45)cos(45)sin(45)0.,2给值求值、求角问题)典型示例,2)已知0，tan7，cos().(1
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