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第六章不 等 式第1课时一元二次不等式及其解法掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系并能灵活运用 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 会解含参数的一元二次不等式1. (必修5P77练习2(2)改编)不等式3x2x40的解集是_. 答案：解析：由3x2x40，得(3x4)(x1)0，解得1x.2. (必修5P75例1(1)改编)不等式2x2x10的解集是_答案：解析： 2x2x10， (2x1)(x1)0， x1或x0的解集为_答案：x|3x1解析：原不等式可化为x22x30，得3x0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是_答案：k2或k2解析：由44(k23)2或k2.5. 已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_答案：x|2x3解析：由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得解得不等式x2bxa0即为x25x60，解得2x0(a0)的算法过程1一元二次不等式的解法1解关于x的不等式：ax2(a2)x20.解： 当a0时，原不等式化为x10，解得x1. 当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1. 当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1；当1，即a2时，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为x|x1；当a2时，不等式的解集为.变式训练解关于x的不等式：ax2ax10.解：当0a4时，解集为；当a4时，x；当a0时，x或x.,2一元二次不等式的恒成立问题),2)设函数f(x)mx2mx1.(1) 若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2) 若对于x1，3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：(1) 要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则解得4m0，综上，4m0.(2) 要使f(x)m5在x1，3上恒成立，即mm60时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0，m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m即可，所以m的取值范围是.变式训练已知函数f(x)x2ax3.(1) 当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2) 当x2，2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解：(1) 当xR时，f(x)a恒成立，即x2ax3a0对任意实数x恒成立，则a24(3a)0，解得6a2， 实数a的取值范围是6，2(2) 当x2，2时，f(x)a恒成立，即x2ax3a0对任意x2，2恒成立，令g(x)x2ax3a， 0或或解得7a2. 实数a的取值范围是7，2,3三个二次之间的关系),3)(1) 已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为x|mx0恒成立，则实数a的取值范围是_答案：(1) 9(2) a|a3解析：(1) 由题意知f(x)x2axbb. f(x)的值域为0，)， b0，即b， f(x). f(x)c， c，即x0恒成立，即x22xa0恒成立，即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减， g(x)maxg(1)3，故a3. 实数a的取值范围是(3，) 已知x2pxq0的解集为，则不等式qx2px10的解集为_答案： x|2x3解析： x2pxq0的解集为， ，是方程x2pxq0的两实数根，由根与系数的关系得解得 不等式qx2px10可化为x2x10，即x2x60，解得2x3， 不等式qx2px10的解集为x|2x3,4一元二次不等式的应用),4)一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p1602x，生产x件的成本R50030x(元)(1) 该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2) 当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解：(1) 由题意知，月利润ypxR，即y(1602x)x(50030x)2x2130x500.由月利润不少于1 300元，得2x2130x5001 300，即x265x9000，解得20x45，故该厂月产量在2045件时，月利润不少于1 300元(2) 由(1)得，y2x2130x5002，由题意知，x为正整数，故当x32或33时，y最大为1 612，所以当月产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本固定成本生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题(1) 要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？(2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G(x)x2，设利润函数为f(x)，则f(x)(1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)0，当0x5时，解不等式0.4x23.2x2.80，即x28x70，得1x7， 15时，解不等式8.2x0，得 x8.2， 5x8.2.综上所述，要使工厂赢利，x应满足1x5时，f(x)8.253.2，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多1. (2017苏州期中)函数y的定义域为_答案：(2，1解析：由02x1，得函数的定义域为(2，12. (2017苏锡常镇一模)已知集合U1，2，3，4，5，6，7，Mx|x26x50，xZ，则UM_答案：6，7解析：Mx|1x5，xZ1，2，3，4，5，而U1，2，3，4，5，6，7，则UM6，73. 函数f(x)的定义域是_答案：2，2解析：因为lg(5x2)0，所以5x21，x24，则2x2.4. 已知函数f(x)则不等式f(f(x)3的解集为_答案：x|x解析：当x0时，f(f(x)f(x2)(x2)22x23，即(x23)(x21)0，解得0x；当2x0时，f(f(x)f(x22x)(x22x)22(x22x)3，即(x22x1)(x22x3)0，即2x0；当x2时，f(f(x)f(x22x)(x22x)23，解得x2.综上，不等式的解集为x|x1. 已知函数f(x)若f(3a2)f(2a)，则实数a的取值范围是_答案：(3，1)解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减 f(3a2)f(2a)， 3a22a，解得3a1.2. 定义在R上的运算：x*yx(1y)，若不等式(xy)*(xy)1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是_答案：解析： (xy)*(xy)(xy)(1xy)xx2yy21， yy2x2x1，要使该不等式对一切实数x恒成立，则需有yy2(x2x1)min，解得y.3. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么不等式f(x2)5的解集是_答案：x|7x3解析：令x0， x0时，f(x)x24x， f(x)(x)24(x)x24x.又f(x)为偶函数， f(x)f(x)， x0时，f(x)x24x，故有f(x)再求f(x)5的解，由得0x5；由得5x0，即f(x)5的解集为(5，5)由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)，故f(x2)5的解集为x|7x34. 已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围是_答案：解析：由题意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有g(x)0，即(a)0， 即解得x0，ax2bxc0，应先讨论a与b的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)3. 应注意讨论ax2bxc0的二次项系数a是否为0.4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则备课札记第2课时二元一次不等式(组)与 简单的线性规划(对应学生用书(文)、(理)9596页)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决1. (必修5P84练习3改编)点(3，1)和(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是_答案：7a24解析：点(3，1)和(4，6)在直线3x2ya0的两侧，说明将这两点坐标代入3x2ya后，符号相反，所以(92a)(1212a)0，解得7a24.2. (必修5P86练习2(1)改编)不等式组所表示的平面区域的面积是_答案：25解析：直线xy40与直线xy0的交点为A(2，2)，直线xy40与直线x3的交点为B(3，7)，直线xy0与直线x3的交点为C(3，3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(2，2)，B(3，7)，C(3，3)为顶点的三角形，所以其面积为SABC51025.3. 设实数x，y满足则z3x2y的最大值是_答案：7解析：由题设可知可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)因此(3x2y)max31227.4. (必修5P89练习2改编)设变量x，y满足约束条件：则zx3y的最小值为_答案：8解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(2，2)处取最小值8.5. 已知实数x，y满足不等式组则z2xy的最大值为_答案：8解析：画出可行域，如图中阴影部分所示由图可知z2xy在点A(4，0)处取最大值，即zmax8.1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域(1) 二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线ykxb把平面分成两个区域，ykxb表示直线ykxb上方的平面区域，ykxb表示直线ykxb下方的平面区域(2) 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域 任选一个不在直线上的点； 检验它的坐标是否满足所给的不等式； 若满足，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域(3) 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域2. 线性规划中的基本概念名称定义约束条件变量x，y满足的一次不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的线性函数可行域约束条件所表示的平面区域称为可行域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题,1二元一次不等式表示的平面区域),1)在直角坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为，则t的值为_答案：1解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示由解得交点B(t，t1)在yx1中，令x0得y1，即直线yx1与y轴的交点为C(0，1)由平面区域的面积S，得t22t30，解得t1或t3(不合题意，舍去)变式训练若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m_答案：1解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，m1.由解得即A(1m，1m)由解得即B.所围成的区域为ABC，则SABCSADCSBDC(22m)(1m)(22m)(1m)(1m)2，解得m3(舍去)或m1.,2线性规划问题),2)(1) 设变量x，y满足则目标函数z2x3y的最小值为_；(2) 变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m_答案：(1) 7(2) 1解析：(1) 作出可行域如图所示，目标函数z2x3y的几何意义是直线yx在y轴上的截距为，因此z的最小值也就是直线截距的最小值，平移直线yx，经过点B(2，1)时，zmin22317.(2) 如图所示，目标函数z2xy取最大值2，即y2x2时，画出表示的区域，由于mxy0过定点(0，0)，要使z2xy取最大值2，则目标函数必过两直线x2y20与y2x2的交点A(2，2)，因此直线mxy0过点A(2，2)，故有2m20，解得m1.变式训练已知实数x，y满足(1) 若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2) 若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围解：由作出可行域，如图中阴影部分所示(1) z表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)由得B(1，2)， kOB2，即zmin2， z的取值范围是2，)(2) zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此x2y2的值最小为OA2(取不到)，最大值为OB2.由得A(0，1)， OA202121，OB212225. zmax5，z无最小值 z的取值范围是(1，5,3线性规划的实际应用),3)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨，生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业可获得的最大利润解：设甲、乙两种产品分别需生产x，y吨，利润为z万元，则z5x3y.由题意可得，x，y满足约束条件作出可行域如图所示由图可知当z5x3y经过可行域中的点(3，4)时，直线z5x3y在y轴上的截距最大，故该企业可获得的最大利润zmax533427(万元)1. (2017课标)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是_答案：15解析：目标函数即y2xz，其中z表示斜率为k2的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点B(6，3)处取得最小值z12315.2. (2017南京、盐城)已知实数x，y满足则的最小值是_答案：解析：表示可行域内的点与原点连线的斜率，作出可行域，发现可行域内的点(4，3)为最优解，代入可得的最小值是.3. (2017课标)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_答案：5解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，易求得A(1，1)，B，C，由z3x2y得yx在y轴上的截距越大，z就越小，所以当直线z3x2y过点A时，z取得最小值，所以z的最小值为3(1)215.4. (2017无锡期末)设不等式表示的平面区域为M.若直线ykx2上存在M内的点，则实数k的取值范围是_答案：2，5解析：由约束条件作出可行域，如图阴影部分所示因为函数ykx2的图象是过点A(0，2)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B(1，3)时，k取最大值5，当直线l过点C(2，2)时，k取最小值2，故实数k的取值范围是2，51. 已知实数x，y满足则z2xy的最大值是_答案：5解析：作出可行域如图阴影部分所示，发现当直线z2xy过点C(3，1)时，目标函数z取最大值，且最大值为5.2. 若实数x，y满足则z2x3y的最大值为_答案：8解析：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点分别为(0，1)，(1，0)，(1，2)，由图可得，目标函数过点(1，2)时，z取最大值，故z2x3y的最大值为8.3. 已知实数x，y满足若不等式4x2y2axy0恒成立，则实数a的最小值为_答案：5解析：由得24.由已知得a，则实数a的最小值为5.4. 已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，则m_.答案：1解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示若m0，则zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m0，则目标函数zxmy可看作斜率为的动直线yx.若m0，数形结合知使目标函数zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m0，则0(kxb(0时，求目标函数zaxbyc的最值的步骤：(1) 作出可行域；(2) 作出直线l0：axby0；(3) 平移直线l0：axby0，依可行域判断取得最值的最优解的点；(4) 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值3. 常见的非线性目标函数的几何意义：(1) 表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；(2) 表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(3) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；(4) 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值备课札记第3课时基本不等式(对应学生用书(文)、(理)9798页)掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式，能利用基本不等式求最大(小)值 了解基本不等式的证明过程. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1. (必修5P99练习4改编)若实数a，b满足ab2，则3a3b的最小值是_答案：6解析：由基本不等式，得3a3b226，当且仅当ab1时取等号，所以3a3b的最小值是6.2. (必修5P105复习题9改编)若f(x)x2(x0)，则f(x)的最大值为_答案：4解析： x0， f(x)(x)2224，当且仅当x，即x1时取等号3. (必修5P105复习题10改编)若x3，则x的最小值为_答案：23解析： x30， x(x3)32323，当且仅当x3，即x3时取等号4. (原创)若对任意x0，a恒成立，则实数a的取值范围是_答案：解析：因为a恒成立，所以a.又，当且仅当x，即x1时等号成立，所以a.5. (原创)已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为_答案：9解析：原不等式恒成立等价于m，而(2ab)5529，当且仅当ab时等号成立所以m9，即m的最大值为9.1. 算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数2. 基本不等式(1) 基本不等式成立的条件：a0，b0；(2) 等号成立的条件：当且仅当ab时取等号；(3) 结论：两个非负数a，b的算术平均数不小于其几何平均数3. 几个重要的不等式(1) 重要不等式：a2b22ab(a，bR)当且仅当ab时取等号(2) ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3) (a，bR)，当且仅当ab时取等号备课札记,1通过配凑法利用基本不等式求最值),1)(1) 已知x2)在xa处取最小值，则a_答案：(1) 1(2) 3解析：(1) 因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2) 因为x2，所以x20，则f(x)x(x2)2224，当且仅当x2，即x3时取等号所以当f(x)取最小值时，x3，即a3.变式训练若4x1，求的最大值解：(x1). 4x1， (x1)0，0.从而2，1，当且仅当(x1)，即x0时取等号即1.正数x，y满足1.(1) 求xy的最小值；(2) 求x2y的最小值解：(1) 由12得xy36，当且仅当，即x2，y18时取等号，故xy的最小值为36.(2) 由题意可得x2y(x2y)19192196，当且仅当，即9x22y2时取等号，故x2y的最小值为196.,2通过常数代换法或消元法利用基本不等式求最值),2)(1) 已知x0，y0且xy1，则的最小值为_；(2) 已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_答案：(1) 18(2) 6解析：(1) (常数代换法) x0，y0且xy1， (xy)1010218.当且仅当，即x2y时等号成立， 当x，y时，有最小值18.(2) 由已知得x.(解法1：消元法) x0，y0， y0，y0， 9(x3y)xyx(3y)，当且仅当x3y时等号成立设x3yt0，则t212t1080， (t6)(t18)0.又t0， t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.变式训练(1) 已知正实数x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_；(2) 若x，y(0，)且2x8yxy0，则xy的最小值为_答案：(1) 23(2) 18解析：(1) 由xy2xy4，解得y，则xyx2(x1)323，当且仅当x1时等号成立(2) 由2x8yxy0，得2x8yxy， 1， xy(xy)10102102218，当且仅当，即x2y时取等号又2x8yxy0， x12，y6，即当x12，y6时，xy取最小值18.,3基本不等式与函数的综合应用),3)已知函数f(x)(aR)，若对于任意xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_答案：解析：对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，可得a3.设g(x)x，xN*. g(x)在(0，2上单调递减，在2，)上单调递增，而xN*， g(x)在x取距离2较近的整数值时达到最小，而距离2较近的整数为2和3，且g(2)6，g(3). g(2)g(3)， g(x)min. 3， a，故a的取值范围是.变式训练要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5 m2，其中四边形ABCD是一个矩形，四边形EFCD是一个等腰梯形，梯形高hAB，tanFED，设ABx m，BCy m.(1) 求y关于x的函数解析式；(2) 怎样设计x，y的长度，才能使所用材料最少？解：(1) 如图，作DHEF于点H.依题意，DHABx，EHxx， xyxxyx2， yx. x0，y0， x0，解得0x， 所求解析式为yx.(2) 在RtDEH中， tanFED， sinFED， DExx，设框架的周长为l m.则l(2x2y)2x2y6xx6xx2 26.当且仅当x，即x3时取等号，此时yx4， AB3 m，BC4 m时，能使整个框架所用材料最少,4基本不等式的实际应用),4)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成的按设计要求扇环面的周长为30 m，其中大圆弧所在圆的半径为10 m设小圆弧所在圆的半径为x m，圆心角为(弧度)(1) 求关于x的函数解析式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数解析式，并求出x为何值时，y取得最大值解：(1) 由题意可得，30(10x)2(10x)，所以(0x10)(2) 花坛的面积为(102x2)(5x)(10x)x25x50(0x10)装饰总费用为9(10x)8(10x)17010x，所以花坛的面积与装饰总费用的比y.令t17x，则y，当且仅当t18时取等号，此时x1，.所以当x1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大去年冬季，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润月销售总收入月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x9)元，并投入(x9)万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润解：(1) 设每只售价为x元(x8)，则月销售量为万只，由已知得(x6)(86)5， x2x0，即2x253x2960，解得8x，即每只售价最多为18.5元(2) 下月的月总利润y(x6)(x9)xx. x9， 2，当且仅当，即x10时取等号，ymax14.答：当x10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元1. (2017苏北四市模拟)若实数x，y满足xy3x3，则的最小值是_答案：8解析：由已知得x，而0x，所以y3.则y3y368，当且仅当y4，x时等号成立即8.2. (2017苏州期末)已知正数x，y满足xy1，则的最小值为_答案：解析：由xy1，得x2y14，(x2y1)41(54)，当且仅当，即x，y时取等号即.3. (2017泰州、南通模拟)若正实数x，y满足xy1，则的最小值是_答案：8解析：(xy)148.当且仅当，即x，y时取等号4. (2017苏锡常镇二模)已知a，b均为正数，且aba2b0，则b2的最小值为_答案：7解析： a，b均为正数，且aba2b0，即a2bab， 1.则b2b21.b2224，当且仅当a4，b2时取等号 b28，当且仅当a4，b2时取等号 b2b217.5. (2016江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是_答案：8解析：(解法1) sin A2sin Bsin C，sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C， sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，两边同除以cos Bcos C，可得tan Btan C2tan Btan C，tan Atan Btan Ctan(BC)tan Btan Ctan Btan C，由三角形为锐角三角形得tan B0，tan C0，tan A0，即tan Btan C10.令tan Btan C1t(t0)，则tan Atan Btan C2t48，当且仅当t1，即tan Btan C2时取等号(解法2)同解法1可得tan Btan C2tan Btan C，又tan Atan Btan Ctan A(1tan Btan C)tan(BC)tan Atan Atan Atan Btan Ctan Atan Btan C， tan Atan Btan Ctan Atan Btan Ctan A2tan Btan C2tan Atan Btan C8，当且仅当tan A2tan Btan C4时取等号,7. 忽视最值取得的条件致误)典例(1) 已知x0，y0，且1，则xy的最小值是_；(2) 函数y12x(x0)的最小值为_易错分析：(1) 多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件如： 12， 2， xy24， (xy)min4.(2) 没有注意到x0这个条件，误用基本不等式得2x2.解析：(1) x0，y0， xy(xy)332(当且仅当yx时取等号)， 当x1，y2时，(xy)min32.(2) x0， y12x1(2x)1212，当且仅当x时取等号，故y的最小值为12.答案：(1) 32(2) 12特别提醒：(1) 利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2) 尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致1. 已知正数a，b满足5，则ab的最小值为_答案：36解析：由52，得ab560，解得6，ab36.2. 已知ab2，b0，当取最小值时，实数a的值是_答案：2解析：2，当且仅当a2，b4时等号成立3. (2017南京三模)已知a，b，c为正实数，且a2b8c，则的取值范围是_答案：27，30解析：因为a，b，c为正实数，对a2b8c的左右两边同除以c，得8；对的左右两边同乘c，得2；令x，y，则条件可转化为再进行化简，可得即求z3x8y的取值范围，转化为线性规划的问题，画出可行域，对y求导，并令导函数值为，可得切点横坐标为3，代入曲线，计算出切点坐标为，利用线性规划，可知z3x8y分别在(2，3)和处取最值，可得的取值范围是27，304. (2017无锡期末)已知a0，b0，c2，且ab2，则的最小值为_答案：解析：由a0，b0，c2，且ab2，得c.由2，可得，当且仅当ba时等号成立，则原式c.当且仅当c2时等号成立1. a2b22ab成立的条件是a，bR，而成立的条件是a0，b0，使用时要注意公式成立的前提条件2. 在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“一正”(即条件中字母为正数)“二定”(不等式的另一边必须为定值)“三相等”(等号取得的条件)3. 正确理解定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小”4. 连续使用公式两次或以上，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致5. 掌握函数yax(a0，b0)的单调性，特别是当运用基本不等式不能满足“三相等”时备课札记第4课时不等式的综合应用(对应学生用书(文)、(理)99100页)掌握不等式的综合应用；掌握基本不等式的综合应用；掌握不等式与其他函数方程等知识的综合应用解决应用性问题的基本思路：读题(背景、结论)条件建模解题反思作答1. (必修5P102习题7改编)函数yx(x0)的值域是_答案：(，44，)解析：当x0时，yx24；当xq0，上述三种方案中提价最多的是_答案：方案丙解析：设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为AA；方案乙：经两次提价后价格为A；方案丙：经两次提价后价格为AA1因为，所以方案丙提价最多3. 设xR，f(x)，若不等式f(x)f(2x)k对于任意的xR恒成立，则实数k的取值范围是_答案：k2解析：不等式转化为k，因为(0，1，所以k2.4. (必修5P106复习题16改编)已知x0，y0且满足1，则xy的最小值是_ .答案：18解析： x0，y0， xy(xy)2810218，当且仅当时等号成立又1， 当x6，y12时，xy有最小值18.5. 若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_答案：9，)解析：由a0，b0，得ab2，则abab323，即ab230(3)(1)03， ab9.备课札记,1含参数的不等式问题),1)若不等式组的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围解：由x2x20得x1或x2，由2x2(52k)x5k0得(2x5)(xk)0，因为2是原不等式组的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有xk.因为原不等式组的整数解只有2，所以2k3，即3k2，故k的取值范围是3，2)变式训练解关于x的不等式0 (aR)解：原不等式等价于(ax1)(x1)0. 当a0时，由(x1)0，得x1； 当a0时，不等式化为(x1)0，解得x1或x； 当a0时，不等式化为(x1)0；若1，即1a0，则x1；若1，即a1，则不等式解集为空集；若1，即a1，则1x.综上所述，a1时，解集为；a1时，原不等式无解；1a0时，解集为；a0时，解集为x|x1；a0时，解集为.,2不等式在实际问题中的应用),2)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数，且60k100.(1) 若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，求x的取值范围；(2) 求该汽车行驶100 km的油耗的最小值解：(1) 由题意，当x120时，11.5，所以k100.由9，得x2145x4 5000， 45x100. 60x120， 60x100.(2) 设该汽车行驶100 km的油耗为y L，则y20(60x120)令t，则t， y90 000t220kt2090 00020.对称轴为直线t. 60k100， . 若，即75k100，则当t，即x时，ymin20； 若，即60k75，则当t，即x120时，ymin.答：当75k100时，该汽车行驶100 km的油耗的最小值为L；当60k75时，该汽车行驶100 km的油耗的最小值为L.现有一占地1 800 m2的矩形地块，中间三个矩形设计为花圃(如图)，种植不同品种的观赏花卉，周围则均是宽为1 m的赏花小径，设花圃占地面积为S m2，设矩形一边的长为x(如图所示)(1) 试将S表示为x的函数；(2) 问应该如何设计矩形地块的边长，使花圃占地面积S取得最大值？解：(1) 由题知Sa(x2)2a(x3)a(3x8)，又3a3，则a1，所以S(3x8)1 8083x.(2) S1 8083x1 80831 8082401 568(当且仅当x40时取等号)，此时另一边长为45 m .答：当x40 m，另一边长为45 m时花圃占地面积S取得最大值1 568 m2.,3基本不等式的灵活运用),3)设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为_答案：16解析：由1，得xy8xy. x，y均为正实数， xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，解得4，即xy16.故xy的最小值为16.变式训练已知xy1，y0，x0，则的最小值为_答案：解析：将xy1代入中，得.设t0，则原式(12t)12，当且仅当t，即x，y时等号成立1. 已知正数x，y满足x2y1，则的最大值为_答案：解析： 正数x，y满足x2y1， (x2y)1010218，当且仅当，即x，y时取等号， 的最小值为18， 的最大值为.2. 若x0，y0，则的最小值为_答案：解析：设t0，则t(2t1)2，当且仅当t时取等号3. 若x，y，z均为正实数，且x2y2z21，则的最小值为_答案：32解析：x，y，z均为正实数，且x2y2z21，可得1z2x2y22xy，当且仅当xy时取等号，则32.当且仅当z1，即xy时，取得最小值32.4. 已知xy0，且xy2，则的最小值为_答案：解析：由xy0，可得x3y0，xy0，(x3y)(xy)5529，可得.当且仅当2(xy)x3y，即x5y时，取得最小值.5. (2017苏州期中)如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC2百米，CD 1百米，BCD120，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度)，EF将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍设EC x百米，EFy百米(1) 当点F与点D重合时，试确定点E的位置；(2) 试求x的值，使路EF的长度y最短解：(1) 平行四边形ABCD的面积为SABCD212sin 120，当点F与点D重合时，SCFECECDsin 120x. SCFESABCD， x， x1， E是BC的中点(2) 当点F在CD上时， SCFECECFsin 120SABCD， CF.在CFE中，EF2CE2CF22CECFcos 120， y，当且仅当x1时取等号，此时E在BC中点处且F与D重合，符合题意； 当点F在DA上时， S梯形CEFDSABCD， DF1x.() 当CEDF时，过E作EGCD交DA于G，在EGF中，EG1，GF12x，EGF60，由余弦定理得y；() 当CEDF时，过E作EGCD交DA于G，在EGF中，
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