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第九章平面解析几何第1课时直线的倾斜角与斜率了解确定直线位置的几何要素（两个定点、一个定点和斜率）.对直线的倾斜角、斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围.理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.1. （原创）设m为常数，则过点A（2，1），B（2，m）的直线的倾斜角是.答案：90解析：因为过点A（2，1），B（2，m）的直线x2垂直于x轴，故其倾斜角为90.2. （必修2P80练习1改编）若过点M（2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为.答案：1解析：由1，得m24m，解得m1.3. （原创）若直线l的斜率k的变化范围是1，则它的倾斜角的变化范围是.答案：解析：由1k，即1tan ， .4. （必修2P80练习6改编）已知两点A（4，0），B（0，3），点C（8，a）在直线AB上，则a.答案：3解析：由kABkBC得，解得a3.5. （必修2P80练习4改编）若直线l沿x轴的负方向平移2个单位，再沿y轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l的斜率为.答案：解析：设直线上任一点为（x，y），平移后的点为（x2，y3），利用斜率公式得直线l的斜率为.1. 直线倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角的取值范围是0，）.2. 直线斜率的定义倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示，即ktan .由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同.3. 过两点的斜率公式过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线，当x1x2时，斜率公式为ktan ，该公式与两点的顺序无关；当x1x2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.备课札记,1直线的倾斜角和斜率之间的关系),1)如果三条直线l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，其中l1：xy0，l2：x2y0，l3：x3y0，则1，2，3从小到大的排列顺序为.答案：123解析：由tan 1k110，所以1.tan 2k21.tan 3k31，而2.综上，120， 0290， 00，故直线l的斜率为.变式训练如图，已知直线l1的倾斜角130，直线l1l2，求直线l1，l2的斜率.解：直线l1的斜率k1tan 1tan 30. 直线l2的倾斜角29030120， 直线l2的斜率k2tan 120tan（18060）tan 60.,3求直线的倾斜角和斜率的取值范围),3)已知两点A（3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点.（1） 求直线l的斜率k的取值范围；（2） 求直线l的倾斜角的取值范围.解：如图，由题意可知，kPA1，kPB1.（1） 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（，11，）.（2） 由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间.又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45，135.变式训练若直线mxy10与连结点A （3，2），B （2，3）的线段相交，求实数m的取值范围.解：直线的斜率为km，且直线经过定点P（0，1），因为直线PA，PB的斜率分别为1，2，所以斜率k的取值范围是（，12，），即实数m的取值范围是（，21，）.1. 已知A（1，2），B（0，a），C（a，0）三点共线，则此三点所在直线的倾斜角的大小是.答案：120解析：若a0，则点B，C重合，不合题意.由A，B，C三点共线得kABkBC，即，解得a1，所以B（0，）.此三点所在直线的斜率kAB，即tan .又0180，所以120.2. 直线xcos y20的倾斜角的取值范围是.答案：解析：由直线的方程可知其斜率k.设直线的倾斜角为，则tan ，且0，），所以.3. 已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值.解：如图，由于点（x，y）满足关系式2xy8，且2x3可知，点P（x，y）在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别为A（2，4），B（3，2）.由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以的最大值为2，最小值为.4. 已知直线kxyk0与射线3x4y50（x1）有交点，求实数k的取值范围.解：kxyk0k（x1）y0，直线过定点（1，0）由题意作图可得：由题意可看出： k.（或者由两直线方程联立，消去y得x1，即0k或k）1. 已知x轴上的点P与点Q（，1）连线所成直线的倾斜角为30，则点P的坐标为.答案：（2，0）解析：设P（x，0），由题意得kPQtan 30，即，解得x2，故点P的坐标为（2，0）.2. 如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则它们的大小关系为.答案：k1k3k2解析：直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角，且23，所以0k3k2，因此k1k3k2.3. 已知函数f（x）asin xbcos x.若ff，则直线axbyc0的倾斜角为.答案：解析：由ff知，函数f（x）的图象关于直线x对称，所以f（0）f，所以ba，所以直线axbyc0的斜率为1.设直线axbyc0的倾斜角为，则tan 1，因为0，），所以，即直线axbyc0的倾斜角为.4. 若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是.答案：解析：如图，直线l：ykx过定点P（0，）.又A（3，0），所以kPA，所以直线l的斜率范围为，由于直线的倾斜角的取值范围为0，），所以满足条件的直线l的倾斜角的范围是.1. 求斜率要熟记斜率公式：k，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x1x2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是ktan （90），其中为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是0，），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当时，斜率k0，）；当时，斜率不存在；当时，斜率k（，0）.第2课时直线的方程（对应学生用书（文）123124页、（理）128129页）掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.1. （必修2P82练习1（1）（4）改编）过点P（2，0），且斜率为3的直线的方程是.答案：y3x6解析：设所求直线方程为y3xb，由题意可知3（2）b0， b6，故y3x6.2. （必修2P87练习4改编）如果axbyc0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件.答案：a0且bc0解析：axbyc0表示的直线是y轴，即x0， bc0，a0.3. （必修2P87练习1改编）直线1在两坐标轴上的截距之和为.答案：1解析：令x0，得y4；令y0，得x3.故直线在两坐标轴上的截距之和为431.4. （必修2P85练习4改编）下列说法中正确的是.（填序号） 经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程yy0k（xx0）表示； 经过定点A（0，b）的直线都可以用方程ykxb表示； 不经过原点的直线都可以用方程1表示； 经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（yy1）（x2x1）（xx1）（y2y1）表示.答案：解析：对于，斜率有可能不存在，对于，截距也有可能为0.5. （必修2P85练习2（2）（3）改编）若一直线经过点P（1，2），且在y轴上的截距与直线2xy10在y轴上的截距相等，则该直线的方程是.答案：3xy10解析：直线2xy10在y轴上的截距为1，由题意，所求直线过点（0，1），又所求直线过点P（1，2），故由两点式得直线方程为，即3xy10.1. 直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy1k（xx1）不含直线xx1斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1（x1x2）和直线yy1（y1y2）截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0（A，B不全为0）平面直角坐标系内的直线都适用2. 过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程（1） 当x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1.（2） 当x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1.（3） 当x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为x0.（4） 当x1x2，且y1y20时，直线即为x轴，方程为y0.（5） 直线的斜率k与倾斜角之间的关系如下表：0（0，90）90（90，180）k0（0，）不存在（，0）3. 线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），且线段P1P2的中点M的坐标为（x，y），则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.,1求直线方程),1)已知直线l过点P（5，2），分别求满足下列条件的直线方程.（1） 直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍；（2） 直线l与两坐标轴围成的三角形面积为.解：（1） 当直线l过原点时，直线l的斜率为， 直线方程为yx，即2x5y0；当直线l不过原点时，设直线方程为1，将x5，y2代入得a， 直线方程为x2y90.综上，直线l的方程为2x5y0或x2y90.（2） 显然直线与坐标轴不垂直. 直线l经过点P（5，2），且能与坐标轴围成三角形， 可设直线l的方程为y2k（x5）（k0），则直线在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为25k，由题意，得|5|25k|，即（5k2）25|k|.当k0时，原方程可化为（5k2）25k，解得k或k；当k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.（3） 解：由l的方程，得A，B（0，12k）.依题意得解得k0. SOAOB|12k|（224）4，“”成立的条件是k0且4k，即k， Smin4，此时l：x2y40.变式训练已知直线l的方程为（m22m3）x（2m2m1）y62m0.（1） 求实数m的取值范围；（2） 若直线l的斜率不存在，求实数m的值；（3） 若直线l在x轴上的截距为3，求实数m的值；（4） 若直线l的倾斜角是45，求实数m的值.解：（1） 当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m22m30，解得m1或m3；令2m2m10解得m1或m.所以实数m的取值范围是（，1）（1，）.（2） 由（1）易知，当m时，方程表示的直线的斜率不存在.（3） 依题意，有3，所以3m24m150，所以m3或m，由（1）知所求m.（4） 因为直线l的倾斜角是45，所以斜率为1.由1，解得m或m1（舍去）.所以当直线l的倾斜角为45时，m.,3直线方程的综合应用),3)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图，建立平面直角坐标系，则E（30，0），F（0，20）， 线段EF的方程为1（0x30）.在线段EF上取点P（m，n），作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则SPQPR（100m）（80n）.又1（0m30）， n20. S（100m）（m5）2（0m30）. 当m5时，S有最大值， 当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点距AD边5 m时，草坪面积最大.如图，互相垂直的两条道路l1，l2相交于点O，点P与l1，l2的距离分别为2千米、3千米，过点P建一条直线道路AB，与l1，l2分别交于A，B两点.（1） 当BAO45时，试求OA的长；（2） 若使AOB的面积最小，试求OA，OB的长.解：以l1为x轴，l2为y轴，建立平面直角坐标系，则O（0，0），P（3，2）.（1） 由BAO45知，OAOB，可设A（a，0），B（0，a）（a0），直线l的方程为1. 直线l过点P（3，2）， 1a5，即OA5千米.（2） 设A（a，0），B（0，b）（a0，b0），则直线l的方程为1. 直线l过点P（3，2）， 1，b（a3）.从而SABOaba，令a3t，t0，则a2（t3）2t26t9，故有SABOt6（t0）.设f（t）t6，可证f（t）在（0，3）上单调递减，在（3，）上单调递增， 当t3时，f（t）minf（3）12，此时a6，b4，直线l的方程为1，即OA6千米，OB4千米.1. 若直线（2m2m3）x（m2m）y4m1 在x轴上的截距为1，则实数m的值是.答案：2或解析：令y0，则（2m2m3）x4m1， x1， m2或.2. 若方程（a2a2）x（a2a6）ya10表示垂直于y轴的直线，则a为.答案：1解析：因为方程表示垂直于y轴的直线，所以a2a20且a2a60，解得a1.3. 已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点.当OAOB取得最小值时，直线l的方程是.答案：xy20解析：设A（a，0），B（0，b）（a0，b0），直线l的方程为1，已知直线l过点M（1，1），则OAOBab（ab）2224，当且仅当ab2时取等号，此时直线l的方程为xy20.4. 已知直线l过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2，则直线l的方程为.答案：5x3y150解析： 直线过点（0，5）， 直线在y轴上的截距为5. 在两坐标轴上的截距之和为2， 直线在x轴上的截距为3. 直线l的方程为1，即5x3y150.5. 已知在ABC中，A（1，4），B（6，6），C（2，0）.求（1） ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；（2） BC边的中线所在直线的一般式方程和截距式方程.解：（1） 平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线.因为线段AB，AC中点坐标为，所以这条直线的方程为，整理得6x8y130，化为截距式方程为1.（2） 因为BC边上的中点为（2，3），所以BC边上的中线所在直线的方程为，即7xy110，化为截距式方程为1.1. 若方程（2m2m3）x（m2m）y4m10表示一条直线，则实数m满足条件.答案：m1解析：2m2m3，m2m不能同时为0.2. 若直线（2t3）x2yt0不经过第二象限，则t的取值范围是.答案：解析：直线方程可化为yx，由题意得解得0t.3. 不论m取何值，直线（m1）xy2m10恒过定点.答案：（2，3）解析：把直线方程（m1）xy2m10，整理得（x2）m（xy1）0，则解得4. 已知直线x2y2与x轴、y轴分别相交于A，B两点.若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为.答案：解析：由题意知A（2，0），B（0，1），所以线段AB的方程可表示为y1，x0，2.又动点P（a，b）在线段AB上，所以b1，a0，2.又b2，所以12，解得0ab，当且仅当b，即P时，ab取得最大值.5. 已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1a2）的直线方程.解：由题意，知P（2，3）在已知直线上， 2（a1a2）3（b1b2）0，即， 所求直线方程为yb1（xa1）， 2x3y（2a13b1）0，即2x3y10.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况.2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.备课札记第3课时直线与直线的位置关系（对应学生用书（文）125126页、（理）130131页）能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线斜率的关系问题；能判断两条直线是否相交并求出交点坐标，体会两条直线相交与二元一次方程组的关系；理解两点间距离公式的推导，并能应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式的理解与应用.1 能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1. （原创）“a3”是“直线ax3y1与直线xy1平行”的条件.答案：充要解析：若a3，直线ax3y1与直线xy1显然平行；若直线ax3y1与直线xy1平行，由 ，易得a3.2. （必修2P93练习6改编）过点P（1，3）且垂直于直线x2y30的直线方程为.答案：2xy10解析：设直线方程为2xyc0，又直线过点P（1，3），则23c0，c1，即所求直线方程为2xy10.3. （必修2P95练习3改编）若三条直线2x3y80，xy10和xky0相交于一点，则k.答案：解析：由解得 点（1，2）在xky0上，即12k0， k.4. （必修2P105练习1改编）已知点（a，2）（a0）到直线l：xy30的距离为1，则a.答案：1解析：由题意知1， |a1|.又 a0， a1.5. （必修2P106习题10改编）与直线7x24y5平行，并且距离等于3的直线方程是.答案：7x24y700或7x24y800解析：设直线方程为7x24yc0，则d3， c70或80.1. 两条直线的位置关系斜截式一般式方程yk1xb1yk2xb2A1xB1yC10（AB0）A2xB2yC20（AB0）相交k1k2A1B2A2B10（当A2B20时，）垂直k1或k1k21A1A2B1B20（当B1B20时，1）平行k1k2且b1b2或（当A2B2C20时，记为）重合k1k2且b1b2A1A2，B1B2，C1C2（0）（当A2B2C20时，记为）2. 两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，两条直线的交点坐标就是方程组的解.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标.若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.若方程组有无数组解，则两条直线重合.3. 几种距离（1） 两点间的距离：平面上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式：d（A，B）AB.（2） 点到直线的距离：点P（x1，y1）到直线l：AxByC0的距离d.（3） 两条平行线间的距离：两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d.4. 常见的三大直线系方程（1） 与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0（mR且mC）.（2） 与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0（mR）.（3） 过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1（A2xB2yC2）0（R），但不包括l2.5. 中心对称（1） 点关于点对称：若点M（x1，y1）与N（x，y）关于P（a，b）对称，则由中点坐标公式得进而求解.（2） 直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求的直线方程.6. 轴对称（1） 点关于直线的对称若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，且连结P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标（x2，y2）（其中A0，x1x2）.特别地，若直线l：AxByC0满足|A|B|，则P1（x1，y1）与P2（x2，y2）坐标关系为（2） 直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.备课札记,1两直线的平行与垂直),1)已知两直线l1：axby40和l2：（a1）xyb0，求满足下列条件的a，b的值：（1） l1l2，且直线l1过点（3，1）；（2） l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.解：（1） l1l2， a（a1）b0. 直线l1过点（3，1）， 3ab40.故a2，b2.（2） 直线l2的斜率存在，l1l2， 直线l1的斜率存在. k1k2，即1a. 坐标原点到这两条直线的距离相等， l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.故a2，b2或a，b2.变式训练已知直线l1经过点A（3，a），B（a1，2），直线l2经过点C（1，2），D（2，a2），分别在下列条件下求a的值：（1） l1l2；（2） l1l2.解：设直线l2的斜率为k2，则k2.（1） 若l1l2，则直线l1的斜率k1.又k1，则，解得a1或a6.经检验，当a1或a6时，l1l2. （2） 若l1l2. 当k20时，此时a0，k1，不符合题意. 当k20时，直线l2的斜率存在，此时k1.由k2k11，得1，解得a3或a4.经检验，当a3或a4时，l1l2.,2两直线的交点),2)已知ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x3y160，BC边上的中线AD所在直线方程为2x3y10，求AC的长.解： kCE ，ABCE， kAB， 直线AB的方程为3x2y10.由解得A（1，1），设C（a，b）， 则D， C点在CE上，BC的中点D在AD上， 得C（5，2），由两点间距离公式得AC的长为.变式训练已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程.解：依题意知：kAC2，A（5，1）， lAC：2xy110.联立lAC，lCM得 C（4，3）.设B（x0，y0），则AB的中点M为，代入2xy50，得2x0y010， B（1，3）， kBC， 直线BC的方程为y3（x4），即6x5y90.,3点到直线及两平行直线之间的距离),3)已知点P（2，1）.（1） 求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；（2） 求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3） 是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解：（1） 过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）且垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k（x2），即kxy2k10.由已知，得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，直线l的方程为x2或3x4y100.（2） 过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线，由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12（x2），即2xy50.即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.（3） 不存在.理由：由（2）可知，过P点不存在到原点距离大于的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点.（1） 若点A（5，0）到l的距离为3，求直线l的方程；（2） 求点A（5，0）到直线l的距离的最大值.解：（1） 由直线l经过直线l1与l2交点知，其直线系方程为（2xy5）（x2y）0，即（2）x（12）y50. 点A（5，0）到直线l的距离为3， 3，即22520， 2或， 直线l的方程为x2或4x3y50.（2） 设直线l1与l2的交为P，由解得P（2，1），如图，过点P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA（当lPA时等号成立）. dmaxPA.,4对称问题),4)已知直线l：2x3y10，点A（1，2）.求：（1） 点A关于直线l的对称点A的坐标；（2） 直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；（3） 直线l关于点A（1，2）对称的直线l的方程.解：（1） 设A（x，y），由已知得解得 A.（2） 在直线m上任取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点必在m上.设对称点为M（a，b），则解得M.设m与l的交点为N，则由解得N（4，3）. m经过点N（4，3）， 由两点式得直线m的方程为9x46y1020.（3） 设P（x，y）为l上任意一点，则P（x，y）关于点A（1，2）的对称点为P（2x，4y）. P在直线l上， 2（2x）3（4y）10，即2x3y90.光线通过点A（2，3），在直线l：xy10上反射，反射光线经过点B（1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程.解：设点A（2，3）关于直线l的对称点为A（x0，y0），则解得A（4，3）.由于反射光线经过点A（4，3）和B（1，1），所以反射光线所在直线的方程为，即4x5y10.解方程组得反射点P.所以入射光线所在直线的方程为，即5x4y20.1. （2016上海卷文）已知平行直线l1：2xy10，l2：2xy10，则l1，l2的距离为.答案：解析：利用两平行线间距离公式得d.2. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，则mn的值是.答案：解析：点（0，2）与点（4，0）关于y12（x2）对称，则点（7，3）与点（m，n）也关于y12（x2）对称，则解得 mn.3. 已知l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是.答案：x2y30解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.因为A（1，1），B（0，1），所以kAB2，所以两平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1（x1），即x2y30.4. 在平面直角坐标系中，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1）的距离之和最小的点的坐标是.答案：（2，4）解析：设P为平面上一点，则由三角形两边之和大于第三边知PAPCAC，PBPDBD，所以四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC的方程为y22（x1），直线BD的方程为y5（x1），由得交点坐标为（2，4）.5. ABC的两条高所在直线的方程分别为2x3y10和xy0，顶点A的坐标为（1，2），求BC边所在直线的方程.解：可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，AC边上的高所在直线的方程分别为2x3y10，xy0，则可求得AB，AC边所在直线的方程分别为y2（x1），y2x1，即3x2y70，xy10.由得B（7，7），由得C（2，1），所以BC边所在直线的方程为2x3y70.1. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k1）xky10，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为.答案：解析：直线l过定点P（1，2），原点O到直线l的距离的最大值即为OP.2. 若过点P（1，2）作一直线l，使点M（2，3）和点N（4，1）到直线l的距离相等，则直线l的方程为.答案：2xy40或x2y50解析：当直线l经过MN的中点时，其方程为x2y50；当过M，N两点的直线平行于直线l时，直线l的方程为2xy40.3. 已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是.答案：解析：由方程组解得（若2k10，即k，则两直线平行） 交点坐标为. 交点位于第一象限， 解得k. 实数k的取值范围是.4. 已知直线l1：2xy20和直线l2：x2y10关于直线l对称，则直线l的斜率为.答案：3或解析：（解法1）在直线l上任取一点P（x，y），点P到直线l1和直线l2的距离相等.，整理得，直线l的方程为3xy30或x3y10，所以直线l的斜率为3或.（解法2）设l1的倾斜角为.因为l1l2，所以l的倾斜角为，所以直线l的斜率为tan.因为tan 2，所以tan3，tan，所以直线l的斜率为3或.1. 在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论.2. 运用公式d求两平行直线间的距离时，一定要把x，y项系数化为相等的系数.3. 对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系.备课札记第4课时圆 的 方 程（对应学生用书（文）127128页、（理）132133页）了解确定圆的几何要素（圆心、半径、不在同一直线上的三个点等）；掌握圆的标准方程与一般方程.能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化.1. （必修2P111练习4改编）圆x2y24x6y0的圆心坐标是.答案：（2，3）解析：由（x2）2（y3）213知，圆心坐标为（2，3）.2. （必修2P111习题7改编）已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为.答案：（x2）2y210解析：设圆心坐标为（a，0），易知，解得a2， 圆心为（2，0），半径为， 圆C的标准方程为（x2）2y210.3. （必修2P111练习6改编）经过三点A（1，1），B（1，4），C（4，2）的圆的一般方程为.答案：x2y27x3y20解析：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0.将A，B，C三点代入，整理得方程组解得 所求圆的一般方程为x2y27x3y20.4. 已知点P（1，1）在圆x2y2ax2ay40的内部，则a的取值范围是.答案：（，2）解析：由圆的一般方程知aR，因为点P在圆内，所以11a2a40，解得a0）为半径的圆的标准方程为（xa）2（yb）2r2.（2） 特殊的，x2y2r2（r0）的圆心为（0，0），半径为r.3. 圆的一般方程方程x2y2DxEyF0变形为.（1） 当D2E24F0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆；（2） 当D2E24F0时，该方程表示一个点；（3） 当D2E24F0时，该方程不表示任何图形.4. 点与圆的位置关系点M（x0，y0）与圆（xa）2（yb）2r2的位置关系：（1） 若M（x0，y0）在圆外，则（x0a）2（y0b）2r2.（2） 若M（x0，y0）在圆上，则（x0a）2（y0b）2r2.（3） 若M（x0，y0）在圆内，则（x0a）2（y0b）20，圆M为ABC的外接圆.（1） 求圆M的方程；（2） 当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由.解：（1） 设圆M的方程为x2y2DxEyF0. 圆M过点A（0，a），B（，0），C（，0） 解得 圆M的方程为x2y2（3a）y3a0.（2） 圆M的方程可化为（3y）a（x2y23y）0.由解得 圆M过定点（0，3）.,3圆方程的应用),3)如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上（点P，Q分别在点O的正东，正北方向上），且要求PQ与圆A相切.（1） 当点P距O处2百米时，求OQ的长；（2） 当公路PQ长最短时，求OQ的长.解：如图，以O为原点，直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系.设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为x2（y1）21.（1） 由题意可设Q（0，q），则直线PQ的方程为1，即qx2y2q0（q2）. PQ与圆A相切， 1，解得q，故当P距O处2百米时，OQ的长为百米.答：当P距O处2百米时，OQ的长为百米.（2） 设P（p，0），则直线PQ的方程为1，即qxpypq0（p1，q2）. PQ与圆A相切， 1，化简得p2，则PQ2p2q2q2.令f（q）q2（q2）， f（q）2q（q2）.当2q时，f（q）时，f（q）0，即f（q）在上单调递增， f（q）在q时取得最小值，故当公路PQ长最短时，OQ的长为百米.答：当公路PQ长最短时， OQ的长为百米.变式训练有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A，B两地相距10 km，顾客选A或B地购买这件商品的标准：包括运费和价格的总费用较低.求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.解：如图，以A，B所确定的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（5，0），B（5，0）.设某地P的坐标为（x，y），且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地运费为3a元/km，B地运费为a元/km，价格QA地运费价格QB地运费， 3aa. a0， 3，两边平方得9（x5）29y2（x5）2y2
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