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第1章 常用逻辑用语1命题的概念及真假命题的判断(1)命题是能够判断成立或不成立的语句，一个命题由条件和结论两部分构成命题分为真命题和假命题(2)判断命题真假的方法：直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；对于“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真即假2四种命题及其关系(1)四种命题的构成：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p(结论和条件“换位”)；否命题：若非p，则非q(条件和结论都否定“换质”)；逆否命题：若非q，则非p(条件和结论“换质”后又“换位”)(2)四种命题的关系：原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题3充分条件与必要条件(1)若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件因此，给定p，q，则p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件(2)判断方法：定义法：分别寻找“pq”“qp”“p q”“q p”中哪两个成立命题法：分别判断命题“若q，则p”与“若p，则q”的真假集合法：p，q能用集合A，B表示时，判断集合关系“AB”“BA”“AB”是否成立，若都不成立，则为既不充分也不必要条件4逻辑联结词命题p，q的运算“或”“且”“非”与集合P，Q的运算“并”“交”“补”有如下的对应关系：p或qPQ；p且qPQ，非pUP.5全称量词和存在量词(1)确定命题中所含量词的意义，是研究含量词的命题的重点有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词(2)可以通过“举反例”否定一个含有全称量词的命题，同样也可以举一例证明一个含有存在量词的命题而肯定含有全称量词的命题或否定含有存在量词的命题都需要推理判断命题及其关系例1给出下列命题已知a(3,4)，b(0，1)，则a在b方向上的投影为4.函数ytan的图象关于点成中心对称命题“如果ab0，则ab”的否命题和逆命题都是真命题若a0，则abac是bc成立的必要不充分条件其中正确命题的序号是_(将所有正确的命题序号都填上)解析|a|5，|b|1，ab4，cosab.a在b方向上的投影为|a|cosa，b4，正确当x时，tan无意义，由正切函数ytan x的图象的性质知，正确原命题的逆命题为“若ab，则ab0”为真，其否命题也为真正确当a0，bc时，abac成立(当a0，abac时不一定有bc.)正确答案判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断1下列命题中为真命题的是()A命题“若ab，则3a3b”的逆命题B命题“若x21，则x1”的否命题C命题“若x1，则x2x0”的否命题D命题“若ab，则3b，则ab”，是真命题；对于B，否命题是“若x21，则x1”，是假命题，因为x21x1或x1，则x10”的否命题是“若x1，则x10”命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”命题“x4是方程x23x40的根”的否命题是“x4不是方程x23x40的根”A1B2C3D4解析：错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；正确；错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；错误，否命题是“若一个数不是4，则它不是方程x23x40的根”答案：C充分条件、必要条件与充要条件例2(1)(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2017天津高考)设R，则“”是“sin 0S4S62S5.(2)法一：由，得0，故sin .由sin ，得2k2k，kZ，推不出“”故“”是“sin ”的充分而不必要条件法二：0sin ，而当sin .故“”是“sin ”的充分而不必要条件答案(1)C(2)A本例所给命题均含有不等关系，判断起来与习惯不符，因此先将命题进行等价转化，将不等关系转化为相等关系再进行判断，从而使问题得以顺利解决例3已知p：x28x200，q：x22x1a20，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围解p：x28x200x2或x10，a0，q：x1a或x1a.由题意pq且pq，应有或0b0”是“abb0时，ab，反之不成立答案：A4设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m ”是“ ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要不充分条件答案：B逻辑联结词例4已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围解p真：a2440，a4或a4.q真：3，a12.由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p，q两命题一真一假当p真q假时，a12；当p假q真时，4a4.综上，a的取值范围为(，12)(4,4)先求出命题p，q为真、假命题时a的取值范围，然后利用已知条件转化为集合的运算是解决此类问题的常规方法5设集合Ax|2ax0，命题p：1A，命题q：2A.若pq为真命题，pq为假命题，求a的取值范围解：若p为真命题，则2a11.若q为真命题，则2a22.依题意，得p假q真或p真q假，即或1nBnN，f(n)N或f(n)nCnN，f(n)N且f(n)nDnN，f(n)N或f(n)n解析：写全称命题的否定时，要把量词改为，并且否定结论，注意把“且”改为“或”答案：D7已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“xR，x22ax2a0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：命题p：“x1,2，x2a0”为真，则ax2，x1,2恒成立，所以a1.命题q：“xR，x22ax2a0”为真，则“4a24(2a)0，即a2a20”，解得a2或a1.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(，21答案：(，21(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A若x21，则x1，或x1B若1x1，则x21或x1D若x1或x1，则x21解析：“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“b，则，若2x0，则(x2)(x3)0，则下列说法正确的是()A的逆命题为真B的逆命题为真C的逆否命题为真D的逆否命题为真解析：的逆命题为b，若a2，b3，则不成立故A错；的逆命题为若(x2)(x3)0，则2x0是假命题，故B错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确答案：D4已知f(x)exx1，命题p：x(0，)，f(x)0，则()Ap是真命题，綈p：x(0，)，f(x)0Bp是真命题，綈p：x(0，)，f(x)0Cp是假命题，綈p：x(0，)，f(x)0时，f(x)f(0)0，所以p为真命题，綈p：x(0，)，f(x)0，故选B.答案：B5已知命题p：若实数x，y满足x3y30，则x，y互为相反数；命题q：若ab0，则.下列命题pq，pq，綈p，綈q中，真命题的个数是()A1B2C3D4解析：易知命题p，q都是真命题，则pq，pq都是真命题，綈p，綈q是假命题答案：B6设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：因为x2且y2x2y24易证，所以充分性满足，反之，不成立，如xy，满足x2y24，但不满足x2且y2，所以“x2且y2”是“x2y24”的充分而不必要条件答案：A7命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“2”的()A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当a，b，c成等差数列时，若b0，则2不成立，反之当2，即2，即ac2b时，bacb，所以a，b，c成等差数列答案：A8下列命题是真命题的是()A“若x0，则xy0”的逆命题B“若x0，则xy0”的否命题C若x1，则x2D“若x2，则(x2)(x1)0”的逆否命题解析：D中，x2时，(x2)(x1)0成立，即原命题为真命题，那么逆否命题也是真命题答案：D9命题甲：x,21x,2x2成等比数列，命题乙：lg x，lg(x1)，lg(x3)成等差数列，则甲是乙的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由x,21x,2x2成等比数列可得x2或x1，由lg x，lg(x1)，lg(x3)成等差数列可得x1，所以甲是乙的必要而不充分条件答案：B10设xR，则“1x2”是“|x2|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：|x2|11x3.由于x|1x2是x|1x3的真子集，所以“1x2”是“|x2|y，则x3y31”的否命题为_解析：将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若xy，则x3y31”答案：若xy，则x3y3114若“xR，x22xm0”是真命题，则实数m的取值范围是_解析：xR，x22xm0是真命题，(2)24m0恒成立m0，设命题p：ycx为减函数，命题q：函数f(x)x在x，2上恒成立若pq为真命题，pq为假命题，求c的取值范围解：由pq真，pq假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可若p真，由ycx为减函数，得0c1.当x，2时，由不等式x2(x1时取等号)知，f(x)x在，2上的最小值为2.若q真，则.若p真q假，则0c1，c，所以0，所以c1.综上可得，c0，1，)20(本小题满分12分)已知kR且k1，直线l1：yx1和l2：yxk.(1)求直线l1l2的充要条件；(2)当x1,2时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围解：(1)由题意得解得k2.当k2时，l1：yx1，l2：yx2，此时l1l2.直线l1l2的充要条件为k2.(2)设f(x)x1.由题意，得即解得1k2.k的取值范围是(1,2)21(本小题满分12分)已知a0且a1，设命题p：函数yloga(x1)在区间(1，)内单调递减；q：曲线yx2(2a3)x1与x轴有两个不同的交点，如果pq为真命题，求a的取值范围解：由yloga(x1)在区间(1，)上单调递减知0a0，解得a.p真对应集合Aa|0a1，q真对应集合B.由于pq真，即p，q中至少有一个为真命题p真q假时，a或a0；q真q真时，0a.综上得，a的取值范围为(，1).22(本小题满分12分)已知命题：“xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题(1)求实数m的取值集合B；(2)设不等式(x3a)(xa2)0的解集为A，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：(1)命题：“xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题，得x2xm(x2x)max，得m2，即Bm|m2(2)不等式(x3a)(xa2)2a，即a1时，解集Ax|2ax3a，若xA是xB的充分不必要条件，则AB，2a2，此时a(1，)；当3a2a，即a1时，解集A，若xA是xB的充分不必要条件，则AB成立；当3a2a，即a1时，解集Ax|3ax2a，若xA是xB的充分不必要条件，则AB成立，3a2，此时a（，1）.综上可得a（，）.
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