资源描述
12排列、组合与二项式定理1.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人1本,则不同的送法种数是().A.12B.24C.64D.81解析4本不同的课外读物选3本送给3名同学,每人1本,则不同的送法种数是A43=24.答案B2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是().A.18B.24C.30D.36解析(法一)选出的3人中有2名男同学、1名女同学的选法有CC4231=18种,选出的3人中有1名男同学、2名女同学的选法有CC4132=12种,故3名学生中男女生都有的选法有CC4231CC+4132=30种.(法二)所求选法种数等于从7名同学中任选3名的选法种数,再除去所选3名同学全是男生或全是女生的选法种数,即C73-C43-C33=30.答案C3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为().A.8B.24C.48D.120解析末位数字排法有A21种,其他位置排法有A43种,共有AA2143=48种.答案C4.已知x-1x7的展开式的第4项等于5,则x等于().A.17B.-17C.7D.-7解析由T4C=73x4-1x3=5,得x=-17.答案B能力1排列问题【例1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法种数.(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)(一题多解)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,女生必须站在一起;(5)全体排成一排,男生互不相邻.解析(1)从7人中选5人排列,有A75=76543=2520种排列方法.(2)分两步完成,先选3人站前排,有A73种排列方法,再将余下4人站后排,有A44种排列方法,共有A73A44=5040种排列方法.(3)(法一:特殊元素优先法)先排甲,有5种排列方法,再排其余6人,有A66种排列方法,共有5A66=3600种排列方法.(法二:特殊位置优先法)首尾位置可安排另外6人中的2人,有A62种排法,其他位置安排余下5人,有A55种排列方法,共有A62A55=3600种排列方法.(4)(捆绑法)先将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A44种排列方法,再将女生全排列,有A44种排列方法,共有A44A44=576种排列方法.(5)(插空法)先排女生,有A44种排列方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有A53种排列方法,共有A44A53=1440种排列方法.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.(1)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙3人加入队列,前排加1人,后排加2人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为().A.120B.240C.360D.480(2)某班准备从甲、乙等7人中选派4人发言,要求甲、乙2人至少有1人参加,那么不同的发言顺序有().A.30种B.600种C.720种D.840种解析(1)第一步,从甲、乙、丙3人中选1人加入前排,有3种方法,第二步,前排3人形成了4个空位,任选1个空位加入1人,有4种方法,第三步,后排4人形成了5个空位,任选1个空位加入1人,有5种方法,此时形成6个空位,任选1个空位加入1人,有6种方法,根据分步乘法计数原理,有3456=360种方法.(2)若甲、乙2人只有1人参加,则有C21C53A44=480种方法;若甲、乙2人都参加,则有C22C52A44=240种方法.故共有480+240=720种方法.答案(1)C(2)C能力2组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?解析(1)从余下的34种商品中选取2种,有C342=561种取法.某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中选取3种,有C343=5984种取法.某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种真货中选取1种,从15种假货中选取2种,有C201C152=2100种取法.恰有2种假货在内的不同取法有2100种.(4)选取2种假货,有C201C152种取法,选取3种假货,有C153种取法,共有C201C152+C153=2100+455=2555种取法.至少有2种假货在内的不同取法有2555种.组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.(1)在爸爸去哪儿第二季第四期中,村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知:食物投掷地点有远、近两处;由于Grace年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处.那么不同的搜寻方案有().A.80种B.70种C.40种D.10种(2)若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有().A.60种B.63种C.65种D.66种解析(1)若Grace不参与该项任务,则有CC5142=30种搜寻方案;若Grace参与该项任务,则有C52=10种搜寻方案.故共有30+10=40种搜寻方案,故选C.(2)这9个整数中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使取出的4个数的和为偶数,则这4个数全为奇数,或全为偶数,或为2个奇数和2个偶数,故不同的取法共有C54+C44+C52C42=66(种).答案(1)C(2)D能力3排列与组合的综合应用【例3】(1)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为().A.24B.18C.12D.6(2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分配方法有().A.80种B.90种C.120种D.150种解析(1)从0,2中选一个数字0,则0只能排在十位,从1,3,5中选两个数字排在个位与百位,共有A32=6个奇数;从0,2中选一个数字2,则2排在十位(或百位),从1,3,5中选两个数字排在百位(或十位)与个位,共有AA2132=12个奇数.故共有A32AA+2132=18个奇数.(2)有两类情况:其中一所学校3名教师,另外两所学校各1名教师的分法有C53A33=60种;其中一所学校1名教师,另外两所学校各2名教师的分法有C51C42A22A33=90种.共有150种分法,故选D.答案(1)B(2)D(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目,一般是将符合要求的元素取出或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”.(1)若无重复数字的三位数满足条件:个位数字与十位数字之和为奇数;所有数位上的数字和为偶数.则这样的三位数的个数是().A.540B.480C.360D.200(2)国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教,现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有种不同的分派方法.解析(1)由个位数字与十位数字之和为奇数知,个位数字、十位数字1奇1偶,有CCA515122=50种排法.所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有C41=4(种)满足题意的选法.故满足题意的三位数共有504=200(个).(2)先把6个毕业生平均分成3组,有C62C42C22A33种分法,再将3组毕业生分到3所学校,有A33=6种分法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有C62C42C22A33A33=90种分派方法.答案(1)D(2)90能力4展开式中的特定项或项的系数【例4】(1)x2-12x6的展开式中,常数项是().A.-54B.54C.-1516D.1516(2)若x+13xn的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-B),则展开式中x2的系数为.解析(1)Tr+1C=6r(x2)6-r-12xr=C-12r6rx12-3r,令12-3r=0,解得r=4,常数项为C-12464=1516.(2)由题意得A=1,B=n3,C=Cn29=n(n-1)18,4=9n2-n18-n3,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍去).在x+13x8的展开式中,其通项Tr+1=C8rx8-r13xr=C8r3rx8-2r,令8-2r=2,得r=3,展开式中x2的系数为5627.答案(1)D(2)5627(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步,根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且nr,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步,根据所求的指数,再求所求的项.(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.(1)已知x-ax5的展开式中x32的系数为30,则实数a=.(2)已知x2+mx5的展开式中x7的系数为-10,则x的系数为.(用数字作答)解析(1)x-ax5的展开式的通项为Tr+1C=5r(x)5-r-axr=(-aC)r5rx5-2r2.依题意,令5-2r=3,得r=1,(-a)1C51=30,解得a=-6.(2)二项式x2+mx5的展开式的通项为Tr+1=C5rx2(5-r)mxr=mrC5rx10-3r.令10-3r=7,得r=1,mC51=-10,解得m=-2.令10-3r=1,得r=3,展开式中x的系数为(-2)3C53=-80.答案(1)-6(2)-80一、选择题1.从6本不同的书中选出4本,分别发给4名同学,已知其中2本书不能发给甲同学,则不同的分配方法有().A.180种B.220种C.240种D.260种解析因为其中2本书不能发给甲同学,所以甲只能从剩下的4本书中分得1本,然后从余下的5本书中选3本分给3名同学,故有A41A53=240种分配方法.答案C2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=().A.x5B.x5-1C.x5+1D.(x-1)5-1解析逆用二项式定理,得原式=(x-1)+15-1=x5-1.答案B3.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是().A.9B.10C.18D.20解析lga-lgb=lgab(a0,b0),lgab有多少个不同的值,只需看ab不同值的个数.从1,3,5,7,9中任取两个不同的数,得到ab的值有A52个,又13与39相同,31与93相同,lga-lgb的不同值的个数是A52-2=18.答案C4.10名同学合影,站成了前排3人,后排7人,现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为().A.C72A55B.C72A22C.C72A52D.C72A53解析首先从后排的7人中抽2人,有C72种方法;再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A52种.由分步乘法计数原理知不同调整方法的种数为CA7252.答案C5.设5x-1xn的展开式的各项系数之和为M,各二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为().A.500B.150C.20D.5解析由已知条件得4n-2n=240,解得n=4,Tr+1=C4r(5x)4-r-1xr=(-1)r54-rC4rx4-3r2,令4-3r2=1,得r=2,故T3=150x.故选B.答案B6.有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有().A.34种B.48种C.96种D.144种解析特殊元素优先安排,先让甲从排头、排尾中选取一个位置,有C21种选法,再将乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有C21A44A22=96种排法.答案C7.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则坐法种数为().A.10B.16C.20D.24解析一排共有8个座位,现有两人就坐,故有6个空座.要求每人左右均有空座,在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐,即有A52=20种坐法.答案C8.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A.29B.210C.211D.212解析由题意知Cn3C=n7,解得n=10,则奇数项的二项式系数和为2n-1=29.答案A9.在2018年的自主招生中,某校高三奥赛班有5名同学获得甲、乙两所高校的推荐资格,且每人限推荐一所高校.若这两所高校中每个学校都至少有1名同学获得推荐,则这5名同学不同的推荐方案共有().A.20种B.30种C.36种D.40种解析将推荐方案分成两类:一类是一所高校推荐3人,另一所高校推荐2人;另一类是一所高校推荐4人,另一所高校推荐1人.所以共有CA5322CA+5422=30种不同的推荐方案,故选B.答案B10.在x2-13xn的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为().A.-7B.7C.-28D.28解析依题意有n2+1=5,n=8.二项式x2-13x8的展开式的通项公式Tk+1=(-1)kC128-k8kx8-43k,令8-43k=0,得k=6,故常数项为T7=(-1)6C12286=7.答案B二、填空题11.某班主任准备请2016届毕业生做报告,要从甲、乙等8人中选4人发言,要求甲、乙2人至少有1人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言中间需恰隔1人,那么不同的发言顺序共有种.(用数字作答)解析若甲、乙同时参加,有ACCA22615122=120种发言顺序;若甲、乙2人中只有1人参加,有CCA216344=960种发言顺序.从而不同的发言顺序共有1080种.答案108012.现有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加区分,将这9个球排成一列,有种不同的排列方法.(用数字作答)解析第一步,从9个位置中选出2个位置,分给相同的红球,有C92种选法;第二步,从剩余的7个位置中选出3个位置,分给相同的黄球,有C73种选法;第三步,剩下的4个位置全部分给4个白球,有1种选法.根据分步乘法计数原理,排列方法共有CC9273=1260(种).答案126013.从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛,若其中甲、乙2名同学不能参加生物竞赛,则选派方案共有种.(用数字作答)解析特殊位置优先考虑,既然甲、乙都不能参加生物竞赛,则先从另外4人中选择1人参加,有C41种选派方案;然后从剩下的5人中选择3人分别参加剩下的三科知识竞赛,有A53种选派方案.故共有CA4153=460=240种选派方案.答案24014.2x+1x-15的展开式中常数项是.(用数字作答)解析2x+1x-15=2x+1x-15=(-1)+2x+1x5的展开式中,通项公式为Tr+1=C5r(-1)5-r2x+1xr,其中2x+1xr的通项公式为Tk+1=Crk(2x)r-k1xk=2r-kCrkxr-2k,令r-2k=0,则k=0,r=0或k=1,r=2或k=2,r=4.因此常数项为C50(-1)5+C52(-1)32C21+C54(-1)22C42=-161.答案-161
展开阅读全文