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考点49 轨迹方程要点阐述在高考数学试题中，求动点轨迹是一个难点，也是一个重点求动点轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、参数法，相关点法等典型例题【例】已知动点P(x，y)与两定点M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于1则动点P的轨迹C的方程为_【答案】x2+y21(x1)【规律方法】求轨迹方程的一般步骤（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)（2）列出点M满足条件的集合（3）用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)0（4）将上述方程化简（5）证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点小试牛刀1方程y表示的曲线是()A一条射线 B一个圆C两条射线 D半个圆【答案】D【解析】方程y可化为x2y29(y0)，所以方程y表示圆x2y29位于x轴上方的部分，是半个圆【易错易混】要注意到y0,应是个半圆2方程x2 +y2+2axb2 =0表示的图形是（ ）A一个圆 B只有当a=0时，才能表示一个圆C一个点 Da，b不同时为0时，才能表示一个圆【答案】D【解析】当a=b=0时，原方程变为x2+y2=0，表示一个点当a2+b20时，方程x2+y2+2axb2=0表示一个圆 3在ABC中，若顶点B、C的坐标分别是（2，0）和（2，0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（）Ax2y23 Bx2y24Cx2y29（y0） Dx2y29（x0）【答案】C【解析】中点D（0，0），由于|AD|为定长3，所以A点在以D为圆心，3为半径的圆上，选C【规律总结】求轨迹方程时经常遇到“去”或“补”的问题，当所求方程包括不合题意的点时，必须去掉；当所求方程不含其他合乎条件的点时，必须补出来（如本例） 以上例题所用方法均是由题意所给出的等量关系直接列出方程所得，故称“直接法”4已知两定点A（2，0），B（1，0）， 若动P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）A B4 C8 D9【答案】B5已知动点M到点（8，0）的距离等于点M到点（2，0）的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是（ ） Ax2+y2 =32 Bx2+y2 =16C（x1）2+y2=16 Dx2+（y1）2=16 【答案】B【解析】设M（x，y），则M满足整理得x2+y2= 166已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0（1）求证：对任意mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程考题速递1方程|x|1 所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C一个半圆 D两个半圆【答案】D【解析】方程可化为(|x|1)2(y1)21，又|x|10，所以x1或x1若x1，方程为(x1)2(y1)21；若x1，方程为(x1)2(y1)21方程表示两个半圆2动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是 【答案】(2x3)2+4y2=1【解析】设中点M(x,y),则动点A(2x3,2y),A在圆x2+y2=1上,(2x3)2+(2y)2=1,即所求轨迹方程为(2x3)2+4y2=13设方程，若该方程表示一个圆， m的取值范围 ，这时圆心的轨迹方程 【答案】，【解析】配方得： 4设定点M（3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作MONP，求点P的轨迹方程【解析】如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为因为平行四边形的对角线互相平分，故，则有即N（x+3，y4）又点N在圆x2+ y2=4上，故（x+3）2+（y4）2=4因此点P的轨迹为圆（除去两点），其轨迹方程为（x+3）2+（y4）2=4 （除去，两点）数学文化天津之眼天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，坐落在天津海河畔，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能是世界上唯一建在桥上的摩天轮，是天津的地标之一摩天轮直径为110米，轮外装挂64个360度透明座舱，每个座舱可乘坐8个人，可同时供512个人观光摩天轮旋转一周所需时间为30分钟，到达最高处时，周边景色一览无余，甚至能看到方圆40公里以内的景致，被誉为“天津之眼”图为天津之眼夜景
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