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模块综合试卷(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.命题“xR，x2x0”的否定是_.答案xR，x2x02.双曲线x21的渐近线方程为_.答案y2x解析令x20，得y2x，即为双曲线x21的渐近线方程.3.曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_.答案2xy10解析yx3x3，所以y3x21，当x1时，k2，由点斜式方程得y32(x1)，即2xy10.4.命题“若ab，则ac2bc2(a，bR)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_.答案2解析若ab，c20，则ac2bc2.所以原命题为假.若ac2bc2，则c20且c20，则ab.所以逆命题为真.又因为逆命题与否命题等价，所以否命题也为真.又因为，逆否命题与原命题等价，所以逆否命题为假.5.已知椭圆1的一个焦点为F(3,0)，则m_.答案7解析由题意，知16m32，解得m7.6.若抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点，则抛物线方程为_.答案y212x解析双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则3，p6，抛物线方程为y212x.7.下列有关命题的说法错误的序号是_.命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；“x1”是“x25x60”的必要不充分条件；命题“xR，使得x2x10”的否定是“xR，均有x2x10的解集是x|0x0,2xx20,0x2，所以，正确；由f(x)(2xx2)ex，得到f(x)(2x2)ex，令f(x)0，得到x1，x2，因为在(，)和(，)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以f()是极小值，f()是极大值，故正确；由题意知，f()为最大值，且无最小值，故错误，正确.12.已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为_.答案解析如图，双曲线的焦点到渐近线的距离为b，点M的坐标为，由MNMF，可得b，所以ab，离心率为.13.设F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若直线xma(m1)上存在一点P，使F2PF1是底角为30的等腰三角形，则实数m的取值范围为_.答案(1,2)解析因为F1F22c，所以PF22c.又F2PF1为底角为30的等腰三角形，所以PF2F1120.设直线xma与x轴交于点D，所以PF2D60，即F2Dc，所以macc，即m2e(0,2)，又m1，所以m(1,2).14.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个等边三角形，那么这两个等边三角形的面积之和的最小值是_cm2.答案2解析设其中一段为xcm，则面积之和S22(x212x72)，S(x6).令S0，得x6.当x6时，S0；当x6时，S0.所以当x6时，Smin2 (cm2).二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(14分)已知p：12x8；q：不等式x2mx40恒成立，若綈p是綈q的必要条件，求实数m的取值范围.解p：12x8，即0x0，使得f(x0)y0；命题q：函数ylg(ax2xa)的定义域为R.若“pq”是真命题，“pq”是假命题，求实数a的取值范围.解若命题p为真，x0R，y00，使得f(x0)y0等价于xR，f(x)0恒成立，所以a2402a0恒成立，则得a，综上，当命题q为真时，a；又因为“pq”是真命题，“pq”是假命题，所以p，q一真一假；当p真q假时，2ln21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)2(1ln2a).(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln21时，g(x)的最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增.于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.19.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点.过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：xm(ma)于点M.已知点B(1,0)，直线PB交l于点N.(1)求椭圆C的方程；(2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值.解(1)因为椭圆C的离心率为，所以a24b2.又因为椭圆C过点，所以1，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)方法一设P(x0，y0)，2x02，x01，则y1.因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2x0，y0)，所以2x0m.由A(2,0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y(x2)，令xm，得y，即M.因为PBMB，所以kPBkMB1，即1，即1.因为y1，所以1.因为x02m，所以化简得3m210m40，解得m.因为m2，所以m.方法二当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件.设AP的斜率为k，则AP：yk(x2)，联立消去y，得(4k21)x216k2x16k240.因为xA2，所以xP，所以yP，所以P.因为PN的中点为B，所以m2.(*)因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m2)，因为直线PB与x轴不垂直，所以1，即k2，所以kPB，kMB.因为PBMB，所以kPBkMB1，所以1.(*)将(*)代入(*)，化简得48k432k210，解得k2，所以m.又因为m2，所以m.20.(16分)已知函数f(x)lnx，h(x)ax(aR).(1)函数f(x)与h(x)的图象无公共点，试求实数a的取值范围；(2)是否存在实数m，使得对任意的x，都有函数yf(x)的图象在g(x)的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说明理由.(参考数据：ln20.6931，ln31.0986，1.6487，1.3956).解(1)函数f(x)与h(x)无公共点，等价于方程a在(0，)上无解.令t(x)，则t(x)，令t(x)0，得xe.当x变化时，t(x)，t(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)t(x)0t(x)极大值因为xe是唯一的极大值点，故t(x)maxt(e)，故要使方程a在(0，)上无解，当且仅当a，故实数a的取值范围为.(2)假设存在实数m满足题意，则不等式lnx对x恒成立.即mexxlnx对x恒成立.令r(x)exxlnx，则r(x)exlnx1，令(x)exlnx1，则(x)ex，因为(x)在上单调递增，e20，且(x)的图象在上连续，所以存在x0，使得(x0)0，即ex00，则x0lnx0，所以当x时，(x)单调递减；当x(x0，)时，(x)单调递增，则(x)取到最小值(x0)ex0lnx01x012110，所以r(x)0，即r(x)在区间上单调递增.mrlnln21.99525，所以存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1.
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