高教出版社线性代数.ppt

5 1二次型及其矩阵表示 一 二次型的定义 5 2 5 3 二次曲线ax2 bxy cy2 1 m x 2 n y 2 1 第五章二次型 5 1二次型及其矩阵表示 f x1 x2 xn a11x12 a22x22 annxn2 2a12x1x2 2a13x1x3 2an 1 nxn 1xn n元实二次型 aij aji n aijxixji j 1 第五章二次型 5 1二次型及其矩阵表示 nf x1 x2 xn aijxixji j 1 xTAx f的矩阵 A的二次型 f的秩 r A 第五章二次型 5 1二次型及其矩阵表示 nf x1 x2 xn aijxixji j 1 k1y12 k2y22 knyn2 f的标准形 y1 y2 yn k10 00k2 0 00 kn y1y2 yn 第五章二次型 5 1二次型及其矩阵表示 f x xTAx Py TA Py yT PTAP y g y 寻求可逆矩阵P 使得 寻求可逆的线性变换x Py 使得 第五章二次型 5 1二次型及其矩阵表示 二 矩阵的合同 对于方阵A B 若存在可逆矩阵P 使得PTAP B 则称A与B相合或合同 矩阵间的相合关系也是一种等价关系 定理5 1 实对称矩阵与对角矩阵合同 第五章二次型 5 2化二次型为标准形 5 2化二次型为标准形 定理5 2 对于任何一个n元实二次型f xTAx 都有正交变换x Qy 使f化为标准形f 1y12 2y22 nyn2 其中 1 2 n为A的n个特征值 Q的列向量就是A的对应的n个单位正交特征向量 正交变换下的标准形 一 用正交变换化实二次型为标准形 5 2化二次型为标准形 第五章二次型 例1 用正交变换把将二次型f x1 x2 x3 x12 x22 x32 2x1x3化为标准形 E A 1 2 所以A的特征值为 1 0 2 1 3 2 代入 E A x 0求得对应的特征向量 1 1 0 1 T 2 0 1 0 T 3 1 0 1 T 它们是两两正交的 5 2化二次型为标准形 第五章二次型 所以A的特征值为 1 0 2 1 3 2 代入 E A x 0求得对应的特征向量 1 1 0 1 T 2 0 1 0 T 3 1 0 1 T 它们是两两正交的 把它们单位化可得正交矩阵 令x Qy 得该二次型的标准形为 f y22 2y32 5 2化二次型为标准形 第五章二次型 二 用配方法化实二次型为标准形 例3 用配方法化f 4x12 3x22 3x32 2x2x3为标准形 解 f 4x12 3x22 3x32 2x2x3 令 则f 4y12 3y22 8 3 y32 5 2化二次型为标准形 第五章二次型 三 用初等变换法化实二次型为标准形 例6 f 2x1x2 2x1x3 6x2x3的矩阵为 5 2化二次型为标准形 第五章二次型 5 2化二次型为标准形 第五章二次型 5 2化二次型为标准形 第五章二次型 5 2化二次型为标准形 第五章二次型 即x Cy把该二次型化为 第五章二次型 5 3正定二次型 5 3正定二次型 一 惯性定理 定理5 3 实二次型f x xTAx总可以通过Rn中的可逆线性变换将其化为标准形f k1y12 knyn2其中k1 kn中非零的个数r 秩 f 且正项的个数p与负项的个数q p q r 都是在可逆线性变换下的不变量 第五章二次型 5 3正定二次型 例如f 2x1x2 2x1x3 6x2x3在三种不同的可逆线性变换下可分别化为下列标准形 f 2z12 2z22 6z32 可见秩 f 3 f的正惯性指数p 2 f的负惯性指数q 1 第五章二次型 5 3正定二次型 推论a 实二次型f x xTAx总可以通过Rn中的可逆线性变换将其化为规范形且规范形是唯一的 第五章二次型 5 3正定二次型 二 二次型的正定性 1 定义 f x xTAx x 0 f x 0 x 0 f x 0 2 性质 1 An Bn正定 An Bn正定矩阵 3 A正定 P可逆 PTAP正定 2 diag d1 dn 正定 i di 0 第五章二次型 5 3正定二次型 3 判定 定理5 4 设A为n阶实对称矩阵 则TFAE 1 a11 均大于零 n A 1 A是正定矩阵 2 A的正惯性指数为n 3 A的特征值均大于零 4 A与E合同 5 存在可逆矩阵P 使得A PTP 6 A的各阶顺序主子式