高二数学名师一号.ppt

3 2 3空间角与距离的向量方法 自学导引 学生用书P84 通过本节的学习掌握直线和平面所成的角的概念 二面角的有关概念 并能求直线与直线所成的角 直线与平面所成的角及二面角的大小 了解空间距离的有关概念及简单运算 课前热身 学生用书P84 1 空间角 1 两条异面直线所成的角的范围是 其大小可以通过这两条异面直线的 的夹角来求 若设两条异面直线所成的角为 它们的方向向量的夹角为 则有 方向向量 cos cos 2 直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角 其范围是 直线和平面所成的角为 直线的方向向量与平面的法向量的夹角为 则有 3 二面角的大小就是指二面角的平面角的大小 其范围是 二面角的平面角的大小 或其补角的大小 可以通过两个平面的法向量的 求得 sin cos 0 夹角 2 空间距离 1 空间中两点间的距离公式 若P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 y2 则 P1P2 2 点面距离的求法 如图 设n是平面 的法向量 AB是平面 的一条斜线 则点B到平面 的距离d 名师讲解 学生用书P84 1 空间角公式 1 异面直线所成角公式 设a b分别是异面直线l1 l2上的方向向量 为异面直线所成的角 则有cos cos 2 线面角公式 设l为平面 的斜线 a为l的方向向量 n为平面 的法向量 为l与 成的角 则有sin cos 3 二面角公式 设n1 n2分别为平面 的法向量 二面角为 则 或 根据具体情况判断相等或互补 其中cos 2 空间距离 1 点面距离公式 P为平面 外一点 过点P的斜线交 于A 设n为平面 的法向量 d为P到 的距离 则有 2 线面距离 面面距离都可以转化为点面距离 典例剖析 学生用书P84 题型一直线与平面所成的角 例1 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为求AC1与侧面ABB1A1所成的角 分析 建立适当的空间直角坐标系 写出有关点的坐标 利用AC1与其在面ABB1A1内的射影所成的角来求或利用面ABB1A1的法向量来求 规律技巧 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系 再用向量有关知识求解线面角 方法2给出了一般的方法 先求平面法向量与斜线夹角 再进行转化 变式训练1 如图所示 ABCD是直角梯形 ABC 90 SA 平面ABCD SA AB BC 1 AD 求 SC与平面ABCD所成角的正弦值 题型二二面角的求法例2 在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中 ABC 90 SA 面ABCD SA AB BC 1 AD 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值 分析 可建立空间直角坐标系 求出两个平面的法向量 通过法向量的夹角进行求解 变式训练2 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是A1D1 A1C1的中点 求 1 异面直线AE与CF所成角的余弦值 2 二面角C AE F的余弦值的大小 题型三空间距离问题例3 如图 在四棱锥O ABCD中 底面ABCD是边长为1的菱形 ABCOA 底面ABCD OA 2 M为OA的中点 1 求异面直线AB与MD所成角的大小 2 求点B到平面OCD的距离 分析 解答本题可先利用图形条件建立坐标系 再利用所成角求异面直线所成角 利用公式求点面距 解 作AP CD于点P 如图所示 分别以AB AP AO所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 则A 0 0 0 B 1 0 0 变式训练3 已知ABCD是边长为4的正方形 E F分别是AB AD的中点 CG垂直于ABCD所在的平面 且CG 2 求点B到平面EFG的距离 技能演练 学生用书P86 基础强化 答案 B 答案 B 3 平面 与平面 交于l 自一点P分别向两个面引垂线 垂足分别为A B 则 APB与 夹角的大小关系是 A 相等B 互补C 相等或互补D 不能确定解析 当点P在平面 夹角的内部时 APB与平面 夹角互补 当点P在平面 夹角的外部时 APB与平面 的夹角相等 答案 C 答案 A 答案 C 6 ABC的边BC在平面 内 顶点A ABC边BC上的高与平面 所夹的角为 ABC的面积为S 则 ABC在平面 上的投影图形面积为 答案 Scos 解析 ABC在平面 内的投影三角形为A BC 它的高A D ADcos AD为 ABC的高 S A BC BC A D BC ADcos Scos 7 给出四个命题 若l1 l2 则l1 l2与平面 所成的角相等 若l1 l2与平面 所成的角相等 则l1 l2 l1与平面 所成的角为30 l2 l1 则l2与平面 所成的角为60 两条异面直线与同一平面所成的角不会相等 以上命题正确的是 答案 解析 正确 不正确 l1与l2不一定平行 不正确 l2与平面 所成角不确定 不正确 有可能相等 能力提升8 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 1 AA1 2 E是侧棱BB1的中点 求直线AE与平面A1ED1所成的角的大小 解 以D为原点 DA DC DD1分别为x y z轴建立如下图所示的空间直角坐标系 品味高考9 2008 福建 6 如下图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 答案 D 解析 建立坐标系如图所示 10 2009 天津 如图 在五面体ABCDEF中 FA 平面ABCD AD BC FE AB AD M为EC的中点 AF AB BC FE AD 1 求异面直线BF与DE所成角的大小 2 证明平面AMD 平面CDE 3 求二面角A CD E的余弦值 解 如图所示 建立空间直角坐标系A xyz 设AB 1 依题意得B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 E 0 1 1 F 0 0 1 M 1