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限时集训（十三）立体几何基础过关1.如图X13-1,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AC与BD交于点E,点F是PD的中点.(1)求证:EF平面PBC;(2)若PA=2AB=2,求点F到平面PBC的距离.图X13-12.如图X13-2,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,且EC=2FB.(1)证明:平面AEF平面ACC1A1;(2)若AB=EC=2,求三棱锥C-AEF的体积.图X13-23.如图X13-3,在四面体ABCD中,BA=BC,BAD=BCD=90.(1)证明:BDAC;(2)若ABD=60,BA=2,四面体ABCD的体积为2,证明:平面BAD平面BCD.图X13-34.如图X13-4,四边形ABCD是菱形,AFBD,AFCE,且AF=2CE.(1)求证:平面ACEF平面BDE;(2)已知在线段BF上有一点P,满足APDE,求BPFP的值.图X13-45.如图X13-5,在四棱锥E-ABCD中,AEDE,CD平面ADE,AB平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.(1)求证:平面ACE平面CDE.(2)在线段DE上是否存在一点F,使AF平面BCE?若存在,求出EFED的值;若不存在,说明理由.图X13-56.如图X13-6所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱BB1底面ABC,BB1=4,ABBC,且AB=BC=4,点M,N分别为棱AB,BC上的动点,且AM=BN.(1)求证:无论M在何处,总有B1CC1M;(2)求三棱锥B-MNB1体积的最大值.图X13-6能力提升7.如图X13-7,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,M是AD的中点,将MAB沿BM向上折起,使平面ABM平面BCDM,如图X13-7所示.(1)求证:ABCM;(2)求点D到平面ACM的距离.图X13-78.如图X13-8,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是CB,CD的中点,点M在棱CC1上,CM=tCC1(0t1).(1)三棱锥M-CEF,M-C1B1D1的体积分别为V1,V2,当t为何值时,13V1-V2最小?最小值为多少?(2)试确定点M的位置,使得A1C平面B1D1M,并加以证明,同时判断此时平面EFM是否与平面B1D1M垂直?若垂直,加以证明;若不垂直,说明理由.图X13-8限时集训(十三) 基础过关1.解:(1)证明:因为E,F分别是DB,DP的中点,所以EFPB,又因为EF平面PBC,PB平面PBC,所以EF平面PBC.(2)设点F到平面PBC的距离为d,则点D到平面PBC的距离为2d.因为PA平面ABCD,所以PABC,又BCAB,PAAB=A,所以BC平面PAB,所以BCPB.在RtPAB中,PB=PA2+AB2=5,则VP-BCD=1312112=13,VD-PCB=1312152d=53d,由VP-BCD=VD-PCB得d=55,即点F到平面PBC的距离为55.2.解:(1)证明:取线段AE的中点G,线段AC的中点M,连接MG,GF,BM,则MG=12EC=BF,又MGECBF,四边形MBFG是平行四边形,故MBFG.ABC为正三角形,M为AC的中点,MBAC,又平面ACC1A1平面ABC,平面ACC1A1平面ABC=AC,MB平面ACC1A1,而MBFG,FG平面ACC1A1,又FG平面AEF,平面AEF平面ACC1A1.(2)由(1)得FG平面AEC,FG=BM=3,所以VCAEF=VFACE=13SACEFG=1312223=233.3.证明:(1)BA=BC,BD=BD,BAD=BCD=90,RtABDRtCBD.AD=CD.取AC的中点E,连接BE,DE,则BEAC,DEAC,又BEDE=E,AC平面BDE,BD平面BDE,BDAC.(2)在RtABD中,ABD=60,BA=2,则AD=23,在RtBCD中,BC=2,CD=23,BCD的面积为12BCCD=23.设点A到平面BCD的距离为h,则VA-BCD=13SBCDh=1323h=2,h=3.在ABD中,过A作AFBD,垂足为F,BA=2,ABD=60,AF=3=h,AF平面BCD,AF平面BAD,平面BAD平面BCD.4.解:(1)证明:四边形ABCD为菱形,BDAC,又AFBD,AFAC=A,BD平面ACEF,BD平面BDE,平面ACEF平面BDE.(2)如图所示,在平面ABF内作BMAF,且BM=CE,连接AM交BF于点P,连接ME.BMAF,AFCE,BMCE,又BM=CE,四边形BCEM为平行四边形,BCME,且BC=ME.四边形ABCD是菱形,BCAD且BC=AD,MEAD且ME=AD,四边形ADEM为平行四边形,DEMA,即DEAP.BMAF,BPMFPA,又BM=CE=12AF,BPFP=BMFA=12.5.解:(1)证明:因为CD平面ADE,AE平面ADE,所以CDAE,又因为AEDE,CDDE=D,所以AE平面CDE,又因为AE平面ACE,所以平面ACE平面CDE.(2)在线段DE上存在一点F,且EFED=13,使AF平面BCE.设F为线段DE上一点,且EFED=13,过点F作FMCD交CE于M,则FM=13CD,连接BM,AF.因为CD平面ADE,AB平面ADE,所以CDAB.又因为CD=3AB,所以FM=AB,FMAB,所以四边形ABMF为平行四边形,则AFBM.又因为AF平面BCE,BM平面BCE,所以AF平面BCE.6.解:(1)证明:如图所示,连接AC1,BC1,要证明无论M在何处,总有B1CC1M,只要证明B1C平面AC1B即可.BB1底面ABC,BB1AB,又ABBC,BCB1B=B,AB平面BCC1B1,B1CAB.四边形BCC1B1为正方形,B1CBC1,又ABBC1=B,B1C平面AC1B,即无论M在何处,总有B1CC1M. (2)VB - MNB1=VB1- BMN=13412BMBN=23BMBN23BM+BN22=83(当且仅当BM=BN=2时,取等号),三棱锥B-MNB1体积的最大值为83. 能力提升7.解:(1)证明:由题意可知,BM=AB2+AM2=22+22=22,CM=CD2+DM2=22+22=22,BC=4,所以,在BCM中,BC2=BM2+CM2,所以CMBM.因为平面ABM平面BCDM,平面ABM平面BCDM=BM,CM平面BCDM,所以CM平面ABM,因为AB平面ABM,所以ABCM.(2)取BM的中点,记为E,连接AE,如图所示.因为AB=AM,且E为BM的中点,所以AEBM.因为AE平面ABM,平面ABM平面BCDM,平面ABM平面BCDM=BM,所以AE平面BCDM,故AE的长即为点A到平面BCDM的距离,易求得AE=2.由(1)可知,CMAM,则ACM是直角三角形,因为AM=2,CM=22,所以SACM=12222=22.由题意知SMCD=1222=2.设点D到平面ACM的距离为h,因为VD-ACM=VA-MCD,所以13SACMh=13SMCDAE,解得h=1,故点D到平面ACM的距离为1.8.解:(1)由题可知,CM=2t,C1M=2-2t,0t1,V1=13SECFCM=1312112t=t3,V2=13SB1C1D1C1M=131222(2-2t)=43(1-t),所以13V1-V2=1t-43(1-t)=1t+4t3-4321t4t3-43=43-43,当且仅当1t=4t3,即t=32时等号成立,所以当t=32时,13V1-V2最小,最小值为43-43.(2)当点M为CC1的中点时,A1C平面B1D1M.证明如下:连接A1C1交B1D1于点O,则O为A1C1的中点,连接OM,点M为CC1的中点,OMA1C,又OM平面B1D1M,A1C平面B1D1M,A1C平面B1D1M.当点M为CC1的中点时,平面EFM平面B1D1M.证明如下:连接AC,BD,E,F分别为CB,CD的中点,EFBD,ACBD,ACEF.AA1平面ABCD,EF平面ABCD,AA1EF,AA1AC=A,EF平面A1AC,又A1C平面A1AC,EFA1C,OMA1C,EFOM.同理EMOM.因为EFEM=E,所以OM平面EFM,因为OM平面B1D1M,所以平面EFM平面B1D1M.
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