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5.2估计总体的数字特征课后篇巩固提升A组1.一次选拔运动员的测试中,测得7名选手中的身高(单位:cm)分布的茎叶图如图所示.记录的平均身高为177 cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x,则x等于()A.5B.6C.7D.8解析由题意知,10+11+0+3+x+8+9=77,解得x=8.答案D2.若样本数据a,0,1,2,3的平均数是1,则样本方差为()A.65B.C.2D.2解析由已知得a+0+1+2+35=1,解得a=-1,于是方差为s2= (-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2=2.答案D3.若样本的频率分布直方图如图所示,则样本数据的中位数等于()A.30B.40C.36.5D.35解析设中位数为x,则由图可知:0.00610+0.01810+(x-30)0.04=0.5,解得x=36.5.答案C4.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如右:根据右图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是()A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定解析由茎叶图可得,甲运动员得分的极差为47-18=29,乙运动员得分的极差为33-17=16,即可得A正确;甲运动员得分的中位数为30,乙运动员得分的中位数为26,即B正确;甲运动员得分的平均值为18+18+19+20+40+41+471329.23,乙运动员得分的平均值为17+17+19+19+30+32+3313=25,即C正确;乙运动员的成绩分布较甲运动员的更集中,即D不正确,故应选D.答案D5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则()A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析由题意可知,甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6,A错;甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B错;甲、乙的成绩的方差分别为(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2=2,(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2=125,C对;甲、乙的成绩的极差均为4,D错.答案C6.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则:(1)平均命中环数为;(2)命中环数的标准差为.解析(1)x=7+8+7+9+5+4+9+10+7+410=7.(2)s2=110(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2=4,s=2.答案(1)7(2)27.从甲、乙两人手工制作的圆形产品中,各自随机抽取6件,测得其直径如下(单位:cm):甲:9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20;乙:8.90,9.60,9.50,8.54,8.60,8.90.据以上数据估计两人的技术稳定性,结论是.解析方差越大时, 数据越不稳定,方差越小时,数据越稳定.x甲=9.00,s甲20.057,x乙9.01,s乙20.166 9,s甲2s乙2.甲的技术稳定性好,甲优于乙.答案甲优于乙8.为了了解汽车在某一路段上的速度,交警对这段路上连续驶过的50辆汽车的速度(单位:km/h)进行了统计,得到的数据如下表所示:速度区间40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)100,110车辆数1410151262(1)试估计这段路上汽车行驶的平均速度;(2)试估计在这段路上,汽车行驶速度的标准差.(注:为了计算方便,速度取每个区间的中点)解(1)用各速度区间的中点值作为汽车在这一区间行驶的速度,则各区间速度的平均值分别为:45,55,65,75,85,95,105.则样本的平均数为x=45150+55450+651050+751550+851250+95650+105250=76.8(km/h),即估计这一路段汽车行驶的平均速度为76.8 km/h.(2)由上面各区间的近似速度和样本的平均数,可求得这一段路上汽车行驶速度的方差为s2=1501(45-76.8)2+4(55-76.8)2+10(65-76.8)2+6(95-76.8)2+2(105-76.8)2=174.76,从而,标准差s13.22 km/h,即在这段路上,汽车行驶速度的标准差为13.22 km/h.9.导学号36424021某校高一学生共有500人,为了了解学生的历史学习情况,随机抽取了50名学生,对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计,得到频率分布直方图如图所示,后三组频数满足倒数第二组频数的平方等于最后一组与倒数第三组频数的乘积.(1)求第五、六组的频数,补全频率分布直方图;(2)若每组数据用该组区间中点值(例如区间70,80)的中点值是75)作为代表,试估计该校高一学生历史成绩的平均分;(3)估计该校高一学生历史成绩在70100分范围内的人数.解(1)设第五、六组的频数分别为x,y.由题设得,第四组的频数是0.0241050=12.因为后三组频数满足倒数第二组频数的平方等于最后一组与倒数第三组频数的乘积,所以x2=12y.又x+y=50-(0.012+0.016+0.03+0.024)1050,即x+y=9,所以x=6,y=3.补全频率分布直方图如图所示.(2)该校高一学生历史成绩的平均分x=(450.012+550.016+650.03+750.024+850.012+950.006)10=67.6(分).(3)该校高一学生历史成绩在70100分范围内的人数为500(0.024+0.012+0.006)10=210.B组1.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图,则由图可估计样本的平均质量为()A.10B.11C.12D.13答案C2.为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60 m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50 m.由此可推断我国13岁男孩的平均身高为()A.1.57 mB.1.56 mC.1.55 mD.1.54 m解析因为从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60 m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50 m,所以这500个13岁男孩的平均身高是1.6300+1.5200500=1.56(m).所以由此可推断我国13岁男孩的平均身高为1.56 m.答案B3.李大伯承包了一个果园,种植了100棵樱桃树,今年已进入收获期,收获时,从中任选并采摘了10棵树的樱桃,分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表:序号12345678910质量/kg14212717182019231922据调查,市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元,用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为()A.200 kg,3 000元B.1 900 kg,28 500元C.2 000 kg,30 000元D.1 850 kg,27 750元解析样本平均数为x=110(14+21+27+17+18+20+19+23+19+22)=20(kg).由此可估计每棵樱桃树所产樱桃平均约为20 kg,所以这100棵樱桃树所产樱桃的质量约为20100=2 000(kg).再根据樱桃批发价格为每千克15元,可得总收入约为152 000=30 000(元).答案C4.样本(x1,x2,xn)的平均数为x,样本(y1,y2,ym)的平均数为y(xy).若样本(x1,x2,xn,y1,y2,ym)的平均数z=x+(1-)y,其中0,则n,m的大小关系为()A.nmC.n=mD.不能确定解析由已知得x1+x2+xn=nx,y1+y2+ym=my,z=(x1+x2+xn)+(y1+y2+ym)m+n=nx+mym+n=x+(1-)y,整理得(x-y)m+(-1)n=0.因为xy,所以m+(-1)n=0,即nm=1-.又012,所以121-1,所以01-1,所以0nm1,所以nm.答案A5.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小,则a,b的取值分别是.答案10.5,10.56.某工厂36名工人的年龄数据如下表.工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间的有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,根据题意,所抽取工人编号为2,6,10,14,18,22,26,30,34,相应工人的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)样本均值x=19(44+40+36+43+36+37+44+43+37)=40.样本方差s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=1942+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2=1009.(3)由于x=40,s=s2=1033.33,36名工人中年龄在x-s36.67与x+s43.33之间有23人,所占比例为233663.89%.7.导学号36424022甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示:(1)请填写表:平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析:从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定);从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).解由折线图,知甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大重排为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.也将它们由小到大重排为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)x甲=110(5+62+74+82+9)=7010=7(环),x乙=110(2+4+6+72+82+92+10)=7010=7(环),s甲2=110(5-7)2+(6-7)22+(7-7)24+(8-7)22+(9-7)2=110(4+2+0+2+4)=1.2,s乙2=110(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)22+(8-7)22+(9-7)22+(10-7)2=110(25+9+1+0+2+8+9)=5.4.根据以上的分析与计算填表如下:平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲71.271乙75.47.53(2)因为平均数相同,s甲2s乙2,所以甲的成绩比乙稳定.因为平均数相同,甲的中位数小于乙的中位数,所以乙的成绩比甲好些.因为平均数相同,命中9环及9环以上的次数甲比乙少,所以乙的成绩比甲好些.甲成绩在平均数上下波动;而乙处于上升状态,从第四次以后就没有比甲少的情况发生,乙较有潜力.
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