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选修44坐标系与参数方程第1课时坐标系理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，能运用极坐标解决相关问题. 了解极坐标系. 会正确将极坐标方程化为直角坐标方程. 会根据所给条件建立直线、圆的极坐标方程，并能运用极坐标解题.1. （选修44P11例5改编）在直角坐标系中，点P的坐标为（，），求点P的极坐标.解：2，tan ，又点P在第三象限，得，即P（2，）.2. （选修44P17习题9改编）在极坐标系中，已知A，B两点的极坐标分别为，求AOB（其中O为极点）的面积.解：由题意A，B两点的极坐标分别为，得AOB的面积SAOBOAOBsinAOB34sin3.3. 在极坐标系中，求圆2cos 的圆心到直线2sin1的距离.解：圆的普通方程为（x1）2y21，直线的普通方程为xy10， 圆心到直线的距离为d.4. （选修44P19例1改编）在极坐标系中，求过圆2sin 的圆心，且与极轴平行的直线的极坐标方程.解：由题意，圆2sin ，可化为22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，即x2（y1）21，圆心是（0，1），所求直角坐标方程为y1，所以其极坐标方程为sin 1.5. 在极坐标系中，求圆4上的点到直线（cos sin ）8的距离的最大值.解：把4化为直角坐标方程为x2y216，把（cos sin ）8化为直角坐标方程为xy80， 圆心（0，0）到直线的距离为d4， 直线和圆相切， 圆上的点到直线的最大距离是8.1. 极坐标系是由距离（极径）与方向（极角）确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对（，）与点不一一对应.这点应与直角坐标系区别开来.2. 在极坐标系中，同一个点M的坐标形式不尽相同，M（，）可表示为（，2n）（nZ）.3. 在极坐标系中，极径可以为负数，故M（，）可表示为（，（2n1）（nZ）.4. 特别地，若0，则极角可取任意角.5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M（，），建立等式，化简即得.6. 常见曲线的极坐标方程（1） 过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为（R）或（R）；（2） 过点（a，0）（a0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为cos a；（3） 过点，与极轴平行的直线的极坐标方程为sin a；（4） 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为r；（5） 圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为2acos ；（6） 圆心为，半径为a的圆的极坐标方程为2asin .7. 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，平面内任一点P的直角坐标（x，y）与极坐标（，）可以互换，公式是 和,1求极坐标或极坐标方程),1)在极坐标系中，已知点A，圆C的方程为4sin （圆心为点C），求直线AC的极坐标方程.解：（解法1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy.圆C的平面直角坐标方程为x2y24y，即x2（y2）28，圆心C（0，2）.点A的直角坐标为（，）.直线AC的斜率kAC1.所以直线AC的直角坐标方程为yx2，极坐标方程为（cos sin ）2，即sin2.（解法2）在直线AC上任取一点M（，），不妨设点M在线段AC上.由于圆心为C，SOACSOAMSOCM，所以22sin 2sin2sin，即（cos sin ）2，化简，得直线AC的极坐标方程为sin2.在极坐标系中，求曲线2cos 关于直线（R）对称的曲线的极坐标方程.解：（解法1）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线2cos 的直角坐标方程为（x1）2y21，且圆心C的坐标为（1，0），直线的直角坐标方程为yx.因为圆心C（1，0）关于yx的对称点为（0，1），所以圆C关于yx的对称曲线为x2（y1）21，所以曲线2cos 关于直线对称的曲线的极坐标方程为2sin .（解法2）设曲线2cos 上任意一点为（，），其关于直线的对称点为（，），则将（，）代入2cos ，得2cos，即2sin ，所以曲线2cos 关于直线（R）对称的曲线的极坐标方程为2sin .,2极坐标方程与直角坐标方程的互化),2)（2017苏州期中）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数，r0）.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin10.（1） 求圆C的圆心的极坐标；（2） 当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围.解：（1） 由C：得（x2）2（y2）2r2， 曲线C是以（2，2）为圆心，r为半径的圆， 圆心的极坐标为.（2） 由直线l：sin10，得直线l的直角坐标方程为xy10，从而圆心（2，2）到直线l的距离d . 圆C与直线l有公共点， dr，即r .变式训练（2017苏州期初）自极点O任意作一条射线与直线cos 3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OMOP12，求动点P的轨迹的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.解：设P（，），M（，）， OMOP12， 12. cos 3， cos 3.则动点P的轨迹的极坐标方程为4cos . 极点在此曲线上， 方程两边可同时乘，得24cos . x2y24x0.,3曲线的极坐标方程的应用),3)在极坐标系中，曲线C：2acos （a0），直线l：cos，C与l有且仅有一个公共点.（1） 求a；（2） O为极点，A，B为C上的两点，且AOB，求OAOB的最大值.解：（1） 曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；直线l的直角坐标方程为xy30.由直线l与圆C相切可得a，解得a1.（2） 不妨设A的极角为，B的极角为，则OAOB2cos 2cos3cos sin 2cos，当时，OAOB取得最大值2.变式训练在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x）2（y1）29，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求圆C的极坐标方程；（2） 直线OP：（R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长.解：（1） （x）2（y1）29可化为x2y22x2y50，故其极坐标方程为22cos 2sin 50.（2） 将代入22cos 2sin 50，得2250， 122，125，|MN|12|2.1. （2017苏北四市期中）已知曲线C的极坐标方程为sin（）3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程.解：由sin3，得sin cos 3.又cos x，sin y，所以曲线C的直角坐标方程为xy60.2. （2017苏锡常镇一模）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.（1） 把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解：（1） 由224，所以x2y24.因为22cos2，所以222，所以x2y22x2y20.（2） 将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.3. （2017苏北三市模拟）在极坐标系中，已知点A，点B在直线l：cos sin 0（02）上.当线段AB最短时，求点B的极坐标.解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为xy0.AB最短时，点B为直线xy20与直线l的交点，由解得所以点B的直角坐标为（1，1）.所以点B的极坐标为.4. （2017常州期末）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知圆4sin（）（0）被射线0（0为常数，且0）所截得的弦长为2，求0的值.解：圆4sin的直角坐标方程为（x1）2（y）24，射线0的直角坐标方程可以设为ykx（x0，k0），圆心（1，）到直线ykx的距离d.根据题意，得22，解得k，即tan 0.又0，所以0.1. （2017南通、扬州、泰州模拟）在极坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆C的极坐标方程.解：（解法1）因为圆C的圆心在极轴上且过极点，所以可设圆C的极坐标方程为acos .又点在圆C上，所以3acos ，解得a6.所以圆C的极坐标方程为6cos .（解法2）点的直角坐标为（3，3）.因为圆C过点（0，0），（3，3），所以圆心在直线xy30上.又圆心C在极轴上，所以圆C的直角坐标方程为（x3）2y29.所以圆C的极坐标方程为6cos .2. 已知在极坐标系下，圆C：2cos与直线l：sin，点M为圆C上的动点.求点M到直线l距离的最大值.解：圆C：2cos，即 x2y22y0，x2（y1）21，表示圆心为（0，1），半径等于1的圆.直线l：sin，即cos sin 20，即 xy20，圆心到直线l的距离为，故圆上的动点M到直线l的距离的最大值等于1.3. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos .（1） 求出圆C的直角坐标方程；（2） 已知圆C与x轴相交于A，B两点，若直线l：y2x2m上存在点P使得APB90，求实数m的最大值.解：（1） 由4cos 得24cos ，即x2y24x0，即圆C的标准方程为（x2）2y24.（2） l的方程为y2x2m，而AB为圆C的直径，故直线l上存在点P使得APB90的充要条件是直线l与圆C有公共点，故2，于是实数m的最大值为2.4. 在极坐标系中，已知直线2cos sin a0（a0）被圆4sin 截得的弦长为2，求a的值.解：以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2xya0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2y24y，即x2（y2）24.因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆心（0，2）到直线的距离为，即，因为a0，所以a2.1. 极坐标方程与直角坐标方程的互化（1） 将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式xcos ，ysin 即可.常用方法有代入法、平方法，还经常用到同乘（或除以）等技巧.（2） 将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用xcos ，ysin 以及，tan （x0），同时要掌握必要的技巧，通常情况下，由tan 确定角时，应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意：当x0时，角才能由tan 按上述方法确定.当x0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：当x0，y0时，可取任何值；当x0，y0时，可取；当x0，yb0）的参数方程是（为参数）.（4） 双曲线方程1（a0，b0）的参数方程是 （t为参数）.（5） 抛物线方程y22px（p0）的参数方程是（t为参数）.4. 在参数方程与普通方程的互化中要注意变量的取值范围.1参数方程与普通方程的互化1（2017南京、盐城期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）.现以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设圆C的极坐标方程为2cos ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长.解：直线l：（t为参数）化成普通方程为4x3y0，圆C的极坐标方程2cos 化成直角坐标方程为（x1）2y21，则圆C的圆心到直线l的距离d，所以AB2.变式训练在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长.解：将直线的参数方程化为普通方程，得y2x1.将曲线的参数方程化为普通方程，得y12x2（1x1）.由，得或所以A（1，1），B（0，1）或A（0，1），B（1，1），从而AB.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin 2cos .若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长.解：由2sin 2cos ，可得22sin 2cos ，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y2x，标准方程为（x1）2（y1）22.直线l的方程化成普通方程为xy10.圆心到直线l的距离为d，所求弦长AB2.,2求曲线参数方程),2)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程.解：设P（x，y），则随着取值变化，P可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2y2x0，即y2，表示以为圆心，为半径的圆，可得弦OP1cos ，所以从而故已知圆的参数方程为（为参数）.已知直线C1：（t为参数），曲线C2：（为参数）.（1） 当时，求C1与C2的交点坐标；（2） 过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解：（1） 当时，C1的普通方程为y（x1），C2的普通方程为x2y21，联立构成方程组解得C1与C2的交点坐标分别为（1，0），.（2） 依题意，C1的普通方程为xsin ycos sin 0，则A点的坐标为（sin2，sin cos ），故当变化时，P点轨迹的参数方程为（为参数），所以点P轨迹的普通方程为y2.故点P的轨迹是圆心为，半径为的圆.,3参数方程的应用),3)（2017南通、泰州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长.解：（解法1）将曲线（t为参数）化成普通方程为y28x，将直线（l为参数）代入y28x，整理得l28l240，解得l12，l26.则|l1l2|4，所以线段AB的长为4.（解法2）将曲线（t为参数）化成普通方程为y28x，将直线（l为参数）化成普通方程为xy0，由得或所以AB的长为4.已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（为参数）的右焦点F.（1） 求m的值；（2） 设直线l与椭圆C交于A，B两点，求FAFB的最大值与最小值.解：（1） 椭圆的参数方程化为普通方程，得1.因为a5，b3，所以c4，所以点F的坐标为（4，0）.因为直线l经过点（m，0），所以m4.（2） 将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得（9cos225sin2）t272tcos 810.设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则FAFB|t1t2|.当sin 0时，FAFB取最大值9；当sin 1时，FAFB取最小值.,4极坐标、参数方程的综合应用),4)（2017苏锡常镇二模）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线C1的参数方程为（0，2，为参数），曲线C2的极坐标方程为sina（aR），若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值.解：曲线C1的方程为（x）2（y3）24，圆心坐标为（，3），半径为2. 曲线C2的极坐标方程为sina（aR）， 曲线C2的直角坐标方程为xy2a0. 曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点， 2，解得a1或a5.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（cos sin ）40.求曲线C上的点到直线l的最大距离.解：将l转化为直角坐标方程为xy40.在C上任取一点A（cos ，sin ），0，2），则点A到直线l的距离为dsin2.当时，d取得最大值，最大值为2，此时A点为（，1）.1. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为sina，曲线C2的参数方程为（t为参数，0t）.当C1与C2有公共点时，求实数a的取值范围.解：曲线C1的直角坐标方程为xya.若C1与C2有公共点，则axysin tcos t2在t0，上有解，又sin tcos t2sin2，因为t0，所以t，sin，所以a的取值范围为3，2.2. （2017苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l：sinm（mR），圆C的参数方程为（t为参数）.当圆心C到直线l的距离为时，求m的值.解：直线l的直角坐标方程为xym0，圆C的普通方程为（x1）2（y2）29，圆心C到直线l的距离为，解得m1或m5.3. （2016江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.解：椭圆C的普通方程为x21，将直线l的参数方程代入x21，得1，即7t216t0，解得t10，t2.所以AB|t1t2|.4. （2017扬州期末）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，试求直线l与曲线C的交点的直角坐标.解：将直线l的极坐标方程化成直角坐标方程为yx，将曲线C的参数方程化成普通方程为y2x2（1x1）.由得x2x20，解得x1或x2.又1x1，所以x1，所以直线l与曲线C的交点的直角坐标为（1，1）.1. 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为（R），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.解：因为直线l的极坐标方程为（R），所以直线l的普通方程为yx.又曲线C的参数方程为（为参数），所以曲线C的直角坐标方程为yx2（x2，2），联立解方程组得或（舍去）.故P点的直角坐标为（0，0）.2. （2017苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长.解：因为曲线C的极坐标方程为sin24cos 0，所以2sin24cos ，即曲线C的直角坐标方程为y24x.将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得4，即t28t0，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.3. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（s为参数），直线l：（t为参数）.设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度.解：由消去s得曲线C的普通方程为yx2；由消去t得直线l的普通方程为y3x2.联立直线l的方程与曲线C的方程，即解得交点的坐标分别为（1，1），（2，4）.所以线段AB的长度为.4. （2017南京、盐城模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长.解：（解法1）直线l的参数方程化为普通方程得4x3y4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y24x.联立方程组解得或所以A（4，4），B或A，B（4，4）.所以AB.（解法2）将曲线C的参数方程化为普通方程得y24x.将直线l的参数方程代入抛物线C的方程得4，即4t215t250，所以 t1t2，t1t2.所以AB|t1t2|.1. 在直线的参数方程（t为参数）中t的几何意义是表示在直线上过定点P0（x0，y0）与直线上的任一点P（x，y）构成的有向线段P0P的长度，且在直线上任意两点P1，P2的距离为P1P2|t1t2|.2. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧（如整体代换）；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视.备课札记
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