资源描述
限时集训（十）数列、等差数列与等比数列基础过关1.已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=3,且S9=6S3,则an的公差d=()A.1B.2C.3D.42.已知an是各项均为正数的等比数列,Sn为其前n项和,若a1=1,a3a5=64,则S6=()A.65B.64C.63D.623.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S5=30,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.274.已知等比数列an的首项a1=1,公比q=2,则log2a1+log2a2+log2a11=()A.50B.35C.55D.465.已知数列an满足an+1+(-1)n+1an=2,则其前100项的和S100=()A.250B.200C.150D.1006.已知Sn是数列an的前n项和,若2Sn=3an+4,则Sn=()A.2-23nB.43nC.-43n-1D.-2-23n-17.我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2,9填入33的方格内,使三行、三列、两对角线上的三个数的和都等于15(如图X10-1所示).一般地,将连续的正整数1,2,3,n2填入nn的方格内,使得每行、每列和两对角线上的数的和都相等,图X10-1这个正方形就叫作n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上的数的和为Nn(如:在3阶幻方中,N3=15),则N10=()A.1020B.1010C.510D.5058.已知在各项均为正数的等比数列an中,a4与a10的等比中项为4,则当2a5+8a9取得最小值时,a1等于()A.32B.16C.8D.49.在等差数列an中,a100,且a11|a10|,则使an的前n项和Sn0成立的n的最大值为()A.11B.10C.19D.2010.已知数列an满足0an10的n的最小值为()A.60B.61C.121D.12211.在数列an中,已知a1=a2=2.若an+2是anan+1的个位数字,则a27=.12.已知Sn是数列an的前n项和,且log3(Sn+1)=n+1,则数列an的通项公式为.13.记Sn为正项等比数列an的前n项和,若S4-2S2=2,则S6-S4的最小值为.14.已知数列an与an2n均为等差数列,nN*,且a1=2,则a1+a222+a333+annn=.能力提升15.已知数列an中,nN*,an+an+1+an+2=C,其中C为常数,若a5=2,a7=-3,a9=4,则a1+a2+a100=()A.90B.96C.100D.11216.已知等比数列an的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-89,则当Tn取得最大值时,n的值为()A.2B.3C.4D.617.数列an的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=Sn+3n(nN*,n1),则数列Sn的通项公式为.18.数列an中,a1=0,an-an-1=2n-1(nN*,n2),若数列bn满足bn=nan+1+1811n,则数列bn的最大项为第项.19.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫作该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”:第一次 “扩展”后得到数列1,2,2;第二次“扩展”后得到数列1,2,2,4,2;第n次“扩展”后得到的数列为1,x1,x2,x2n-1,2.若记an=log2(1x1x2xt2),其中t=2n-1,nN*,则数列an的前n项和Sn=.限时集训(十) 基础过关1.A解析 由等差数列的性质知S3=3(a1+a3)2=3a2=9,所以S9=6S3=54=9(a1+a9)2=9a5,则a5=6,所以d=a5-a23=1.2.C解析 设an的公比为q(q0).由a1=1,a3a5=a1q2a1q4=64,得q=2,S6=a1(1-q6)1-q=63.3.A解析 设等差数列an的公差为d,由题意得S3=3a1+3d=9,S5=5a1+10d=30,即a1+d=3,a1+2d=6,解得a1=0,d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=63.故选A.4.C解析an是等比数列,a1=1,q=2,a1a11=a62=(a1q5)2=(25)2,log2a1+log2a2+log2a11=log2(a1a2a11)=log2a611=11log225=55,故选C.5.D解析 因为a2n+a2n-1=2,所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+(a99+a100)=250=100,故选D.6.A解析 由2Sn=3an+4,可知2Sn+1=3an+1+4,两式相减,得2an+1=3an+1-3an,整理得an+1=3an,所以an是公比为3的等比数列.由2S1=3a1+4可得a1=-4,则Sn=-4(1-3n)1-3=2-23n.7.D解析 根据题意知n阶幻方中所有数的和为n2(n2+1)2,所以每行的数的和为n(n2+1)2,所以Nn=n(n2+1)2,则N10=10(102+1)2=505.故选D.8.A解析 设各项均为正数的等比数列an的公比为q(q0).a4与a10的等比中项为4,a4a10=42=a72,a7=4,2a5+8a9=2a7q2+8a7q2=8q2+32q228q232q2=32,当且仅当8q2=32q2,即q2=12时取等号,此时a1=a7q6=32.9.C解析an为等差数列,a100,d0,又a11|a10|,a11-a10,即a10+a110,S20=a1+a20220=10(a10+a11)0,S19=a1+a19219=19a100,故使an的前n项和Sn0成立的n的最大值为19,故选C.10.B解析 由a14-8a12+4=0,得a12+4a12=8,所以an2+4an2=8+8(n-1)=8n,所以an+2an2=an2+4an2+4=8n+4,所以an+2an=22n+1,即an2-22n+1an+2=0,所以an=22n+122n-12=2n+12n-1,因为0an10得2n+111,所以n60.故选B.11.4解析 由题意得a3=a1a2=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,数列an是一个周期为6的数列,27=46+3,a27=a3=4.12.an=8,n=1,23n,n2解析 由log3(Sn+1)=n+1,得Sn+1=3n+1.当n2时,an=Sn-Sn-1=23n;当n=1时,a1=S1=8,不满足上式.所以数列an的通项公式为an=8,n=1,23n,n2.13.8解析 由等比数列的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),所以S6-S4=(S4-S2)2S2.因为S4-2S2=2,即S4-S2=S2+2,所以S6-S4=(S2+2)2S2=S22+4S2+4S2=S2+4S2+42S24S2+4=8,当且仅当S2=4S2时,等号成立,所以S6-S4的最小值为8.14.2n+1-2解析 设数列an的公差为d.因为数列an为等差数列,且a1=2,所以an=2+(n-1)d,所以an2n=2+(n-1)d2n=d2n2+(4d-2d2)n+(d-2)2n.因为an2n为等差数列,所以其通项公式是一个关于n的一次函数,所以(d-2)2=0,所以d=2,所以an=2+(n-1)2=2n,所以ann=2nn=2,所以a1+a222+a333+annn=21+22+2n=2(1-2n)1-2=2n+1-2. 能力提升15.B解析 根据条件,可知该数列是以3为周期的数列,则a1=a7=-3,a2=a5=2,a3=a9=4,所以a1+a2+a100=33(a1+a2+a3)+a1=33(-3+2+4)-3=96.16.C解析 设等比数列an的公比为q,则a4=-24q3=-89,q3=127,q=13,则此等比数列的各项均为负数.故当n为奇数时,Tn为负数;当n为偶数时,Tn为正数.所以当Tn取得最大值时,n为偶数,排除B.而T2=(-24)213=248=192,T4=(-24)4136=8419=849192,T6=(-24)61315=86139=8639=8498237bn,当n6时,bn+1bn,所以数列bn的最大项为第6项.19.3n+1+2n-34解析an=log2(1x1x2xt2),则an+1=log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2=log2(12x13x23xt322)=3an-1,所以an+1-12=3an-12,又a1-12=32,所以数列an-12是一个以32为首项,3为公比的等比数列,所以an-12=323n-1,所以an=3n+12,所以Sn=123(1-3n)1-3+n2=3n+1+2n-34.
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