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第八章 第6节 双曲线基础对点练1(导学号14577755)双曲线x2my21的实轴长是虚轴长的2倍，则m()A. B.C2 D4解析：D双曲线的方程可化为x21，实轴长为2，虚轴长为2，22，解得m4.2(导学号14577756)(2018天津市十二区县一模)已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(1，2)，则双曲线的焦距为()A6 B3C6 D3解析：A根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(1，2)，即点(1，2)在抛物线的准线上，则p2，则抛物线的焦点为(1,0)；则双曲线的左顶点为(3,0)，即a3；点(1，2)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y2x，由双曲线的性质，可得b6；则c3，则焦距为2c6.故选A.3(导学号14577757)(2016高考新课标全国卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B.C. D2解析：A设|MF1|x，则|MF2|2ax.MF1与x轴垂直，(2ax)2x24c2，x.sinMF2F1，3x2ax，xa，a，ab，ca，e.故选A.4(导学号14577758)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：A圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bxay0，根据已知得2，即2，解得b2，则a232225，故所求的双曲线方程是1.5(导学号14577759)(2018佳木斯市三模)椭圆C：1与双曲线E：1(a，b0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为()A. B.C. D.解析：D椭圆C：1的焦点坐标(1,0)，离心率为.双曲线E：1(a，b0)的焦点(1,0)，c1，双曲线的离心率为2.可知a，则b，双曲线渐近线yx的倾斜角的正弦值为.故选D.6(导学号14577760)(2018邯郸市一模)已知点A(a,0)，点P是双曲线C：y21右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a_.解析：设P(x，y)(x2)，则|PA|2(xa)2y22a21.a0时，xa，|PA|的最小值为a213，a2；a0时，2a3，a1.答案：1或27(导学号14577761)(2016高考北京卷)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：取B为双曲线右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan 1，即ab.又a2b2c28，a2.答案：28(导学号14577762)(2016高考浙江卷)设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.解析：如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.答案：(2，8)9(导学号14577763)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解析：(1)由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.10(导学号14577764)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：120；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，可设双曲线方程为x2y2.过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为1.(2)证明：法一由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)kMF1，kMF2.kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23；故kMF1kMF21.MF1MF2.120.法二1(32，m)，2(23，m)，12(32)(32)m23m2.M点在双曲线上，9m26，即m230.120.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.能力提升练11(导学号14577765)(2018潍坊市三模)已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1、F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率为e1，e2，且，若F1PF2，则双曲线C2的渐近线方程为()Axy0 Bxy0Cxy0 Dx2y0解析：C设椭圆C1的方程1(a1b10)，双曲线C2的方程1(a20，b20)，焦点F1(c,0)，F2(c,0)由e1，e2，由，则，则a13a2.由题意：|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，则|PF1|a1a24a2，|PF2|a1a22a2.由余弦定理可知：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos F1PF2，则(2c)2(4a2)2(2a2)224a22a2，c23a，bc2a2a，则b2a2，双曲线的渐近线方程yxx，即xy0.故选C.12(导学号14577766)(2018滨州市一模)已知双曲线E：1(a0，b0)的右顶点为A，抛物线C：y28ax的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P使得PAFP，则E的离心率的取值范围是()A(1,2) B.C(2，) D.解析：B双曲线E：1(a0，b0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C：y28ax的焦点为F(2a,0)，双曲线的渐近线方程为yx，可设P，即有(ma，m)，(m2a，m)由PAFP，即为，可得0，即为(ma)(m2a)m20，化为m23ma2a20，由题意可得9a242a20，即有a28b28(c2a2)，即8c29a2，则e.由e1，可得1e.故选B.13(导学号14577767)(2018吴忠市模拟)已知双曲线C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为_.解析：由双曲线C：y21，得a，b1，c2，则F1(2,0)，F2(2,0)由于点P的横坐标为2，则PQx轴，令x2，有y21，即y，则|PF2|，|PF1|2a|PF2|2，则PF1Q的周长为|PF1|QF1|PQ|.答案：14(导学号14577768)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解：(1)双曲线的渐近线为yx，ab，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，则直线AO的斜率满足()1，x0y0.依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2.由a2b2c2，得b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0.e1，e，双曲线的离心率为.
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