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第2讲小题考法基本初等函数、函数与方程一、主干知识要记牢1指数函数与对数函数的对比表解析式yax(a0与a1)ylogax(a0与a1)图象定义域R(0，)值域(0，)R单调性0a1时，在R上是减函数；a1时，在R上是增函数0a1时，在(0，)上是减函数；a1时，在(0，)上是增函数两图象的对称性关于直线yx对称2方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标所以方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(2)函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，a1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视ax0；研究对数函数ylogax(a0，a1)时忽视真数与底数的限制条件2易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化3函数f(x)ax2bxc有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零考点一基本初等函数的图象与性质3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小1(2018南充三模)在同一坐标系中，函数y2x与ylog2x的图象都正确的是(A)A BC D解析因为y2xx，所以函数单调递减，排除B，D yx与ylog2xx的图象关于yx轴对称排除C 故选A2已知函数f(x)3xx，则f(x)(A)A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数解析因为f(x)3xx，且定义域为R，所以f(x)3xxx3x3xxf(x)，即函数f(x)是奇函数又y3x在R上是增函数，yx在R上是减函数，所以f(x)3xx在R上是增函数3(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则(D)A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2x D3y2x1则xlog2t，同理，y，z2x3y0，2x3y又2x5z0，2x5z，3y2x5z.故选D考点二函数的零点1判断函数零点个数的方法直接法直接求零点，令f(x)0，则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解1(2018安阳模拟)已知函数f(x)则函数g(x)2|x|f(x)2的零点个数为(B)A1个 B2个C3个 D4个解析画出函数f(x)的图象如图，由g(x)2|x|f(x)20可得f(x)，则问题化为函数f(x)与函数y21|x|的图象的交点的个数问题结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B2函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是(C)A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析方法一f(0)e00210，f(1)e112e10，f(0)f(1)0，故函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C方法二函数f(x)exx2的零点，即函数yex的图象与yx2的图象的交点的横坐标，作出函数yex与直线yx2的图象如图所示，由图可知选C3(2018湖北联考)奇函数f(x)是R上单调函数，g(x)f(ax3)f(13x)有唯一零点，则a的取值集合为a|a0或a4解析函数g(x)f(ax3)f(13x)有且只有一个零点，即方程f(ax3)f(13x)0有且只有一个根或两相等实数根，函数f(x)是奇函数，即f(ax3)f(13x)有且只有一个根或两相等实数根，又f(x)是R上的单调函数，方程ax313x，即a有且只有一个根或两相等实数根，作出y的图象：由图易得a的取值集合a|a0或a4
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