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2.2抛物线的简单性质A组1.抛物线y=x2(a0)的焦点坐标为()A.a0时为(0,a),a0时为,a0时,x2=4ay的焦点为(0,a);a0时,x2=4ay的焦点为(0,a),这时焦点在y轴负半轴上.故不论a为何值,x2=4ay的焦点总为(0,a),故选C.答案:C2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为()A.B.C.1D.2解析:设AB的中点为M,焦点为F(0,1).过M作准线l:y=-1的垂线MN,过A作ACl于C,过B作BDl于D,则|MN|=3,所以AB中点到x轴的最短距离为3-1=2,此时动弦AB过焦点,故选D.答案:D3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A.(6,+)B.6,+)C.(3,+)D.3,+)解析:抛物线的焦点到顶点的距离为3,=3,即p=6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为,抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3,+).答案:D4.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2,由圆与准线相交知416,所以8y0+(y0-2)216,即有+4y0-120,解得y02或y02,故选C.答案:C5.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.2B.2C.4D.2解析:由于抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点且经过点M(2,y0),可设方程为y2=2px,由点M到抛物线焦点的距离为3,则由抛物线定义得2+=3,解得p=2,则y2=4x,又M(2,y0)在抛物线y2=4x上,则=8,|OM|=2.答案:B6.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=()A.4B.8C.8D.16解析:设A(-2,y),F(2,0),所以kAF=-,所以y=4,所以yP=4.因为点P在抛物线上,所以=8xP,所以xP=6.由抛物线定义可得|PF|=|PA|=xP-xA=6-(-2)=8.答案:B7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为.解析:由抛物线的几何性质,从焦点发出的光线经抛物线反射后与x轴平行及直线y=-2平行于x轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案:x=-28.一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=ax上,另一个顶点在坐标原点,如果这个三角形的面积为36,则a=.解析:设正三角形边长为x.由题意得,36x2sin 60,x=12.当a0时,将(6,6)代入y2=ax,得a=2.当a0),因为点C(5,-5)在抛物线上,所以该抛物线的方程为x2=-5y.(2)设车辆高为h,则|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.B组1.(2015全国卷高考)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.12解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为=1(ab0),c=2.,a=4.b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为=1.抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.答案:B2.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()A.B.C.D.3解析:设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点,y0=-,d=,dmin=.答案:A3.如图,已知点Q(2,0)及抛物线y=上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是()A.2B.3C.4D.2解析:如图所示,过P作PM垂直准线于点M,则由抛物线的定义可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小,最小值为|QF|=3.故y+|PQ|的最小值为3-1=2.答案:A4.已知顶点与原点O重合,准线为直线x=-的抛物线上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),若y1y2=-1,则AOB的大小是.解析:由已知得抛物线方程为y2=x,因此=x1x2+y1y2=+y1y2=(-1)2+(-1)=0.AOB=90.答案:905.导学号01844018对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|a|,则a的取值范围是.解析:设点Q的坐标为.由|PQ|a|,得|PQ|2a2,即a2,整理,得+16-8a)0.0,+16-8a0.即a2+恒成立.而2+的最小值为2.a2.答案:(-,26.导学号01844019某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该货船在现有状况下最多可装1 000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?解如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系.因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,所以A(10,-2).设桥孔上部抛物线方程是x2=-2py(p0),则102=-2p(-2),所以p=25,所以抛物线方程为x2=-50y,即y=-x2.若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,y=-82=-1.28,即船体在x=8之间通过,B(8,-1.28),此时B点距水面6+(-1.28)=4.72(米).而船体高为5米,所以无法通行.又因为5-4.72=0.28(米),0.280.04=7,1507=1 050(吨),所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1 050吨,而船最多还能装1 000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过桥孔.
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