资源描述
专题能力提升练 九数列求和及综合应用(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.等比数列an的前n项和为Sn=a3n-1+b,则ab=()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.因为等比数列an的前n项和为Sn=a3n-1+b,所以a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,因为等比数列an中,a22=a1a3,所以(2a)2=(a+b)6a,解得ab=-3.2.等比数列an中,a3=9,前3项和为S3=033x2dx,则公比q的值是 ()A.1B.-12C.1或-12D.-1或-12【解析】选C.S3=x303=27,则当q1时,S3=a1(1-q3)1-q=27,a3=a1q2=9,可得q=1(舍)或-12.当q=1时,a3=a2=a1=9,S3=27,也符合题意.3.设数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+nan为常数列,则an=()A.13n-1B.2n(n+1)C.6(n+1)(n+2)D.5-2n3【解析】选B.由题意知,Sn+nan=2,当n2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,两式相减整理得(n+1)an=(n-1)an-1,从而a2a1a3a2a4a3anan-1=1324n-1n+1,有an=2n(n+1),当n=1时上式成立,所以an=2n(n+1).4.已知x1,y1,且lg x,14,lg y成等比数列,则xy有()A.最小值10B.最小值10C.最大值10D.最大值10【解析】选B.因为lg x,14,lg y成等比数列,所以142=(lg x)(lg y),即(lg x)(lg y)=116,又x1,y1,所以lg x0,lg y0,所以lg x+lg y2(lgx)(lgy)=12,当且仅当lg x=lg y时,即x=y取等号,所以lg x+lg y=lg(xy)12,则xy10,即xy有最小值是10.5. 已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2=1+cos2n2an+sin2n2,则该数列的前18项和为 ()A.2 101B.1 067 C.1 012D.2 012【解析】选B.当n为奇数时,an+2=an+1,这是一个首项为1,公差为1的等差数列;当n为偶数时,an+2=2an+1,这是一个以2为首项,公比为2的等比数列,所以S18=a1+a2+a17+a18=(a1+a3+a17)+(a2+a4+a18)=9+9(9-1)21+2(1-29)1-2 =9+36+1 022=1 067.6.已知函数f(x)=exex+1,an为等比数列,an0且a1 009=1,则f(ln a1)+f(ln a2)+f(ln a2 017)=()A.2 007B.11 009C.1D.2 0172【解析】选D.因为f(x)=exex+1,所以f(-x)+f(x)=exex+1+e-xe-x+1=1,因为数列an是等比数列,所以a1a2 017=a2a2 016=a1 008a1 010=a1 0092=1,所以设S2 017=f(ln a1)+f(ln a2)+f(ln a2 017),因为S2 017=f(ln a2 017)+f(ln a2 016)+f(ln a1),+得2S2 017=2 017,所以S2 017=2 0172.二、填空题(每小题5分,共10分)7.数列an的前n项和为Sn,若点(n,Sn)(nN*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上,则an=_.【解析】由题意得n=log2(Sn+1)Sn=2n-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,当n=1时,a1=S1=21-1=1也适合上式,所以数列an的通项公式an=2n-1.答案:2n-18.(2018河南一诊)已知Sn为数列an的前n项和,a1=1,当n2时,恒有kan= anSn-Sn2成立,若S99=150,则k=_.【解析】当n2时,恒有kan=anSn-Sn2成立,即为(k-Sn)(Sn-Sn-1)=-Sn2,化为1Sn-1Sn-1=1k,可得1Sn=1+n-1k,可得Sn=kk+n-1.由S99=150,可得150=kk+98,解得k=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共40分)9.(2018佛山一模)已知数列an是等比数列,数列bn满足b1=-3,b2=-6, an+1+bn=n(nN*).(1)求an的通项公式.(2)求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)因为an+1+bn=n,则a2+b1=1,得a2=4,a3+b2=2,得a3=8,因为数列an是等比数列,所以a1q=4,a1q2=8,解得a1=2,q=2,所以an=a1qn-1=2n.(2)由(1)可得bn=n-an+1=n-2n+1,所以Sn=(1-22)+(2-23)+(n-2n+1)=(1+2+3+n)-(22+23+2n+1)=n(n+1)2-22(1-2n)1-2=n2+n2+4-2n+2.10.(2018化州二模)设数列an满足:a1=1,点(an,an+1)(nN*)均在直线y=2x+1上.(1)证明数列an+1为等比数列,并求出数列an的通项公式.(2)若bn=log2(an+1),求数列(an+1)bn的前n项和Tn.【解析】(1)因为点(an,an+1)(nN*)均在直线y=2x+1上,所以an+1=2an+1,变形为:an+1+1=2(an+1),又a1+1=2.所以数列an+1为等比数列,首项与公比都为2.所以an+1=2n,解得an=2n-1.(2)bn=log2(an+1)=n,所以(an+1)bn=n2n.数列(an+1)bn的前n项和Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+(n-1)2n+n2n+1,相减可得:-Tn=2+22+2n-n2n+1=2(2n-1)2-1-n2n+1,所以Tn=(n-1)2n+1+2.11.(2018大庆一模)已知数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)在曲线y=12x2+52x上,数列bn满足bn+bn+2=2bn+1,b4=11,bn的前5项和为45.(1)求an,bn的通项公式.(2)设cn=1(2an-3)(2bn-8),数列cn的前n项和为Tn,求使不等式Tnk54恒成立的最大正整数k的值.【解析】(1)由已知得:Sn=12n2+52n,当n=1时,a1=S1=12+52=3,当n2时,an=Sn-Sn-1=12n2+52n-12(n-1)2-52(n-1)=n+2,当n=1时,a1也符合上式.所以an=n+2.因为数列bn满足bn+bn+2=2bn+1,所以bn为等差数列.设其公差为d.则b4=b1+3d=11,5b3=5(b1+2d)=45,解得b1=5,d=2,所以bn=2n+3.(2)由(1)得,cn=1(2an-3)(2bn-8)=1(2n+1)(4n-2)=12(2n+1)(2n-1)=1412n-1-12n+1,Tn=141-13+13-15+12n-1-12n+1=141-12n+1,因为Tn+1-Tn=1412n+1-12n+3=12(2n+1)(2n+3)0,所以Tn是递增数列.所以TnT1=16,故Tnk54恒成立只要T1=16k54恒成立.所以k9,最大正整数k的值为8.【加固训练】(2018茂名一模)设正项等比数列an,a4=81,且a2,a3的等差中项为32(a1+a2).(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=log3a2n-1,数列bn的前n项和为Sn,数列cn满足cn=14Sn-1,Tn为数列cn的前n项和,若Tn0),由题意,得a4=a1q3=81,a1q+a1q2=3(a1+a1q),解得a1=3,q=3,所以an=a1qn-1=3n.(2) 由(1)得bn=log332n-1=2n-1,Sn=n(b1+bn)2=n1+(2n-1)2=n2.所以cn=14n2-1=1212n-1-12n+1,所以Tn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=n2n+1,若Tn=n2n+112n+1(nN*)恒成立,则12n+1max,所以13.12.已知函数f(x)=ln x+cos x-6-92x的导数为f(x),且数列an满足an+1+an=nf6+3(nN*).(1)若数列an是等差数列,求a1的值.(2)若对任意nN*,都有an+2n20成立,求a1的取值范围.【解析】f(x)=1x-sin x-6+92,则f6=4,故an+1+an=4n+3.(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd,由an+1+an=4n+3得(a1+nd)+a1+(n-1)d=4n+3,解得d=2,a1=52.(2)由an+1+an=4n+3得an+2+an+1=4n+7,两式相减得an+2-an=4,故数列a2n-1是首项为a1,公差为4的等差数列;数列a2n是首项为a2,公差为4的等差数列,又a1+a2=7,a2=7-a1,所以an=2n-2+a1(n为奇数),2n+3-a1(n为偶数).当n为奇数时,an=2n-2+a1,则有a1-2n2-2n+2对任意的奇数n恒成立,令f(n)=-2n2-2n+2=-2n+122+52,n为奇数,则f(n)max=f(1)=-2,所以a1-2.当n为偶数时,an=2n+3-a1,则有-a1-2n2-2n-3对任意的偶数n恒成立,令g(n)=-2n2-2n-3=-2n+122-52,n为偶数,则g(n)max=g(2)=-15,故-a1-15,解得a115.综上,a1的取值范围是-2,15.(建议用时:50分钟)1.(2018遂宁一模)在数列an中,a2=8,a5=2,且2an+1-an+2=an(nN*),则|a1|+|a2|+|a10|的值是()A.210B.10C.50D.90【解析】选C.因为2an+1-an+2=an(nN*),即2an+1=an+2+an(nN*),所以数列an是等差数列,设公差为d,则a1+d=8,a1+4d=2,联立解得a1=10,d=-2,所以an=10-2(n-1)=12-2n.令an0,解得n6.Sn=n(10+12-2n)2=11n-n2.所以|a1|+|a2|+|a10|=a1+a2+a6-a7-a10=2S6-S10=2(116-62)-(1110-102)=50.【加固训练】(2018内江一模)已知Sn是等差数列an的前n项和,a1=1,a8=3a3,则a2S1S2+a3S2S3 +a4S3S4+an+1SnSn+1=_.【解析】由a1=1,a8=3a3,得a1+7d=3(a1+2d),即1+7d=3+6d,得d=2,an+1SnSn+1=Sn+1-SnSnSn+1=1Sn-1Sn+1,则a2S1S2+a3S2S3+a4S3S4+an+1SnSn+1=1S1-1S2+1S2-1S3+1Sn-1Sn+1=1S1-1Sn+1=1-1(n+1)+(n+1)n22=1-1(n+1)2.答案:1-1(n+1)22.已知数列an的前n项和为Sn,若a1为函数f(x)=3sin x+cos x(xR)的最大值,且满足an-anSn+1=a12-anSn,则数列an的前2 018项之积A2 018=()A.1B.12C.-1D.2【解析】选A.函数f(x)=3sin x+cos x=2sinx+6,当x=2k+3,kZ时,f(x)取得最大值2,则a1=2.由an-anSn+1=a12-anSn=1-anSn,即为an=anSn+1-anSn+1,即有an+1=an-1an=1-1an,an+2=1-1an+1=11-an,an+3=1-1an+2=an,则数列an是周期为3的数列,且a1=2,a2=12,a3=-1,则一个周期的乘积为-1,由于2 018=3672+2,则数列an的前2 018项之积A2 018=1212=1.3.已知无穷数列an,a1=1,a2=2,对任意nN*,有an+2=an,数列bn满足bn+1-bn=an(nN*),若数列b2nan中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则满足要求的b1的值为_.【解析】a1=1,a2=2,对任意nN*,有an+2=an,所以a3=a1=1,a4=a2=2,a5=a3=a1=1,所以an=1,n为奇数,2,n为偶数,所以bn+1-bn=an=1,n为奇数,2,n为偶数,所以b2n+2-b2n+1=a2n+1=1,b2n+1-b2n=a2n=2,所以b2n+2-b2n=3,b2n+1-b2n-1=3,所以b3-b1=b5-b3=b2n+1-b2n-1=3,b4-b2=b6-b4=b8-b6=b2n-b2n-2=3,b2-b1=1,b2a1=b2,b4a2=b42,b6a3=b6,b8a4=b82,b4n-2a2n-1=b4n-2,b4na2n=b4n2,因为数列b2nan中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,所以b2=b6=b10=b4n-2,b4=b8=b12=b4n,解得b8=b4=3,b2=3,因为b2-b1=1,所以b1=2.答案:24.(2018菏泽一模) 已知等差数列an的前n项和为Sn,且S6=-9,S8=4,若满足不等式nSn的正整数n有且仅有3个,则实数的取值范围为_.【解析】不妨设Sn=An2+Bn,由S6=-9,S8=4,得36A+6B=-9,64A+8B=4,则A=1,B=-152,所以nSn=n3-152n2,令f(x)=x3-152x2,则f(x)=3x2-15x=3x(x-5),易得数列nSn在n5时单调递减;在n5时单调递增.令nSn=bn,有b3=-812,b4=-56,b5=-1252,b6=-54,b7=-492.若满足题意的正整数n只有3个,则n只能为4,5,6,故实数的取值范围为-54,-812.答案:-54,-8125.(2018日照一模)已知等差数列an的公差d0,其前n项和为Sn,且a2+a4=8, a3,a5,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)令bn=1a2n-1a2n+1+n,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)因为a2+a4=8,a1+2d=4,因为a3,a5,a8为等比数列,则a52=a3a8,即(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d),化简得:a1=2d,联立和得:a1=2,d=1,所以an=n+1.(2)因为bn=1a2n-1a2n+1+n=12n(2n+2)+n=141n-1n+1+n,所以Tn=141-12+1+1412-13+2+1413-14+3+141n-1n+1+n=141-12+12-13+13-14+1n-1n+1+(1+2+3+n)=141-1n+1+n(n+1)2=n4(n+1)+n(n+1)2.6.(2018安庆二模)已知公差不为0的等差数列an的首项a1=2,且a1+1,a2+1, a4+1成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=1anan+1,nN*,Sn是数列bn的前n项和,求使Sn319成立的最大的正整数n.【解析】(1)设数列an的公差为d,则an=2+(n-1)d,nN*.由a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,得(a2+1)2=(a1+1)(a4+1), 即(3+d)2=3(3+3d),得d=0(舍去)或d=3.所以数列an的通项公式an=3n-1,nN*.(2)因为bn=1anan+1=1(3n-1)(3n+2)=1313n-1-13n+2,所以Sn=1312-15+1315-18+1313n-1-13n+2=1312-13n+2=n2(3n+2),由Sn319,即n2(3n+2)319,得n12.所以使Sn0),所以=-1+12,所以an+1=12,an=-1,所以an+1=-12an,又a1=1,所以an是以1为首项,-12为公比的等比数列,所以an=-12n-1.答案:-12n-12.(2018成都七中二诊)等差数列an各项都为正数,且其前9项之和为45,设bn=1an+4a10-n,其中1n9,若bn中的最小项为b3,则an的公差不能为()A.1B.56C.23D.12【解析】选D.设等差数列an的首项为a1,公差为d,由前9项之和为45,可得S9=9a1+982d=45,所以a1+4d=5,a1=5-4d,an=5-4d+(n-1)d=nd+5-5d,bn=1(n-5)d+5+45d+5-nd,要使b3最小,则b3b2,b3b4,b2=15-3d+45+3d,b3=15-2d+45+2d,b4=15-d+45+d,可验证d=23,d=56,d=1时,都有b3b2,b3b2,所以b3不是最小值,所以an的公差不能是12.3.(2018内江一模)设nN*,函数f1(x)=xex,f2(x)=f1(x),f3(x)=f2(x),fn+1(x)=fn(x),曲线y=fn(x)的最低点为Pn,PnPn+1Pn+2的面积为Sn,则()A.Sn是常数列B.Sn不是单调数列C.Sn是递增数列D.Sn是递减数列【解析】选D.根据题意,函数f1(x)=xex,其导函数f1(x)=(x)ex+x(ex)=(x+1)ex,分析可得在(-,-1)上,f1(x)0,f1(x)为增函数,曲线y=f1(x)的最低点P1-1,-1e,对于函数f2(x)=f1(x)=(x+1)ex,其导数f2(x)=(x+1)ex+(x+1)(ex)=(x+2)ex,分析可得在(-,-2)上,f2(x)0,f2(x)为增函数,曲线y=f2(x)的最低点P2-2,-1e2,分析可得曲线y=fn(x)的最低点Pn,其坐标为-n,-1en;则Pn+1-n-1,-1en+1,Pn+2-n-2,-1en+2;所以|PnPn+1|=(-n-1+n)2+-1en+1+1en2=1+1e2n1-1e2,直线PnPn+1的方程为y+1en-1en+1+1en=x+n-n-1+n,分子、分母同乘en+1,得en+1y+e-1+e=x+n-1-(en+1y+e)=(e-1)x+(e-1)n.即(e-1)x+en+1y+e+en-n=0,故点Pn+2到直线PnPn+1的距离d=e+1e-2(e-1)2+e2n+2,所以Sn=12|PnPn+1|d=e2-2e+12en+2,设g(n)=e2-2e+1en+2,易知函数g(n)为单调递减函数,故Sn是递减数列.
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