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专题3.4 带电粒子在叠加场中的运动问题 叠加场是指在同一空间区域中重力场、电场、磁场有两种场或三种场同时存在的情况。常见的叠加场有：电场与重力场的叠加，磁场与电场的叠加，磁场、电场、重力场的叠加等。带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始运动状态，因此应把带电粒子的初始运动情况和受力情况结合起来进行分析。(1)当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，粒子将保持静止或做匀速直线运动。(2)当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做匀变速直线运动。(3)当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动。(4)当带电粒子所受合外力的大小、方向都不断变化时，粒子将做变速运动。题型1 带电体在叠加场中有约束情况下的运动带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解类型一：如果粒子在复合场中受轨道、支撑面、轻绳或轻杆等有形的约束时，可做变速直线运动。解题时只要从受力分析入手，明确变力、恒力及做功等情况，就可用动能定理、牛顿运动定律、运动学相关知识进行求解。类型二：若带电粒子运动的空间存在轨道、支撑面、轻绳、轻杆等有形的约束时，带电粒子在复合场中做匀变速圆周运动，一般应用牛顿运动定律和动能定理求解。【典例1】如图，一个质量为m、带电量为+q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中。现给圆环一个水平向右的初速度v0，在以后的运动中下列说法正确的是（ ） A圆环可能做匀减速运动 B圆环不可能做匀速直线运动C圆环克服摩擦力所做的功一定为D圆环克服摩擦力所做的功可能为【答案】 D【解析】：当qv0Bmg时，圆环做减速运动到静止，速度在减小，洛伦兹力减小，杆的支持力和摩擦力都发生变化，所以不可能做匀减速运动，故A错误当qv0B=mg时，圆环不受支持力和摩擦力，做匀速直线运动，故B错误。当qv0Bmg时，圆环做减速运动到静止，只有摩擦力做功根据动能定理得-W=0-，W= 代入解得W=，故C错误，D正确。故选D【典例2】如图所示，与水平面成37的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场(C点处于MN边界上)一质量为0.4 kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为vC m/s，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度为vF4 m/s(不计空气阻力，g10 m/s2，cos 370.8)求： (1)小球带何种电荷？(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功；(3)小球从F点飞出时磁场同时消失，小球离开F点后的运动轨迹与直线AC(或延长线)的交点为G点(未标出)，求G点到D点的距离【答案】 (1)正电荷 (2)27.6 J (3)2.26 m【解析】 (1)依题意可知小球在CD间做匀速直线运动，在CD段受重力、电场力、洛伦兹力且合力为零，若小球带负电，小球受到的合力不为零，因此带电小球应带正电荷 (2)小球在D点速度为vDvC m/s设重力与电场力的合力为F1，如图所示，则F1F洛qvCB又F15 N解得qB CT在F处由牛顿第二定律可得qvFBF1F把qB CT代入得R1 m小球在DF段克服摩擦力做功Wf，由动能定理可得Wf2F1Rmvmv解得Wf27.6 J(3)小球离开F点后做类平抛运动，其加速度为a由2R解得t s交点G与D点的距离GDvFt m2.26 m 【跟踪训练】1.(多选)如图所示，两个倾角分别为30和60的光滑斜面固定于水平地面上，并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中。两个质量均为m、带电荷量为q的小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放，运动一段时间后，两小滑块都将飞离斜面，在此过程中( ) A.甲滑块飞离斜面瞬间的速度比乙滑块飞离斜面瞬间的速度大B.甲滑块在斜面上运动的时间比乙滑块在斜面上运动的时间短C.甲滑块在斜面上运动的位移与乙滑块在斜面上运动的位移大小相同D.两滑块在斜面上运动的过程中，重力的平均功率相等【答案】 AD 2. 如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B，一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内，PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P、M点在磁场边界线上，NMAP段光滑，PQ段粗糙现在有一质量为m、带电荷量为+q的小环套在MN杆上，它所受电场力为重力的0.5倍。现将小环从M点右侧的D点由静止释放，小环刚好能到达P点 （1）求DM间距离x0；（2）求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小；【答案】 （1）8R/3 （2）【解析】：（1）小环刚好到达P点时速度vP=0，由动能定理得qEx0-2mgR=0 而 qE3mg/4所以x08R/3（2）设小环在A点时的速度为vA，由动能定理得qE(x0+R)mgR因此vA 题型2 带电体在叠加场中无约束情况下的运动情况(1)洛伦兹力、重力并存若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)若静电力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题(3)静电力、洛伦兹力、重力并存若三力平衡，一定做匀速直线运动若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题【典例3】如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直纸面向里，将带正电的小球在场中静止释放，最后落到地面上关于该过程，下述说法正确的是( ) A小球做匀变速曲线运动B小球减少的电势能等于增加的动能C电场力和重力做的功等于小球增加的动能D若保持其他条件不变，只减小磁感应强度，小球着地时动能不变【答案】 C【解析】 重力和电场力是恒力，但洛伦兹力是变力，因此合外力是变化的，由牛顿第二定律知其加速度也是变化的，选项A错误；由动能定理和功能关系知，选项B错误，选项C正确；磁感应强度减小时，小球落地时的水平位移会发生变化，则电场力所做的功也会随之发生变化，选项D错误【典例4】如图，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里一带电荷量为q、质量为m的微粒从原点出发沿与x轴正方向的夹角为45的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，粒子继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场不计一切阻力，求： (1)电场强度E的大小；(2)磁感应强度B的大小；(3)粒子在复合场中的运动时间【答案】 (1) (2) (3)(1)【解析】 (1)微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲： 所以，Eqmg，得：E(2)由平衡条件：qvBmg电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙： qvBm由几何知识可得：rlv联立解得：B(3)微粒做匀速运动时间：t1做圆周运动时间：t2在复合场中运动时间：tt1t2(1)【跟踪训练】(2016天津高考)如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E5 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B0.5 T。有一带正电的小球，质量m1106 kg，电荷量q2106 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g10 m/s2。求： (1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。【答案】(1)20 m/s，方向与电场方向成60角斜向上 (2)3.5 s【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图， 其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有qvB代入数据解得v20 m/s速度v的方向与电场E的方向之间的夹角满足tan 代入数据解得tan 60。联立以上各式，代入数据解得t2 s3.5 s。解法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vyvsin 若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有vytgt20联立以上两式，代入数据解得t2 s3.5 s。 高考+模拟综合提升训练1.(2018全国卷II T25)一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场,其在xOy平面内的截面如图所示:中间是磁场区域,其边界与y轴垂直,宽度为l,磁感应强度的大小为B,方向垂直于xOy平面;磁场的上、下两侧为电场区域,宽度均为l,电场强度的大小均为E,方向均沿x轴正方向;M、N为条状区域边界上的两点,它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场,经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。 (1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹。(2)求该粒子从M点射入时速度的大小。(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为,求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【解析】(1)粒子运动的轨迹如图甲所示。(粒子在电场中的轨迹为抛物线,在磁场中为圆弧,上下对称) (2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M点射入时速度的大小为v0,在下侧电场中运动的时间为t,加速度的大小为a;粒子进入磁场的速度大小为v,方向与电场方向的夹角为(见图乙),速度沿电场方向的分量为v1。根据牛顿第二定律有 qE=ma式中q和m分别为粒子的电荷量和质量。由运动学公式有v1=atl=v0tv1=vcos 粒子在磁场中做匀速圆周运动,设其运动轨道半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvB=m由几何关系得l=2Rcos 联立式得v0= 式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期由式得2（2017全国，16）如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a，b，c电荷量相等，质量分别为ma，mb，mc，已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是 A B C D 【答案】B【解析】由题意知，mag=qE，mbg=qE+Bqv，mcg+Bqv=qE，所以，故B正确；ACD错误。 3(2015福建高考)如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h，重力加速度为g。 (1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC；(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP。【答案】：(1) (2)mgh (3) 【解析】(1)小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足qvBNqE小滑块在C点离开MN时N0解得vC。(2)由动能定理得mghWfmvC20 解得Wfmgh。 4（2019届河南省滑县高三第一学期第二次联考）如图所示,空间存在垂直纸面向里的匀强磁场,一带负电的物块在水平外力F作用下沿粗糙水平面向右做匀加速直线运动,下列关于外力F随时间变化的图象可能正确的是 A B C D 【答案】D【解析】设开始计时物块的速度为，物块质量为m，磁感应强度为B，物块与水平面间的动摩擦因数为，根据牛顿运动定律得：，联立解得：，若为零则，可知外力F随时间呈线性关系，选项D正确。5（2019届四川省成都市高中毕业班摸底测试）图示区域有方向竖直向下的匀强电场和水平向里的匀强磁场，一带正电的微粒以水平向右的初速度进入该区域时，恰能沿直线运动。欲使微粒向下偏转，可采用的方法是 A 仅减小入射速度B 仅减小微粒的质量C 仅增大微粒的电荷量D 仅增大磁场的磁感应强度【答案】A【解析】带正电的粒子受到向下的电场力和重力以及向上的洛伦兹力作用，当qvB=mg+qE时，粒子沿直线通过正交场区；若减小入射速度，则洛伦兹力减小，电场力不变，合力向下，向下偏转。故A正确；仅减小微粒的质量，则洛伦兹力大于电场力，合力向上，向上偏转。故B错误；增加电荷量，则电场力与洛伦兹力都增加，合力向上，向上偏转。故C错误；增大磁感应强度，则向上的洛伦兹力增加，合力向上，向上偏转。故D错误；故选A。6（2019届河南省中原名校高三第一次质量考评）如图所示，空间存在水平向左的匀强电场E和垂直纸面向外的匀强磁场B，在竖直平面内从a点沿ab、ac方向抛出两带电小球，不考虑两带电小球间的相互作用，两小球的电荷量始终不变，关于小球的运动，下列说法正确的是 A 沿ab、ac方向抛出的小球都可能做直线运动B 若小球沿ac方向做直线运动，则小球带负电，可能做匀加速运动C 若小球沿ac方向做直线运动，则小球带正电，且一定是匀速运动D 两小球在运动过程中机械能均守恒【答案】AC 7（2019届安徽省合肥市高三上学期调研性检测）如图所示，空间某区域存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里，在该区域内，一带电粒子在竖直面内可能沿竖直线AB或水平线CD运动。若粒子仅受电场、磁场的作用力，下列判断正确的是（ ） A 若粒子带正电，则粒子由A向B运动B 若粒子带负电，则粒子由A向B运动C 若粒子带正电，则粒子由C向D运动D 若粒子带负电，则粒子由C向D运动【答案】AB 8（2019届安徽省六安二中高三（上）开学测试）如图所示，在xOy平面内，有场强，方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为、方向垂直xOy平面指向纸里的匀强磁场一个质量，电量带正电的微粒，在xOy平面内做匀速直线运动，运动到原点O时，撤去磁场，经一段时间后，带电微粒运动到了x轴上的P点求： 粒子运动的速度；点到原点O的距离；带电微粒由原点O运动到P点的时间【答案】， 3715m 【解析】粒子的重力：，电场力：，粒子做匀速直线运动，所受合力为零，由平衡条件得：，解得：，设速度与x轴的方向为，解得：；重力和电场力的合力是恒力，且方向与微粒在O点的速度方向垂直，撤去磁场后，微粒做类平抛运动，设沿初速度方向的位移为，沿合力方向的位移为，在初速度方向上：，在合力方向上：，OP间的距离：，解得：，9（2018福建省漳州市高三考前模拟考试试卷（二）在竖直放置固定的光滑绝缘圆环中，套有一个带电-q、质量m的小环，整个装置放在如图所示的正交匀强电磁场中，磁感应强度大小为B，电场，重力加速度为g当小环从大环顶端无初速度下滑时，则小环 A 运动到最低点的速度最大B 不能做完整的圆周运动C 对轨道最大压力为D 受到的最大洛仑兹力【答案】BD【解析】A.将重力场和电场等效为一个等效场，只有运动到等效最低点速度才最大，故A错误。B、由能量守恒定律可知无法到达等效最高点，不能做完整的圆周运动，故B正确。C、由动能定理可得，解得，受到的最大洛仑兹力，故D正确；C、在等效最低点由牛顿第二定律有，可知，故C错误。故选BD。10（2018贵州省长顺县民族高级中学高三下学期第二次月考）如图所示，某空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，已知一离子在电场力和磁场力作用下，从静止开始沿曲线acb运动，到达b点时速度为零，c点为运动的最低点，则（ ） A 离子必带正电B ab两点位于同一高度C 离子在c点速度最大D 离子到达b点后将沿原曲线返回a点【答案】ABC 只要将离子在B点的状态与A点进行比较，就可以发现它们的状态（速度为零，电势能相等）相同，如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，离子就将在B之右侧重现前面的曲线运动，因此离子是不可能沿原曲线返回A点的。如图所示。故D错误。故选BC。11（2018江西师范大学附属中学高三最后一卷）如图所示，虚线框中存在垂直纸面向外的匀强磁场B和平行纸面且与竖直平面夹角为45斜向下的匀强电场E，有一质量为m，电荷量为q的带负电的小球在高为h处的P点从静止开始自由下落，当小球运动到复合场内时刚好做直线运动，那么（ ） A 小球在复合场中一定做匀速直线运动B 若换成带正电的小球，小球仍可能做直线运动C 磁感应强度场强D 若同时改变小球的比荷与初始下落高度h，小球不能沿直线通过复合场【答案】ACD【解析】A、小球在复合场中受到竖直向下的重力、与电场强度方向相反的电场力和水平向右的洛伦兹力的作用，如图所示： 其中电场力和重力是恒力，而洛伦兹力的大小与小球的速度大小成正比，若小球做的是变速运动，那么洛伦兹力也是变力，小球的合外力方向也要改变，这与题意不符，所以小球在复合场中一定做匀速直线运动。故A正确。B、C、根据小球的平衡条件可得：，又v2=2gh，联立各式解得磁感应强度，电场强度；若要使小球沿直线通过复合场，小球的合力一定为零，所以一定要满足，若同时改变小球的比荷与初始下落的高度h，以上两个式子不能同时满足，不能做直线运动，故C、D正确。B、若换成带正电的小球，则电场力和洛伦兹力同时反向，合力不可能为零，故B错误。故选ACD。
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