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基础回扣(二)函数与导数要点回扣1函数的定义域求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同对点专练1函数y的定义域是_答案2换元法注意问题用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题对点专练2已知f(cosx)sin2x，则f(x)_.答案1x2(x1,1)3分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数对点专练3已知函数f(x)则f_.答案4函数的奇偶性判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响对点专练4f(x)是_函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案奇5函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反(2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)0.故“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件对点专练5若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.答案16函数的单调区间求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替对点专练6函数f(x)的减区间为_答案(，0)，(0，)7函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移“上加下减”(2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称；函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0(y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称对点专练7函数y|log2|x1|的递增区间是_答案0,1)，2，)8函数的周期性(1)f(x)f(xa)(a0)，则f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a.对点专练8对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x2)，若当2x1时，(0，)；当0a1时，(，0)11函数的零点如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0且a1)(2)导数的四则运算：(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)(3)复合函数的导数：yxyuux.如求f(axb)的导数，令uaxb，则(f(axb)f(u)a.对点专练12f(x)，则f(x)_.答案13利用导数判断函数的单调性设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)0，得x2或x2或x0，即x24，t34，即t1.f(x)的定义域为x|x1求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式对点专练1(1)设函数f(x)若ff(a)，则实数a()A4 B2C4或 D4或2(2)已知g(x)12x，fg(x)(x0)，则f(2)的值为_解析(1)当a4时， ff(a)f(1)，符合题意，排除B；当a2时， ff(a)f2，不符合题意，排除D；当a时，ff(a)f(2)，符合题意，排除A，故选C.(2)由g(x)12x2，得x.故f(2)3.答案(1)C(2)3易错点2忽视函数的定义域致误【例2】函数ylog(x25x6)的单调递增区间为_错解令Ux25x6，则Ux25x6在上是减函数，ylog(x25x6)的单调递增区间是.错因分析忽视了函数定义域，应加上条件x25x60.正解由x25x60知x|x3或x2令ux25x6，则ux25x6在(，2)上是减函数，ylog(x25x6)的单调递增区间为(，2)在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则对点专练2(1)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围是()A1,2) B1,2C1，) D2，)(2)已知函数f(x)，则f(ln3)_.解析(1)令g(x)x22ax1a，由题意可知，即，解得1a2，故选A.(2)f(ln3)f(ln31)eln31e，故填e.答案(1)A(2)e易错点3忽视二次项系数为0致误【例3】函数f(x)(k1)x22(k1)x1的图象与x轴只有一个交点，则实数k的取值集合是_错解由题意知4(k1)24(k1)0.即k23k0，解得k0或k3.k的取值集合是3,0错因分析未考虑k10的情况而直接令0求解导致失解正解当k1时，f(x)4x1，其图象与x轴只有一个交点.当k1时，由题意得4(k1)24(k1)0，即k23k0，解得k0或k3.k的取值集合是3,0,1对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况对点专练3(1)函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是_(2)不等式2kx2kx0，对一切实数x恒成立，则k的取值范围是_解析(1)当m0时，x为函数的零点当m0时，若0，即m1时，x1是函数唯一的零点；若0，显然函数x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx22x10有一个正根和一个负根，即0，即m0.综上，m(，01(2)当k0时，适合题意；由即得3k0x2，f(x)0x0，即a(x2)恒成立，又，故a，所以a的取值范围是.错因分析求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区间2，)上大于零，忽视了函数的导数在2，)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性正解由题意，知f(x)3x22ax3，令f(x)0(x2)恒成立，得a(x2)恒成立记t(x)，当x2时，t(x)是增函数，所以t(x)min，所以a.经检验，当a时，函数f(x)在2，)上是增函数由单调性求参数范围时，要用f(x)0(或f(x)0)，否则易漏解对点专练6(1)若函数f(x)alnxx在区间(0,2)上单调递增，则有()Aa2 Ba2C0f(x)成立，则()A3f(ln2)2f(ln3)B3f(ln2)2f(ln3)C3f(ln2)2f(ln3)D3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定解析(1)由于f(x)1，故据题意可得x(0,2)时f(x)10恒成立，即ax恒成立，故只需a2，选D.(2)令g(x)，则g(x)0，所以函数g(x)在R上单调递减，又ln2g(ln3)，即，即3f(ln2)2f(ln3)，故选A.答案(1)D(2)A易错点7定积分与面积转化不清致误【例7】曲线ysinx与x轴在区间0,2上所围部分的面积为_错解分两部分，在0，上有sinxdx2，在，2上有sinxdx2，因此所求面积S2(2)0.错因分析面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数所以，不应该将两部分直接相加正解Ssinxdx224.在x轴上方曲边梯形的面积等于函数的积分，在x轴下方曲边梯形的面积等于函数积分的相反数对点专练7(1)函数f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为_(2)直线yx与抛物线yxx2所围图形的面积等于_解析(1)所求面积S (x2)dx2cosxdx答案(1)4(2)
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