电磁场的基本规律.ppt

1 第2章电磁场的基本规律 2 2 1电磁场源量2 2真空中静电场的基本规律2 3真空中恒定磁场的基本规律2 4媒质的电磁特性2 5电磁感应定律2 6位移电流2 7麦克斯韦方程组2 8电磁场的边界条件 本章讨论内容 3 2 1电磁场的源量 本节讨论的内容 电荷模型 电流模型 电荷守恒定律 电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类 源量为电荷q r t 和电流i r t 分别用来描述产生电磁效应的两类场源 电荷是产生电场的源 电流是产生磁场的源 4 2 1 1电荷与电荷密度 自然界中存在两种电荷 正电荷和负电荷 带电体所带电荷的多少称为电荷量 迄今为止能检测到的最小电荷量是质子和电子的电荷量 其值为e 1 60217733 10 19 C 质子带正电 e 电子带负电 e 任何带电粒子所带电荷都是e的整数倍 宏观分析时 电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合 故可不考虑其量子化的事实 而认为电荷量q可任意连续取值 理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式 点电荷 体分布电荷 面分布电荷 线分布电荷 5 1 电荷体密度 单位 C m3 库仑 米3 根据电荷密度的定义 如果已知某空间区域V中的电荷体密度 则区域V中的总电量q为 电荷连续分布于体积V内 用电荷体密度来描述其分布 注意 是物理无穷小 6 若电荷分布在厚度可以忽略的曲面S上 则用电荷面密度描述其分布 2 电荷面密度 单位 C m2 库仑 米2 如果已知某空间曲面S上的电荷面密度 则该曲面上的总电量q为 7 电荷分布在截面积可以忽略的细线上时 用电荷线密度表示其分布 3 电荷线密度 如果已知某空间曲线上的电荷线密度 则该曲线上的总电量q为 单位 C m 库仑 米 8 对于总电量为q的电荷分布在很小区域V的情况 当需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远 即场点距源点的距离远大于带电体的尺寸时 就可将此带电体视为位于该区域中心 电量为q的点电荷 点电荷的电荷密度表示 4 点电荷 狄拉克函数定义为 且 9 2 1 2电流与电流密度 说明 电流通常是时间的函数 不随时间变化的电流称为恒定电流 用I表示 形成电流的条件 存在可以自由移动的电荷存在电场 单位 A 安培 电流方向 正电荷的流动方向 电流 电荷的定向运动形成电流 用i表示 其大小定义为 单位时间内通过某一横截面S的电荷量 即 10 电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流 用电流密度矢量来描述 单位 A m2 一般情况下 在空间不同的点 电流的大小和方向往往是不同的 在电磁理论中 常用体电流 面电流和线电流来描述电流的分布状态 1 体电流 流过任意曲面S的电流为 11 2 面电流 电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流 用面电流密度矢量来描述其分布 单位 A m 通过薄导体层上任意有向曲线的电流为 式中 为薄导体层的法向单位矢量 12 3 线电流 电荷在一个横截面积可以忽略的细线中定向运动所形成的电流称为线电流 可以认为电流是集中在细导线的轴线上 长度元中流过的电流为I时 将称为电流元 2 1 3 电荷守恒定律与电流连续性方程 电荷守恒定律 电荷既不能被创造 也不能被消灭 只能从物体的一部分转移到另一部分 或者从一个物体转移到另一个物体 电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一 13 电流连续性方程 积分形式 微分形式 恒定电流的连续性方程 上式表明 流出闭曲面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量 14 第五次课到此 15 2 2真空中静电场的基本规律 1 库仑 Coulomb 定律 1785年 2 2 1 库仑定律电场强度 静电场 由静止电荷产生的电场 重要特征 对电场中的电荷有电场力作用 真空中静止点电荷q1对q2的作用力 满足牛顿第三定律 大小与两电荷的电荷量乘积成正比 与两电荷距离的平方成反比 方向沿q1和q2连线方向 同性电荷相排斥 异性电荷相吸引 16 电场力服从叠加原理 真空中的N个点电荷 分别位于 对点电荷 位于 的作用力为 17 2 电场强度 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷 又称试验电荷 受到的作用力 即 如果电荷是连续分布呢 根据上述定义 真空中静止点电荷q激发的电场为 描述电场分布的基本物理量 电场强度矢量 试验正电荷 18 体密度为的体分布电荷产生的电场强度 线密度为的线分布电荷的电场强度 面密度为的面分布电荷的电场强度 小体积元中的电荷产生的电场 19 3 几种典型电荷分布的电场强度 均匀带电直线段的电场强度 均匀带电圆环轴线上的电场强度 无限长 有限长 20 电偶极子的电场强度 电偶极子是由相距很近 带等值异号的两个点电荷组成的电荷系统 其远区电场强度为 P ql电偶极矩 21 例2 2 2计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度 解 如图所示 环形薄圆盘的内半径为a 外半径为b 电荷面密度为 在环形薄圆盘上取面积元 其位置矢量为 它所带的电量为 而薄圆盘轴线上的场点的位置矢量为 因此有 22 故 由于 23 2 2 2静电场的散度与旋度 1 静电场散度与高斯定理 利用 上式可以重写为 取散度 可得 24 利用关系式 上式变为 因此 25 高斯定理的积分形式 2 静电场旋度与环路定理 所以 26 总结 高斯定理表明 静电场是有源场 电场线起始于正电荷 终止于负电荷 静电场的散度 微分形式 静电场散度与高斯定理 静电场的高斯定理 积分形式 环路定理表明 静电场是无旋场 是保守场 电场力做功与路径无关 静电场的旋度 微分形式 静电场旋度与环路定理 静电场的环路定理 积分形式 27 当电场分布具有一定对称性的情况下 可以利用高斯定理计算电场强度 具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解 3 利用高斯定理计算电场强度 球对称分布 包括均匀带电的球面 球体和多层同心球壳等 无限大平面电荷 如无限大的均匀带电平面 平板等 轴对称分布 如无限长均匀带电的直线 圆柱体 圆柱壳等 28 例子 求真空中均匀带电球体的场强分布 已知球体半径为a 电荷密度为 0 解 1 球外某点的场强 2 求球体内一点的场强 a 0 29 实验表明 真空中的载流回路C1对载流回路C2的作用力 2 3真空中恒定磁场的基本规律 1 安培力定律 安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究 在1821 1825年之间 设计并完成了电流相互作用的精巧实验 得到了电流相互作用力公式 称为安培力定律 2 3 1安培力定律磁感应强度 式中 30 满足牛顿第三定律 载流回路C2对载流回路C1的作用力 即 故 31 2 磁感应强度 电流在其周围空间中产生磁场 载流回路C1对载流回路C2的作用力是回路C1中的电流I1产生的磁场对回路C2中的电流I2的作用力 将上面安培力的公式改写为 其中 为电流I1在电流元处产生的磁感应强度 即 32 任意电流回路C产生的磁场感应强度 电流元产生的磁场感应强度 体电流产生的磁场感应强度 面电流产生的磁场感应强度 33 3 几种典型电流分布的磁感应强度 载流直线段的磁感应强度 载流圆环轴线上的磁感应强度 有限长 无限长 34 而场点P的位置矢量为 例2 3 1计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度 35 轴线上任一点P 0 0 z 的磁感应强度为 由于 所以 36 可见 线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量 这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁场强度的径向分量相互抵消 在圆环的中心点上 z 0 磁感应强度最大 即 37 2 3 2恒定磁场的散度和旋度 1 恒定磁场的散度与磁通连续性原理 利用公式 有 由矢量恒等式 38 得到 因此 39 第六次课到此 40 2 恒定磁场的旋度与安培环路定理 由矢量恒等式 得到 41 有 利用矢量恒等式 42 故 43 恒定磁场的散度与磁通连续性原理 磁通连续性原理表明 恒定磁场是无源场 磁场线是无起点和终点的闭合曲线 恒定磁场的散度 微分形式 磁通连续性原理 积分形式 安培环路定理表明 恒定磁场是有旋场 是非保守场 电流是磁场的旋涡源 恒定磁场的旋度 微分形式 恒定磁场的旋度与安培环路定理 安培环路定理 积分形式 总结 44 解 分析场的分布 取安培环路如图 根据对称性 有 故 当磁场分布具有一定对称性的情况下 可以利用安培环路定理计算磁感应强度 3 利用安培环路定理计算磁感应强度 例2 3 2求电流面密度为的无限大电流薄板产生的磁感应强度 45 解选用圆柱坐标系 则 应用安培环路定理 得 例2 3 3求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度 取安培环路 交链的电流为 46 应用安培环路定律 得 47 2 4媒质的电磁特性 1 电介质的极化现象 电介质的分子分为无极分子和有极分子 在电场作用下 介质中无极分子的束缚电荷发生位移 有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向 这种现象称为电介质的极化 通常 无极分子的极化称为位移极化 有极分子的极化称为取向极化 2 4 1电介质的极化 电位移矢量 媒质对电磁场的响应可分为三种情况 极化 磁化和传导 描述媒质电磁特性的参数为 介电常数 磁导率和电导率 48 的物理意义 单位体积内分子电偶极矩的矢量和 2 极化强度矢量 极化强度矢量是描述介质极化程度的物理量 定义为 分子的平均电偶极矩 极化强度与电场强度有关 其关系一般比较复杂 对线性 各向同性的电介质 与电场强度成正比 即 电介质的电极化率 49 在电介质内任意作一闭合面S 只有电偶极矩穿过S的分子对S内的极化电荷有贡献 在此S面上取一面积元dS 并作一斜高为d的体积元 由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元dS 因此dS对极化电荷的贡献为 由于极化 正负电荷发生位移 在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布 同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷 3 极化电荷 1 极化电荷体密度 50 2 极化电荷面密度 紧贴电介质表面取如图所示的闭曲面S 则穿过面积元的极化电荷为 从该封闭面S穿出的极化电荷就是该电介质表面上的极化电荷 故得到电介质表面的极化电荷面密度为 S所围的体积内的极化电荷为 51 4 电位移矢量介质中的高斯定理 介质的极化过程包括两个方面 外加电场的作用使介质极化 产生极化电荷 极化电荷反过来激发电场 两者相互制约 并达到平衡状态 无论是自由电荷 还是极化电荷 它们都激发电场 服从同样的库仑定律和高斯定理 介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加 应用高斯定理得到 52 小结 静电场是有散无旋场 电介质中的基本方程为 引入电位移矢量 单位为C m2 将极化电荷体密度表达式代入 有 则有 其积分形式为 积分形式 微分形式 53 在这种情况下 其中称为介质的介电常数 称为介质的相对介电常数 无量纲 介质有多种不同的分类方法 如 均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质 线性和非线性介质确定性和随机介质 5 电介质的本构关系 54 2 4 2磁介质的磁化磁场强度 1 磁介质的磁化 介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流 形成分子磁矩 在外磁场作用下 分子磁矩定向排列 宏观上显示出磁性 这种现象称为磁介质的磁化 无外磁场作用时 分子磁矩不规则排列 宏观上不显磁性 55 2 磁化强度矢量 磁化强度是描述磁介质磁化程度的物理量 定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和 即 单位为A m 56 在磁介质中任意取一个由边界回路C限定的曲面S 显然 只有那些环绕曲线C的分子电流才对磁化电流IM有贡献 其余地方的分子电流要么不穿过S 要么正反穿越两次而抵消 即中心位于如图所示的斜圆柱内的分子电流对磁化电流有贡献 故 穿过曲面S的磁化电流为 1 磁化电流体密度 57 由 即得到磁化电流体密度 在紧贴磁介质表面取一长度元dl 与此交链的磁化电流为 2 磁化电流面密度 则 即 58 4 磁场强度 介质中安培环路定理 分别是传导电流密度和磁化电流密度 将极化电荷体密度表达式代入有 即 外加磁场使介质发生磁化 磁化导致磁化电流 磁化电流同样也激发磁感应强度 两种相互作用达到平衡 介质中的磁感应强度B应是所有电流源激励的结果 定义磁场强度为 59 则得到介质中的安培环路定理为 磁通连续性定理为 小结 恒定磁场是无散有旋场 磁介质中的基本方程为 积分形式 微分形式 60 其中 称为介质的磁化率 这种情况下 其中称为介质的磁导率 称为介质的相对磁导率 无量纲 顺磁质抗磁质铁磁质 磁介质的分类 5 磁介质的本构关系 磁化强度和磁场强度之间的关系由磁介质的物理性质决定 对于线性各向同性介质 与之间存在简单的线性关系 61 解 磁场为平行平面场 且具有轴对称性 应用安培环路定律 得 磁场强度 磁化强度 磁感应强度 例子 有一磁导率为 半径为a的无限长导磁圆柱 其轴线处有无限长的线电流I 圆柱外是空气 0 试求圆柱内外的 和的分布 62 2 4 3媒质的传导特性 对于线性和各向同性导电媒质 媒质内任一点的电流密度矢量J和电场强度E成正比 表示为 这就是欧姆定律的微分形式 式中的比例系数称为媒质的电导率 单位是S m 西门子 米 存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质 在外场作用下 带电粒子定向移动而形成电流 可以证明 电场对单位体积提供的功率为 63 第7次课结束 64 2 5电磁感应定律和位移电流 2 5 1电磁感应定律 自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后 人们开始研究相反的问题 即磁场能否产生电流 1831年法拉第发现 当穿过导体回路的磁通量发生变化时 回路中就会出现感应电动势 并可引起感应电流 且感应电动势与磁通量的变化有密切关系 由此总结出了著名的法拉第电磁感应定律 电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场 位移电流 揭示时变电场产生磁场 重要结论 在时变情况下 电场与磁场相互激励 形成统一的电磁场 65 负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化 1 法拉弟电磁感应定律的表述 设任意导体回路C围成的曲面为S 其单位法向矢量为 则穿过回路的磁通为 当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时 回路中产生的感应电动势 in的大小等于磁通量的时间变化率的负值 方向是要阻止回路中磁通量的改变 即 66 导体回路中有感应电流 表明回路中存在感应电场 回路中的感应电动势可表示为 感应电场是由变化的磁场所激发的电场 感应电场是有旋场 感应电场不仅存在于导体回路中 也存在于导体回路之外的空间 对空间中的任意回路 不一定是导体回路 C 都有 因而有 对感应电场的讨论 67 相应的微分形式为 1 回路不变 磁场随时间变化 这就是推广的法拉第电磁感应定律 若空间同时存在由电荷产生的电场 则总电场应为与之和 即 由于 故有 2 引起回路中磁通变化的几种情况 磁通量的变化由磁场随时间变化引起 因此有 68 称为动生电动势 这就是发电机工作原理 2 导体回路在恒定磁场中运动 3 回路在时变磁场中运动 69 例2 5 1求下面三种情况下回路的感应电动势 1 如图所示 长为a 宽为b的矩形环中有均匀磁场垂直穿过 2 矩形回路的宽边b 常数 但其长边因可滑动导体L以匀速运动而随时间增大 3 且矩形回路上的可滑动导体L以匀速运动 70 解 1 均匀磁场随时间作简谐变化 而回路静止 因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的 故 2 均匀磁场为恒定磁场 而回路上的可滑动导体以匀速运动 因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产生的 故得 71 或 3 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的 故得 72 1 线圈静止时的感应电动势 解 1 线圈静止时 感应电动势是由时变磁场引起 故 2 线圈以角速度 绕x轴旋转时的感应电动势 例2 5 2在时变磁场中 放置有一个的矩形线圈 初始时刻 线圈平面的法向单位矢量与成 角 如图所示 试求 73 2 线圈绕x轴旋转时 的指向将随时间变化 线圈内的感应电动势可以用两种方法计算 利用式计算 故 74 在时变情况下 安培环路环路是否要发生变化 有什么变化 即 问题 随时间变化的磁场要产生电场 那么随时间变化的电场是否会产生磁场 2 5 2位移电流 静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化 即 这不仅是方程形式的变化 而是一个本质的变化 其中包含了重要的物理事实 即时变磁场可以激发电场 75 1 全电流定律 而由 时变情况下 电荷分布随时间变化 由电流连续性方程有 解决办法 对安培环路定理进行修正 由 将修正为 76 全电流定律 微分形式 积分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场 变化的电场也可以激发磁场 它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系 77 2 位移电流密度 电位移矢量随时间的变化率 能像电流一样产生磁场 故称 位移电流 注 在绝缘介质中 无传导电流 但有位移电流 在理想导体中 无位移电流 但有传导电流 在一般介质中 既有传导电流 又有位移电流 位移电流只表示电场的变化率 与传导电流不同 它不产生热效应 位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步 它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念 78 例2 5 3海水的电导率为4S m 相对介电常数为81 求频率为1MHz时 位移电流振幅与传导电流振幅的比值 解 设电场随时间作正弦变化 表示为 则位移电流密度为 其振幅值为 传导电流的振幅值为 故 79 式中的k为常数 试求 位移电流密度和电场强度 例2 5 4自由空间的磁场强度为 解自由空间的传导电流密度为0 故由式 得 80 例2 5 5铜的电导率 相对介电常数 设铜中的传导电流密度为 试证明 在无线电频率范围内 铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的 而传导电流密度的振幅值为 通常所说的无线电频率是指f 300MHz以下的频率范围 即使扩展到极高频段 f 30GHz 300GHz 从上面的关系式看出比值Jdm Jm也是很小的 故可忽略铜中的位移电流 解 铜中存在时变电磁场时 位移电流密度为 位移电流密度的振幅值为 81 2 6麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组 宏观电磁现象所遵循的基本规律 是电磁场的基本方程 2 6 1麦克斯韦方程组的积分形式 82 2 6 2麦克斯韦方程组的微分形式 83 2 6 3媒质的本构关系 代入麦克斯韦方程组中 有 各向同性线性媒质的本构关系为 84 时变电场的激发源除了电荷以外 还有变化的磁场 而时变磁场的激发源除了传导电流以外 还有变化的电场 电场和磁场互为激发源 相互激发 时变电磁场的电场和磁场不再相互独立 而是相互关联 构成一个整体 电磁场 电场和磁场分别是电磁场的两个物理量 在离开辐射源 如天线 的无源空间中 电荷密度和电流密度矢量为零 电场和磁场仍然可以相互激发 从而在空间形成电磁振荡并传播 这就是电磁波 85 在无源空间中 两个旋度方程分别为 可以看到两个方程的右边相差一个负号 而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系 当磁场减小时 电场的漩涡源为正 电场将增大 而当电场增大时 使磁场增大 磁场增大反过来又使电场减小 86 麦克斯韦方程组 时变场 静态场 缓变场 迅变场 电磁场 EM 准静电场 EQS 准静磁场 MQS 静磁场 MS 小结 麦克斯韦方程适用范围 一切宏观电磁现象 静电场 ES 恒定电场 SS 87 例2 6 1正弦交流电压源连接到平行板电容器的两个极板上 如图所示 1 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等 2 求导线附近距离连接导线为r处的磁场强度 解 1 导线中的传导电流为 忽略边缘效应时 间距为d的两平行板之间的电场为E u d 则 88 与闭合线交链的只有导线中的传导电流 故得 2 以r为半径作闭合曲线C 由于连接导线本身的轴对称性 使得沿闭合线的磁场相等 故 则极板间的位移电流为 89 例2 6 2在无源的电介质中 若已知电场强度矢量 式中的E0为振幅 为角频率 k为相位常数 试确定k与 之间所满足的关系 并求出与相应的其它场矢量 解 是电磁场的场矢量 应满足麦克斯韦方程组 因此 利用麦克斯韦方程组可以确定k与 之间所满足的关系 以及与相应的其它场矢量 对时间t积分 得 90 由 以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程 将以上得到的H和D代入式 91 第8次课结束 92 2 7电磁场的边界条件 什么是电磁场的边界条件 为什么要研究边界条件 如何讨论边界条件 实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的 该空间中可能是由多种不同媒质组成的 边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系 是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性 物理 由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变 场在界面两侧也发生突变 麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义 必须采用边界条件 数学 麦克斯韦方程组是微分方程组 其解是不确定的 边界条件起定解的作用 麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用 由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件 93 2 7 1边界条件一般表达式 94 边界条件的推证 1 电磁场量的法向边界条件 令 h 0 则由 即 同理 由 在两种媒质的交界面上任取一点P 作一个包围点P的扁平圆柱曲面S 如图表示 或 或 95 2 电磁场量的切向边界条件 在介质分界面两侧 选取如图所示的小环路 令 h 0 则由 故得 或 同理得 或 96 两种理想介质分界面上的边界条件 2 7 2两种常见的情况 在两种理想介质分界面上 没有自由面电荷和面电流分布 即JS 0 S 0 故 媒质1 媒质2 媒质1 媒质2 97 2 理想导体表面上的边界条件 理想导体表面上的边界条件设媒质2为理想导体 则E2 D2 H2 B2均为零 故 理想导体 电导率为无限大的导电媒质 特征 电磁场不可能进入理想导体内 98 例2 7 1z0区域的媒质参数为 若媒质1中的电场强度为 媒质2中的电场强度为 1 试确定常数A的值 2 求磁场强度和 3 验证和满足边界条件 解 1 这是两种电介质的分界面 在分界面z 0处 有 99 利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件 得到 将上式对时间t积分 得 2 由 有 100 可见 在z 0处 磁场强度的切向分量是连续的 因为在分界面上 z 0 不存在面电流 3 z 0时 同样 由 得 101 例2 7 2如图所示 1区的媒质参数为 2区的媒质参数为 若已知自由空间的电场强度为 试问关于1区中的和能求得出吗 解根据边界条件 只能求得边界面z 0处的和 由 有 则得 102 又由 有 则得 最后得到 103 解 1 由 有 试求 1 磁场强度 2 导体表面的电流密度 例2 7 3在两导体平板 z 0和z d 之间的空气中 已知电场强度 104 将上式对时间t积分 得 2 z 0处导体表面的电流密度为 z d处导体表面的电流密度为 105 作业 2 2 2 10 2 15 2 19 2 20 2 25 2 26 3 第9次课结束