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课时跟踪检测（十） 双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4 D4解析：选C双曲线方程可变形为1，所以a24，a2，从而2a4，故选C.2已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)，将点(5,3)代入方程，可得523216，所以双曲线方程为x2y216，即1.3(2017全国卷)若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)解析：选C由题意得双曲线的离心率e.即e21.a1，01，112，1e.4若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()Ay23x236 Bx23y236C3y2x236 D3x2y236解析：选A椭圆4x2y264可变形为1，a264，c2641648，焦点为(0,4)，(0，4)，离心率e，则双曲线的焦点在y轴上，c4，e，从而a6，b212，故所求双曲线的方程为y23x236.5已知双曲线y21(a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选D由双曲线方程为y21，知b21，c2a21，2b2,2c2.实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，2a2c4b4，2a24，解得a.双曲线的渐近线方程为yx.6已知点(2,3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_解析：由题意知1，c2a2b24，解得a1，所以e2.答案：27已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e，则双曲线的标准方程为_解析：由焦点坐标，知c2，由e，可得a4，所以b2，则双曲线的标准方程为1.答案：18已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法二：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.答案：y219求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(2)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等；(3)与椭圆1有公共焦点，离心率为.解：(1)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上得，得2.故所求双曲线的标准方程为1.(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0，b0)因为e，所以a2，则b2c2a25，故所求双曲线的标准方程为1.法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(1625)因为e，所以1，解得21.故所求双曲线的标准方程为1.10设双曲线1(0aa，所以e212，则e2.于是双曲线的离心率为2.层级二应试能力达标1若双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线的方程为()Ay2x296By2x2160Cy2x280 Dy2x224解析：选D设双曲线方程为x2y2(0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，4)，所以0，b0)由题意，知过点(4，2)的渐近线方程为yx，所以24，即a2b.设bk(k0)，则a2k，ck，所以e.故选D.3已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得，又AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是1.4已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2C. D.解析：选D不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.5已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是_解析：由题意，知，则3，所以c2a23a2，即c24a2，所以e24，所以e2.答案：2，)6双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：双曲线1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设直线FB的方程为y(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|(53).答案：7已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程解：(1)由已知得c2，e2，所以a1，b.所以所求的双曲线方程为x21.(2)设直线l的方程为yxm，点M(x1，y1)，N(x2，y2)联立整理得2x22mxm230.(*)设MN的中点为(x0，y0)，则x0，y0x0m，所以线段MN垂直平分线的方程为y，即xy2m0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，可得|2m|2m|4，得m22，m，此时(*)的判别式0，故直线l的方程为yx.8已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB的面积是，求实数k的值解：(1)由消去y，得(1k2)x22kx20. 由直线l与双曲线C有两个不同的交点，得解得k且k1.即k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程，得x1x2，x1x2.因为直线l：ykx1恒过定点D(0，1)，则当x1x20时，SAOB|SOADSOBD|x1x2|.综上可知，|x1x2|2，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)2，即28，解得k0或k.由(1)，可知k且k1，故k0或k都符合题意
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