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三 直线的参数方程1直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数为(t为参数)(2)由为直线的倾斜角知 0，)时，sin 0.2直线参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离 (1)当M0M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数(2)当M0M与e反向时，t取负数(3)当M与M0重合时，t.直线的参数方程例1已知直线l：(t为参数)(1)分别求t0,2，2时对应的点M(x，y)；(2)求直线l的倾斜角；(3)求直线l上的点M(3，0)对应的参数t，并说明t的几何意义思路点拨(1)直接代入t的值求解；(2)把直线的参数方程化为普通方程求倾斜角或把直线的参数方程化为标准形式求倾斜角；(3)利用参数t的几何意义，即M0Mte求解解(1)由直线l：(t为参数)知，当t0,2，2时，分别对应直线l上的点(，2)，(0,3)，(2，1)(2)法一：把直线l：(t为参数)化为普通方程为y2(x)，设直线l的倾斜角为，则ktan (00，所以设这个二次方程的两个实根为t1，t2.则t1t2，t1t2，因为M为AB的中点，根据t的几何意义，所以|PM|.(2)因为中点M所对应的参数为tM，将此值代入直线l的参数方程，得点M坐标为即M，|AB|t2t1|.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷3直线l通过P0(4,0)，倾斜角，l与圆x2y27相交于A，B两点(1)求弦长|AB|；(2)求A，B两点坐标解：(1)直线l通过P0(4,0)，倾斜角，直线l的参数方程为代入圆方程，得227.整理得t24t90.设A，B对应的参数分别t1和t2，由根与系数的关系得t1t24，t1t29，|AB|t2t1|2.(2)解得t13，t2，代入直线参数方程得A点坐标，B点坐标.4在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin.(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|PB|.解：(1)由消去参数，得y21，即C的普通方程为y21.由sin得sin cos 2，(*)将代入(*)，化简得yx2.所以直线l的倾斜角为.(2)易知点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，代入y21并化简，得5t218t270，(18)245271080，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t20，所以t10，t20，所以|PA|PB|t1|t2|(t1t2).一、选择题1直线(t为参数)的倾斜角为()A70 B10C160 D140解析：选B将直线的参数方程化为(t为参数)，故其倾斜角为10，故选B.2直线(t为参数)的斜率为()A BC. D.解析：选A直线的参数方程(t为参数)化为普通方程为y1(x3)，则直线的斜率k.3若直线(t为参数)与圆(为参数)相切，那么直线倾斜角为()A. B.C. D.或解析：选D直线可化为tan ，即ytan x，圆方程可化为(x4)2y24，由2tan2，tan ，又0，)，或.4下列可以作为直线2xy10的参数方程的是()A.(t为参数) B.(t为参数)C.(t为参数) D.(t为参数)解析：选C直线2xy10经过点(1,3)，斜率k2，可得直线的参数方程是(t为参数)直线还经过点(2,5)，相应的参数方程为(t为参数)二、填空题5已知直线l的参数方程是(t为参数)，则它的普通方程是_解析：由直线l的参数方程是(t为参数)，消去参数t整理得3x4y50.答案：3x4y506直线上与点A(2,3)的距离等于的点的坐标是_解析：设P(2t,3t)是直线上满足条件的点，则(t)2(t)2()2，t2，t，则P(3,4)或(1,2)答案：(3,4)或(1,2)7设直线的参数方程为点P在直线上，且与点M0(4,0)的距离为，若该直线的参数方程改写成(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为_解析：由|PM0|知，t，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(3,1)或(5，1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t1或t1.答案：1三、解答题8设直线的参数方程为(t为参数)(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式解：(1)把t代入y104t，得y10，化简得4x3y500，所以直线的普通方程为4x3y500.(2)把参数方程变形为令t5t，即有(t为参数)为参数方程的标准形式9极坐标系与直角坐标系xOy有相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为sin28cos .(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|.解：(1)由sin28cos ，得2sin28cos ，故曲线C的直角坐标方程为y28x.(2)将直线l的参数方程化为标准形式为(t为参数)，代入y28x，并整理得3t216t640，则t1t2，t1t2，所以|AB|t1t2|.10经过P(2,3)作直线交抛物线y28x于A，B两点(1)若线段AB被P平分，求AB所在直线方程；(2)当直线的倾斜角为时，求|AB|.解：设AB的参数方程是(t为参数)代入抛物线方程，整理得t2sin2(6sin 8cos )t70.于是t1t2，t1t2.(1)若P为AB的中点，则t1t20.即6sin 8cos 0tan .故AB所在的直线方程为y3(x2)即4x3y10.(2)|AB|t1t2| .又，|AB| 8.
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