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限时集训（十二）空间几何体、空间中的位置关系基础过关1.一个几何体的三视图如图X12-1所示,则该几何体的表面积是()图X12-1A.3+3B.2+3C.2+2D.3+22.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题:“今有刍童,下广二丈,袤三丈;上广三丈,袤四丈;高三丈.问积几何?”翻译成现代文是:“有一个上、下底面皆为长方形的草垛,下底(指面积较小的长方形)宽2丈,长3丈;上底(指面积较大的长方形)宽3丈,长4丈;高3丈.它的体积是多少?”现将该几何体的三视图给出,如图X12-2所示,则该几何体的体积为()图X12-2A.532 立方丈B.24立方丈C.27立方丈D.(18+62)立方丈3.在空间中,设m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若m且,则mB.若,m,n,则mnC.若m且,则mD.若m不垂直于,且n,则m必不垂直于n4.如图X12-3所示,平面与平面相交于BC,AB,CD,点ABC,点DBC,则下列说法错误的是()图X12-3A.直线AD与BC是异面直线B.过AD只能作一个平面与BC平行C.过AD总能作一个平面与BC垂直D.过点D只能作一个平面与BC垂直,但过点D可作无数个平面与BC平行5.一个几何体的三视图如图X12-4所示,若该几何体的体积为323,则该几何体的外接球的表面积为()图X12-4A.12B.24C.36D.486.某几何体的三视图如图X12-5所示,则该几何体的体积为()图X12-5A.4+3B.4+23C.8+3D.8+237.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为()A.0B.-14C.14D.128.一个几何体的三视图如图X12-6所示,则该几何体的表面积为()图X12-6A.2+43B.4+43C.8+23D.6+239.已知某正三棱锥的三视图如图X12-7所示,若其侧棱长大于底边长,其外接球的体积为1256,则其侧视图的面积为()图X12-7A.32B.2C.4D.610.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长都相等,且底面是边长为32的正方形,若它的五个顶点都在直径为10的球面上,则四棱锥P-ABCD的体积为.11.如图X12-8所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为.图X12-8能力提升12.已知某四棱锥的三视图如图X12-9所示,则该四棱锥的五个面中,面积最大的面的面积是()图X12-9A.3B.6C.8D.1013.如图X12-10所示,=l,点A,C,点B,D,且A,B,C,Dl,点M,N分别是线段AB,CD的中点,则下列说法中正确的是()图X12-10A.当CD=2AB时,M,N不可能重合B.M,N可能重合,但此时直线AC与l不可能相交C.当直线AB,CD相交,且ACl时,直线BD与l不可能平行D.当直线AB,CD异面时,直线MN与l可能平行14.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱PA平面ABCD,PA=2,若在四棱锥P-ABCD的内部有一个半径为R的球,则R的最大值为()A.2-2B.1C.2-1D.2315.一个正三棱柱的三视图如图X12-11所示,若该三棱柱的外接球的表面积为32,则侧视图中的x的值为 ()图X12-11A.6B.4C.3D.216.某几何体的正视图和俯视图如图X12-12所示,在如图X12-13所示的图形中,可能是该几何体侧视图的是.(写出所有可能的图形的序号)图X12-12图X12-1317.若直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一个球面上,且AB=3,AC=5,BC=7,AA1=2,则此球的表面积等于.18.如图X12-14所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是DC的中点,现将DAE沿AE折起,使得平面DAE平面ABCE,得到如图X12-14所示的几何体,则异面直线AE和DB所成角的余弦值为.图X12-14限时集训(十二) 基础过关1.C解析 由三视图可得该几何体是一个四棱锥,其底面是边长为1的正方形,故底面积为1,侧面均为直角三角形,其中有两个是腰长为1的等腰直角三角形,面积均为12,另外两个是边长分别为1,2,3的直角三角形,面积均为22,故该几何体的表面积S=1+212+222=2+2.故选C.2.A解析 将该几何体下底面的4个顶点正投影在上底面,将几何体分割,中间为一个长方体,其体积为233=18(立方丈),剩余的部分可以分割为4个四棱锥和4个三棱柱,剩余部分的体积为41312123+2121232+2121233=172(立方丈),所以该几何体的体积为532立方丈.3.C解析 对于A,若m且,也有m的可能,故A中说法错误;对于B,若,m,n,也有mn,m与n相交但不垂直,m与n异面但不垂直的可能,故B中说法错误;对于D,若m不垂直于,且n,也有mn的可能,故D中说法错误;显然C中说法正确.故选C.4.C解析 由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线,A中说法正确;在平面内仅有一条直线过点D且与BC平行,这条直线与AD确定的平面与BC平行,即过AD只能作一个平面与BC平行,B中说法正确;只有当ADBC时,过AD才能作一个平面与BC垂直,C中说法错误;过点D只能作一个平面与BC垂直,但过点D可作无数个平面与BC平行,D中说法正确.故选C.5.C解析 由三视图可得该几何体是一个底面为矩形,且一条侧棱与底面垂直的四棱锥,该四棱锥的高为4,底面矩形两邻边的长分别为4,m,则134m4=323,可得m=2.将该几何体补成一个长、宽、高分别为4,2,4的长方体,则其外接球的半径R=1242+22+42=3,故该几何体的外接球的表面积为4R2=36.故选C.6.D解析 由题意可知该几何体的左侧是一个底面边长为2,高为2的正三棱柱,右侧是一个棱长为2的正方体,所以该几何体的体积V=222+12232=8+23.故选D.7.C解析 如图,分别取A1B1,A1A,AC的中点E,F,G,连接EF,FG,EG.E,F,G分别为A1B1,A1A,AC的中点,EF12AB1,FG12A1C,EFG(或其补角)即为异面直线AB1与CA1所成的角.又EF=12AB1=1222+22=2,FG=12A1C=1222+22=2,EG=22+12=5,在EFG中,由余弦定理得cosEFG=EF2+FG2-EG22EFFG=2+2-5222=-14,异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为14.8.D解析 由三视图可得该几何体是以俯视图中的图形为底面的直四棱柱,且该直四棱柱的底面面积为13=3,底面周长为2(1+12+(3)2)=6,高为1,故该几何体的表面积S=61+23=6+23.故选D.9.D解析 侧视图为三角形,其底边长为(23)2-(3)2=3.设该正三棱锥的外接球的半径为R,则43R3=1256,解得R=52.设该正三棱锥的高为h,则有h-522+22=522,解得h=4或h=1(舍),所以其侧视图的面积S=1234=6.故选D.10.6或54解析 由题意可知,四棱锥P-ABCD底面正方形的对角线长为322=6,四棱锥P-ABCD的底面积S=(32)2=18.分类讨论:当球心位于四棱锥P-ABCD的内部时,四棱锥P-ABCD的高h1=5+52-32=9,此时该四棱锥的体积V=13Sh1=54;当球心位于四棱锥P-ABCD的外部时,四棱锥P-ABCD的高h2=5-52-32=1,此时该四棱锥的体积V=13Sh2=6.综上可得,四棱锥P-ABCD的体积为6或54.11.155解析 如图,连接BD,取BD的中点F,连接EF,AF,则EFBD1,所以AEF(或AEF的补角)即为异面直线AE与BD1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则AE=5,AF=2,EF=3,由余弦定理得cosAEF=AE2+EF2-AF22AEEF=155,所以异面直线AE与BD1所成角的余弦值为155. 能力提升12.C解析 由三视图可知该四棱锥为如图所示的四棱锥P-ABCD,其中底面ABCD为矩形,侧面PAD底面ABCD,且PA=PD=3,BC=4,CD=2,则PAD的高为32-22=5,所以SPAD=1245=25,SPAB=SPCD=1223=3,SPBC=124(5)2+22=6,S矩形ABCD=24=8,故四棱锥P-ABCD的五个面中,面积最大的面的面积是8.故选C.13.B解析 对于A,当CD=2AB时,若ACBD且BCAD,则M,N两点重合,故A中说法错误;对于B,若M,N两点重合,则ACBD,故ACl,此时直线AC与直线l不可能相交,故B中说法正确;对于C,当直线AB与CD相交,且ACl时,直线BD与l可能平行,故C中说法错误;对于D,当直线AB,CD异面时,MN与l不可能平行,故D中说法错误.故选B.14.A解析 当R最大时,对应的球是四棱锥P-ABCD的内切球.根据题意可以求得四棱锥P-ABCD的表面积S=22+21222+212222=8+42,又该四棱锥的体积V=13222=83,结合13SR=V,得R=3838+42=22+2=2-2.故选A.15.C解析 由三视图可知该正三棱柱的高为4,设其底面边长为a,则底面正三角形的外接圆的半径为33a.设该正三棱柱的外接球的半径为R,则有R=22+13a2,因为该三棱柱的外接球的表面积为32,所以4R2=44+13a2=32,解得a=23,所以x=3223=3.故选C.16.解析 如图a,几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,三棱锥D1-ABD的正视图与俯视图符合题意,侧视图为;如图b,几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,四棱锥B-ADD1A1的正视图与俯视图符合题意,侧视图为;如图c,几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,三棱锥B-A1DD1的正视图与俯视图符合题意,侧视图为.故答案为.17.2083解析 设ABC的外接圆半径为r,由余弦定理得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=32+52-72235=-12,BAC=120,2r=BCsinBAC=7sin120=1433,r=733,因此直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径R=1+7332=523,其表面积S=4R2=2083.18.66解析 设AE的中点为O,连接DO,BO,延长EC到点F,使CF=EC,连接BF,DF,OF.EF=2EC=2,AB=2,EFAB,四边形ABFE是平行四边形,BFAE,DBF(或其补角)即为异面直线AE和DB所成的角.DA=DE=1,O为AE的中点,DOAE,又ADE=90,AO=DO=22.在ABO中,由余弦定理得cosOAB=cos45=AO2+AB2-OB22AOAB=22,BO=102,同理可得OF=262.平面DAE平面ABCE,平面DAE平面ABCE=AE,DO平面DAE,DOAE,DO平面ABCE,又BO平面ABCE,DOBO,BD2=BO2+DO2=52+12=3,即BD=3,同理可得DF=7.又BF=AE=2,在DBF中,由余弦定理得cosDBF=DB2+BF2-DF22DBBF=3+2-7232=-66,又异面直线所成角的取值范围为0,90,异面直线AE和DB所成角的余弦值为66.
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