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3.1.2瞬时变化率导数(一)学习目标1.了解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度.知识点一曲线上一点处的切线思考如图，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x，f(x)时，割线PPn的变化趋势是什么？答案当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置.这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线.梳理可以用逼近的方法来计算切线的斜率，设P(x，f(x)，Q(xx，f(xx)，则割线PQ的斜率为kPQ.当x无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x)处的切线的斜率.知识点二瞬时速度与瞬时加速度思考瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？答案瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率.梳理(1)如果当t无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率.(2)如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率.1.曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的两条割线.()2.过曲线上任一点可能作不出一条切线.()3.有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.()4.平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度.()类型一求曲线在某点处的切线斜率例1如图，已知曲线yx3上一点P，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程.考点导数的概念题点根据定义求函数在某点处的切线斜率解(1)由yx3，得3x23xx(x)2，当x无限趋近于0时，无限趋近于x2.即点P处的切线的斜率为224.(2)在点P处的切线方程为y4(x2)，即12x3y160.反思与感悟解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想.即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当x无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率.跟踪训练1利用割线逼近切线的方法分别求曲线y2x2在x0，x1，x2处的切线斜率.考点导数的概念题点根据定义求函数在某点处的切线斜率解设P(x0，f(x0)，Q(x0x，f(x0x)，则割线PQ的斜率kPQ4x02x.当x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于4x0，从而曲线yf(x)在x0，x1，x2处的切线斜率分别为0，4，8.类型二求瞬时速度、瞬时加速度例2已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v3t22(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t2，t0.01时，求；(2)求质点M在t2s时的瞬时加速度.考点导数的概念题点瞬时加速度解6t3t.(1)当t2，t0.01时，6230.0112.03cm/s2.(2)当t无限趋近于0时，6t3t无限趋近于6t，则质点M在t2s时的瞬时加速度为12cm/s2.反思与感悟(1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别.(2)求瞬时加速度：求平均加速度；令t0，求出瞬时加速度.跟踪训练2质点M按规律S(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).若质点M在t2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.考点导数的概念题点瞬时速度解SS(2t)S(2)a(2t)21a2214ata(t)2，4aat.当t无限趋近于0时，4aat无限趋近于4a.在t2s时，瞬时速度为8m/s，4a8，a2.1.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为_.考点导数的概念题点根据定义求函数在某点处的切线斜率答案8解析82x.当x无限趋近于0时，82x无限趋近于8，曲线f(x)在点A处的切线斜率为8.2.任一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S3tt2，则物体的初速度是_.考点导数的概念题点瞬时速度答案3解析3t，当t无限趋近于0时，无限趋近于3.3.已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)t22t2，则在时间段1,1t内的平均加速度是_，在t1时的瞬时加速度是_.考点导数的概念题点瞬时加速度答案4t4解析在1,1t内的平均加速度为t4.当t无限趋近于0时，无限趋近于4，故在时间段1,1t内的平均加速度为4t，在t1时的瞬时加速度是4.4.已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为_.考点导数的概念题点根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数答案(3,30)解析设点P(x0,2x4x0).4x042x，当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，令4x0416，得x03，P(3,30).5.已知函数yf(x)在xx0处的导数为11，则当x趋近于零时，无限趋近于常数_.考点导数的概念题点导数的概念的理解答案11解析因为，所以无限趋近于常数11.1.曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率.2.瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度.一、填空题1.若质点A按照规律S3t2运动，则在t3时的瞬时速度为_.考点导数的概念题点瞬时速度答案18解析因为183t.当t无限趋近于0时，无限趋近于18，所以所求瞬时速度为18.2.曲线f(x)在点(9,3)处的切线斜率是_.考点导数的概念题点根据定义求函数在某点处的切线斜率答案解析因为，所以当x无限趋近于0时，无限趋近于，即曲线f(x)在点(9,3)处的切线斜率是.3.一物体的运动方程为S(t)t23t2，则其在t_时的瞬时速度为1.考点导数的概念题点瞬时速度答案2解析因为t2t03，所以当t无限趋近于0时，t2t03无限趋近于2t03.令2t031，得t02.4.已知曲线yx22上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为_.考点导数的概念题点根据定义求函数在某点处的切线斜率答案45解析xx，当x无限趋近于0时，无限趋近于x，曲线在点P处切线斜率为1，倾斜角为45.5.设f(x)在x处可导，则当h无限趋近于0时，无限趋近于_.考点导数的概念题点导数的概念的理解答案2f(x)6.若点(0,1)在曲线f(x)x2axb上，且在该点处的斜率为1，则ab_.考点导数的概念题点根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数答案2解析f(0)1，b1.又xa.当x无限趋近于0时，无限趋近于a，则a1.ab112.7.一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是vt2t2 (速度单位：m/s；时间单位：s)，则质点在t2 s时的瞬时加速度为_ m/s2.考点导数的概念题点瞬时加速度答案5解析t5，当t无限趋近于0时，t5无限趋近于5，即质点在t2s时的瞬时加速度为5m/s2.8.函数yx31在x1时的瞬时变化率是_.考点导数的概念题点瞬时变化率答案3解析(x)23x3；当x无限趋近于0时，(x)23x3无限趋近于3，所以f(x)在x1时的瞬时变化率是3.9.若直线yx是曲线yx33x2ax的切线，则a_.考点导数的概念题点根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数答案1或解析yx33x2ax，设切点坐标为(x0，y0)，(x)2(3x03)x3x6x0a.当x无限趋近于0时，无限趋近于3x6x0a.或10.曲线yx2上在点_处的切线与x轴成135的倾斜角.考点导数的概念题点根据定义求函数在某点处的切线斜率答案解析设P(x0，y0)是满足条件的点，y(x0x)2x2x0x(x)2，2x0x，当x无限趋近于0时，无限趋近于2x0，切线与x轴成135的倾斜角，其斜率为1，即2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点.二、解答题11.子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为Sat2，如果它的加速度是a5105m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6103s，求子弹射出枪口时的瞬时速度.考点导数的概念题点瞬时速度解运动方程为Sat2.因为Sa(t0t)2atat0(t)a(t)2，所以at0a(t).所以当t无限趋近于0时，无限趋近于at0.由题意知，a5105m/s2，t01.6103s，所以at08102800m/s，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.12.已知曲线y上两点P(2，1)，Q.求：(1)曲线在点P，Q处的切线的斜率；(2)曲线在点P，Q处的切线方程.考点导数的概念题点根据定义求函数在某点处的切线斜率解将P(2，1)代入y，得t1，y，设f(x).，当x无限趋近于0时，无限趋近于.(1)曲线在点P处的切线斜率为1，曲线在点Q处的切线斜率为.(2)曲线在点P处的切线方程为y(1)x2，即xy30，曲线在点Q处的切线方程为yx(1)，即x4y30.13.已知曲线y21，问曲线上哪一点处的切线与直线y2x3垂直，并求切线方程.考点导数的概念题点根据定义求函数在某点处的切线斜率解设切点坐标为(x0，y0)，.当x无限趋近于0时，无限趋近于.又直线y2x3的斜率为2，所以所求切线的斜率为，故.所以x04，y05，所以切点坐标为(4,5)，切线方程为y5(x4)，即x2y60.三、探究与拓展14.设函数f(x)在x2处的导数存在，则当x无限趋近于0时，无限趋近于_.考点导数的概念题点导数的概念的理解答案f(2)解析根据题意，由于函数f(x)在x2处的导数存在，且当x无限趋近于0时，无限趋近于f(2).所以当x无限趋近于0时，无限趋近于f(2).15.设P为曲线C：yx22x3上一点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为_.考点导数的概念题点根据函数在某点处的切线斜率，求坐标或参数答案解析可设点P的横坐标为x0，则x2x02，当x无限趋近于0时，无限趋近于2x02.曲线C在点P处的切线的斜率为2x02.由题意，得02x021，1x0，点P的横坐标的取值范围为.
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