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2018-2019学年陕西省四校联考高三（上）12月模拟数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，则A. 或B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先化简集合A，B，然后求二者并集即可.【详解】，则故应选D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.已知复数z=31-2i(i是虚数单位，则z的实部为A. -35B. 35C. -15D. 15【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】z=312i=31+2i12i1+2i=35+65i，z的实部为35故应选B【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)，则z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i，z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)ic2+d2.3.函数y=e|x|4x的图象可能是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=e41，排除A；当x+时，ex4x+，排除D故应选C【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知向量a=(1,-3)，b=(0,-2)，则与的夹角为A. 6B. 3C. 56D. 23【答案】A【解析】【分析】直接由向量的夹角公式代入求解即可得出答案.【详解】ab=23,|a|=2,|b|=2；cos=ab|a|b|=32；又0；a与的夹角为6故选：A【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式，属于基础题.5.直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较，判断二者位置关系.【详解】将圆的方程化为标准方程得xa22+y+b22=a2+b24，圆心坐标为a2,b2，半径r=a2+b22，圆心到直线axby=0的距离d=a2+b22a2+b2=a2+b22=r，则圆与直线的位置关系是相切故应选B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键6.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(a+b+c)(a+c-b)=3ac，则角B=(A. 23B. 3C. 56D. 6【答案】B【解析】【分析】由a+b+ca+cb=3ac，可得a2+c2b2=ac，结合余弦定理即可得到B的大小.【详解】由a+b+ca+cb=3ac，可得a2+c2b2=ac，根据余弦定理得cosB=a2+c2b22ac=12，B0,，B=3故应选B【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+c22bccosA；（2）cosA=b2+c2a22bc.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住30， 45， 60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.7.执行如图所示的程序框图，输出的S=(A. 25B. 9C. 17D. 20【答案】C【解析】【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当T=4+16=20S，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可【详解】按照程序框图依次执行为S=1，n=0，T=0；S=9，n=2，T=0+4=4；S=17，n=4，T=4+16=20S，退出循环，输出S=17故应选C【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.将一颗质地均匀的骰子一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为A. 112B. 19C. 16D. 14【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出点数之和为大于8的偶数有4种，由此能求出出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率【详解】将先后两次的点数记为有序数实数对x,y，则共有66=36个基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有4,6，6,4，5,5，6,6共4种，则满足条件的概率为436=19【点睛】本题考查了列举法求概率，求此类题目的基本思路是:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式求概率.9.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=1，AD=2，AA1=3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为A. 1414B. 19214C. 1313D. 13【答案】A【解析】【分析】由题，找出AB/A1B1，故C1AB(或其补角)为异面直线A1B1与AC1所成角，然后解出答案即可.【详解】如图，连接BC1，由AB/A1B1，C1AB(或其补角)为异面直线A1B1与AC1所成角，由已知可得BC1=22+32=13，则AC1=12+(13)2=14cosC1AB=114=1414即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为1414故选：A【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.10.设函数f(x)=sin(2x+4)+cos(2x+4)，则A. y=f(x)在(0,2)单调递增，其图象关于直线x=4对称B. y=f(x)在(0,2)单调递增，其图象关于直线x=2对称C. y=f(x)在(0,2)单调递减，其图象关于直线x=4对称D. y=f(x)在(0,2)单调递减，其图象关于直线x=2对称【答案】D【解析】f(x)=sin(2x+4)+cos(2x+4)=2sin(2x+2)=2cos2x,由02x,得0x0，且f(0)+f(3)=3，则实数a的值是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据表达式及f0+f3=3，解得实数a的值【详解】由题意知，f0=2，又f0+f3=3，则f3=1，又f3=lg3a+4=1，解得a=2故选：B【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围12.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2=23，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2.则3e12+1e22=(A. 4B. 23C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c结合椭圆与双曲线的定义,得PF1=a1+a2，PF2=a1-a2 ,在F1PF2中,根据余弦定理可得到a1,a2与c的关系式,变形可得3e12+1e22的值.【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：PF1+PF2=2a1，PF1-PF2=2a2，PF1=a1+a2，PF2=a1-a2，设F1F2=2c，F1PF2=23，则在PF1F2中由余弦定理得，4c2=a1+a22+a1-a22-2a1+a2a1-a2cos23，化简得3a12+a22=4c2，该式可变成3e12+1e22=4故选A【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c的关系式求解.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=lnx+2x2-4x，则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为_【答案】xy3=0【解析】【分析】求出导函数求出f1=1，从而利用点斜式得到切线的方程.【详解】fx=lnx+2x24x，fx=1x+4x4，f1=1，又f1=2，所求切线方程为y2=x1，即xy3=0故答案为：x-y-3=0【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率，其求法为：设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：yy0=f(x0)(xx0)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x014.若x，y满足约束条件x-2y-20x-y+10y0，则z=2x+y的最小值为_【答案】-11【解析】【分析】画出可行域如图,平移动直线根据纵截距的变化情况得到最小值.【详解】画出可行域如图所示，可知目标函数过点A4,3时取得最小值，zmin=24+3=11故答案为：-11【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.已知sin=2cos，则cos2的值是_【答案】35【解析】【分析】由已知得到tan=2，巧用“1”及弦化切得到所求的结果.【详解】由已知得tan=2，cos2=cos2sin2=cos2sin2sin2+cos2=1tan2tan2+1=144+1=35故答案为：-35【点睛】1利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用sincostan可以实现角的弦切互化2应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二3注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.16.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为323，则该三棱柱体积的最大值为_【答案】42【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高h=a2+b2，设外接球的半径为r，则43r3=323，解得r=2，上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，2h=2r=4h=22，a2+b2=h2=82ab，ab4当且仅当a=b=2时“”成立三棱柱的体积V=Sh=12abh=2ab42故答案为：42【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项等比数列an满足a1+a2=6，a3-a2=4(1)求数列an的通项公式；(2)记bn=1log2anlog2an+1，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）an=2n（2）Tn=nn+1【解析】【分析】(1) 由题意得a1+a1q=6a1q2-a1q=4，解出基本量即可得到数列an的通项公式； (2) 由（1）知，bn=1n-1n+1，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列an的公比为q，由已知q0， 由题意得a1+a1q=6a1q2-a1q=4，所以3q2-5q-2=0解得q=2，a1=2因此数列an的通项公式为an=2n （2）由（1）知，bn=1log2anlog2an+1=1nn+1=1n-1n+1， Tn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)1nn+k=1k1n-1n+k；（2） 1n+k+n =1kn+k-n； （3）12n-12n+1=1212n-1-12n+1；（4）1nn+1n+2=12 1nn+1-1n+1n+2；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄x2832384248525862收缩压y(单位mmHg)114118122127129135140147其中：b=i=1nxiyi-nx-y-i=1nxi2-nx-2,a=y-bx-，i=18xi2=17232，i=18xiyi=47384(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；(a,b的值精确到0.01)(3)若规定，一个人的收缩压为标准值的0.91.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.061.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.121.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？【答案】（1）见解析；（2）y=0.91x+88.05（3）见解析【解析】【分析】（1）根据表中数据即可得散点图；（2）由题意求出x，y，i=18xi2，i=18xiyi，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群【详解】（1）（2）x=28+32+38+42+48+52+58+628=45，y=114+118+122+127+129+135+140+1478=129b=i=18xiyi-nxyi=18xi2-8x2=47384-84512917232-8452=1181290.91a=y-bx=129-0.9145=88.05回归直线方程为y=0.91x+88.05（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.9170+88.05=151.75mmHg，180151.751.19收缩压为180mmHg的70岁老人为中度高血压人群【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算x,y,i=1nxi2,i=1nxiyi的值；计算回归系数a,b；写出回归直线方程为y=bx+a； 回归直线过样本点中心x,y是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.已知抛物线C；y2=2px过点A(1,1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值【答案】（1）y2=x（2）见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，1）的直线MN的方程为x=ty+1+3，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1k2的值【详解】（1）由题意得2p=1，所以抛物线方程为y2=x （2）设Mx1,y1，Nx2,y2，直线MN的方程为x=ty+1+3，代入抛物线方程得y2-ty-t-3=0 所以=t+22+80，y1+y2=t，y1y2=-t-3 所以k1k2=y1-1x1-1y2-1x2-1=y1-1y12-1y2-1y22-1=1y1+1y2+1=1y1y2+y1+y2+1=1-t-3+t+1=-12,所以k1，k2是定值【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，AA1平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点(1)求证：AE平面A1BD；(2)求二面角D-BE-B1的余弦值【答案】（1）见解析； （2）64.【解析】【分析】(1)根据线面垂直和面面垂直判定和性质,证得BDAE,通过三角形全等,证得A1DAE,再根据线面垂直的判定定理,证得AE平面A1BD;(2) 建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）AB=BC=CA，D是AC的中点，BDAC， AA1平面ABC，平面AA1C1C平面ABC，BD平面AA1C1C，BDAE又在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，易证得A1ADACEA1DA=AEC, AEC+CAE=90，A1DA+CAE=90 ,即A1DAE又A1DBD=D，AE平面A1BD （3）取A1C1中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，D0,0,0，E1,-1,0，B0,0,3，B12,0,3，DB=0,0,3，DE=1,-1,0，BB1=2,0,0，EB1=1,1,3， 设平面DBE的一个法向量为m=x,y,z，则DBm=0DEm=03z=0x-y=0，令x=1，则m=1,1,0， 设平面BB1E的一个法向量为n=a,b,c，则BB1n=0EB1n=02a=0a+b+3c=0，令c=3，则n=0,-3,3， 设二面角D-BE-B1的平面角为，观察可知为钝角，cosm,n=mnmn=-64，cos=-64，故二面角D-BE-B1的余弦值为-64【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了线面垂直与面面垂直的判定与性质，考查了二面角的余弦值的求法；利用向量解几何题的一般方法是：建立空间直角坐标系，用坐标表示各点，把线段转化为用向量表示，然后通过向量的运算或证明去解决问题.21.已知函数f(x)=e-x-ax(xR)，g(x)=ln(x+m)+ax+1当a=-1时，求函数f(x)的最小值；若对任意x(-m,+)，恒有f(-x)g(x)成立，求实数m的取值范围【答案】（1）1 ； （2）,1 .【解析】【分析】（1）求出函数fx的导数，根据导数判断函数的单调区间，进而求出函数的最小值；（2）要证-xgx，只需证明exln（x+m）+1成立即可，分情况讨论，采用分离参数法，构造新函数，利用导数求得符合条件的m的取值范围，进而问题得解.【详解】（1）当a=-1时，fx=e-x+x，则fx=-1ex+1 令fx=0，得x=0当x0时，fx0时，fx0 函数fx在区间-,0上单调递减，在区间0,+上单调递增 当x=0时，函数fx取得最小值，其值为f0=1 （2）由（1）得：exx+1恒成立 f-xgxex+axlnx+m+ax+1exlnx+m+1当x+1lnx+m+1恒成立时，即mex-x恒成立时，条件必然满足 设Gx=ex-x，则Gx=ex-1，在区间-,0上，Gx0，Gx是增函数，即Gx最小值为G0=1于是当m1时，条件满足 当m1时，f0=1，g0=lnm+11，即f0g0，条件不满足 综上所述，m的取值范围为-,1【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及分类讨论思想，考查了用导数求解不等式成立时，参数的取值范围；用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题，一般采用参数分离法，构造新函数，然后对构造函数求导解答.22.已知直线l的参数方程为x=4+12ty=32t(t为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2cos(I)求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；若直线=6与曲线C交于点A(不同于原点，与直线l交于点B，求|AB|的值【答案】（1）C:x2+y2=x;:cos(+6)=3;（2）332.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将=6分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|【详解】（1）=2cos，2=2cos，曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0 直线l的参数方程为x=4+12ty=32t（t为参数），3x-y=43直线l的极坐标方程为3cos-sin=43 （2）将=6代入曲线C的极坐标方程=2cos得=3，A点的极坐标为3,6 将=6代入直线l的极坐标方程得32-12=43，解得=43 B点的极坐标为43,6，AB=33【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题23.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|(1)当a=1时，求不等式f(x)3的解集；(2)x0R，f(x0)3，求a的取值范围【答案】（1）x2x1； （25,1）.【解析】【分析】(1) 当a=1时，可得出f（x）=|x1|+|x+2|，得到不等式|x1|+|x+2|3，讨论x值，去绝对值号，即可解出该不等式；(2) 可得到f（x）=|xa|+|x+2|a+2|，从而由题意即可得出|a+2|3，解出a的取值范围即可【详解】（1）当a=1时，fx=x-1+x+2，当x-2时，fx=-2x-1，令fx3，即-2x-13，解得x=-2，当-2x1时，fx=3，显然fx3成立，所以-2x1，当x1时，fx=2x+1，令fx3，即2x+13，解得x=1，综上所述，不等式的解集为x-2x1（2）因为fx=x-a+x+2x-a-x+2=a+2，因为x0R，有fx3成立，所以只需a+23，解得-5a1，所以a的取值范围为-5,1【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
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