资源描述
第三章 直线与方程考点1直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度(1)倾斜角的范围是0，180)(2)倾斜角与斜率的对应关系90时，ktan ；90时，斜率不存在(3)倾斜角与斜率的单调性问题当直线l的倾斜角从0增大到90时，直线l的斜率从0增大到；当直线l的倾斜角从90增大到180时，直线l的斜率从增大到0.(4)斜率公式：经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点的直线的斜率公式k(x1x2)，应用时注意其适用的条件x1x2，当x1x2时，直线的斜率不存在典例1已知某直线l的倾斜角45，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值解：由45，故直线l的斜率ktan 451，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2kP2P3kl，即1，解得x27，y10.对点训练1若三点A(3,1)，B(2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于_解析：A、B、C三点共线，kABkAC.，即b9.答案：9考点2直线的方程(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单典例2过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解：当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x.由题意1，即k1.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.对点训练2将直线的方程x2y60：(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距解：(1)将原方程移项得2yx6，两边同除以2，得斜截式yx3，因此它的斜率k，在y轴上的截距为3.(2)将原方程移项得x2y6，两边同除以6，得截距式1.由方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为6,3.考点3距离问题距离公式的运用：(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力典例3(2016九江高一检测)已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a、b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等解：(1)l1l2，a(a1)(b)10.即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0.原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a.因此或对点训练3已知正方形中心为点M(1,0)，一条边所在直线的方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解：正方形中心到直线x3y50的距离d.设与直线x3y50平行的直线方程为x3yC10.由正方形的性质，得，解得C15(舍去)或C17.所以与直线x3y50相对的边所在的直线方程为x3y70.设与直线x3y50垂直的边所在的直线方程为3xyC20.由题意，得，解得C29或C23.所以另两边所在直线的方程为3xy90和3xy30.考点4对称问题1对称问题的分类 对称问题2对称问题的求解策略(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于1；两点的中点在已知直线上(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的我们往往利用平行直线系去求解典例4光线通过点A(2,3)，在直线l：xy10上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程解：设点A(2,3)关于直线l的对称点为A(x0，y0)，则解得，A(4，3)由于反射光线经过点A(4，3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y1(x1)，即4x5y10.解方程组得反射点P.所以入射光线所在直线的方程为y3(x2)，即5x4y20.对点训练4一条光线从点A(1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标解：设P(x,0)，则kPA，kPB，依题意，由光的反射定律得kPAkPB，即，解得x2，即P(2,0)（时间120分钟 满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知直线l的方程为yx1，则直线l的倾斜角为()A30 B45 C60 D135解析：选D由题意可知，直线l的斜率为1，故由tan 1351，可知直线l的倾斜角为135.2(2016潍坊高一检测)点(1,1)到直线xy10的距离为()A1 B2 C. D.解析：选C由点到直线的距离公式d.3如果直线ax2y20与直线3xy20平行，则a的值为()A3 B6 C. D.解析：选B由题意得a(1)230，a6.4(2016广州高一模拟)若直线l与直线y1，x7分别交于P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. B C3 D3解析：选B设P(a,1)，Q(7，b)，则有故直线l的斜率为.5(2016福州八中高一检测)如果AB0，BC0，那么直线AxByC0不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选DAxByC0可化为yx，由AB0，BC0，0，故直线AxByC0经过第一、二、三象限，不经过第四象限6(2016平顶山高一检测)已知直线mxny10平行于直线4x3y50，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为()A4和3 B4和3C4和3 D4和3解析：选C由题意知：，即3m4n，且有，n3，m4.7两点A(a2，b2)和B(ba，b)关于直线4x3y11对称，则a，b的值为()Aa1，b2 Ba4，b2Ca2，b4 Da4，b2解析：选DA、B关于直线4x3y11对称，则kAB，即，且AB中点在已知直线上，代入得2(b2)311，解组成的方程组得8(2016濮阳质检)已知直线(3k1)x(k2)yk0，则当k变化时，所有直线都通过定点()A(0,0) B.C. D.解析：选C直线方程变形为k(3xy1)(2yx)0，则直线通过定点.9光线从点A(3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为()A5 B2 C5 D10解析：选C点A(3,5)关于x轴的对称点为A(3，5)，则光线从A到B的路程即AB的长，|AB|5.10已知直线l的倾斜角为135，直线l1经过点A(3,2)，B(a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2xby10与直线l1平行，则ab等于()A4 B2 C0 D2解析：选B因为l的斜率为tan 1351，所以l1的斜率为1，所以kAB1，解得a0.又l1l2，所以1，解得b2，所以ab2.11已知点M(1,0)和N(1,0)，直线2xyb与线段MN相交，则b的取值范围为()A2,2 B1,1C. D0,2解析：选A直线可化成y2xb，当直线过点M时，可得b2；当直线过点N时，可得b2，所以要使直线与线段MN相交，b的取值范围为2,212若直线l1：y2(k1)x和直线l2关于直线yx1对称，那么直线l2恒过定点()A(2,0) B(1，1) C(1,1) D(2,0)解析：选Cl1：kxxy2，由得l1恒过定点(0,2)，记为点P，与l1关于直线yx1对称的直线l2也必恒过一定点，记为点Q，且点P和Q也关于直线yx1对称令Q(m，n)，则即Q(1,1)，直线l2恒过定点(1,1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知点A(2,1)，B(2,3)，C(0,1)，则ABC中，BC边上的中线长为_解析：BC中点为(1,2)，所以BC边上中线长为.答案：14直线l与直线y1，xy70分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，1)，则直线l的斜率为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，又y11，y23，代入方程xy70，得x24，即B(4，3)，又1，x12，即A(2,1)，kAB.答案：15已知点M(a，b)在直线3x4y15上，则的最小值为_解析：的最小值为原点到直线3x4y15的距离：d3.答案：316若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_解析：依题意，知l1l2，故点M所在直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式，得|m7|m5|m6，即l：xy60，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为3.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2016绍兴高一检测)已知直线l的倾斜角为135，且经过点P(1,1)(1)求直线l的方程；(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A的坐标解：(1)ktan 1351，l：y1(x1)，即xy20.(2)设A(a，b)，则解得a2，b1，A的坐标为(2，1)18(本小题满分12分)已知两条直线l1：xm2y60，l2：(m2)x3my2m0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解：当m0时，l1：x60，l2：x0，l1l2.当m2时，l1：x4y60，l2：3y20，l1与l2相交当m0且m2时，由得m1或m3，由，得m3.故(1)当m1且m3且m0时，l1与l2相交(2)当m1或m0时，l1l2.(3)当m3时，l1与l2重合19(本小题满分12分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程解：若l在两坐标轴上截距为0，设l：ykx，即kxy0，则3.解得k6.此时l的方程为yx；若l在两坐标轴上截距不为0，设l：1，即xya0，则3.解得a1或13.此时l的方程为xy10或xy130.综上，直线l的方程为yx或xy10或xy130.20(本小题满分12分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x2y20上(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求ABC的面积解：(1)由题意可知，E为AB的中点，E(3,2)，且kCE1，CE所在直线方程为：y2x3，即xy10.(2)由得C(4,3)，|AC|BC|2，ACBC，SABC|AC|BC|2.21(本小题满分12分)已知ABC的顶点A(3，1)，AB边上的中线所在直线方程为6x10y590，B的平分线所在直线方程为x4y100，求BC边所在直线的方程解：设点B的坐标为(4y110，y1)，则AB的中点坐标为.AB的中点在直线6x10y590上，610590，解得y15，B(10,5)设点A关于直线x4y100的对称点为A(x，y)，则有解得即A(1,7)而BC边所在的直线经过点A，B，BC边所在直线的方程为，整理得2x9y650.22(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A点落在线段DC上(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；(2)当2k0时，求折痕长的最大值解：(1)当k0时，A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y.当k0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1)，A与G关于折痕所在的直线对称，有kOGk1k1ak.故G点坐标为(k,1)，从而折痕所在直线与OG的交点坐标(即线段OG的中点)为M.故折痕所在的直线方程为yk，即ykx.由得折痕所在的直线方程为ykx.(2)当k0时，折痕的长为2.当2k0时，折痕所在直线交直线BC于点E，交y轴于点N.则|NE|222244k244(74)3216.此时，折痕长度的最大值为2()而2()2，故折痕长度的最大值为2()
展开阅读全文