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2.2.3 圆与圆的位置关系 学业水平训练1两圆相交于点A(1,3)，B(m，1)，两圆的圆心均在直线l：xyc0上，则mc_.解析：由题意可知，ABl，由于k11，故kAB1，即1，解得m5.又AB的中点在直线l上，故31c0，解得c2.所以mc523.答案：32圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在直线被圆C3：(x1)2(y1)2所截得的弦长为_解析：由题意圆C1和圆C2公共弦所在的直线l为xy10.圆C3的圆心为(1,1)，其到l的距离d.由条件知，r2d2，弦长为2.答案：3点P在圆O: x2y21上运动，点Q在圆C：(x3)2y21上运动，则PQ的最小值为_解析：如图设连心线OC与圆O交于点P，与圆C交于点Q，当点P在P处，点Q在Q处时PQ最小，最小值为PQOCr1r21.答案：14若a2b24，则两圆(xa)2y21与x2(yb)21的位置关系是_解析：两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1r21，O1O22r1r2，两圆外切答案：外切5设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2_.解析：依题意，可设与两坐标轴相切的圆的圆心坐标为(a，a)，半径长为r，其中ra0，因此圆的方程是(xa)2(ya)2a2，由圆过点(4,1)得(4a)2(1a)2a2，即a210a170，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，所以C1C28.答案：86与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是_解析：曲线化为(x6)2(y6)218，其圆心到直线xy20的距离为d5.如图所示，所求的最小圆的圆心在直线yx上，其到直线的距离d，即为其半径，圆心坐标为(2,2)所求圆的标准方程为(x2)2(y2)22.答案：(x2)2(y2)227已知圆C1：x2y22x8y80，圆C2：x2y24x4y20，试判断圆C1与圆C2的位置关系解：法一：圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组得x2y10，即y.把代入，并整理，得x22x30, 其判别式(2)241(3)160，所以，方程有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别代入方程，得到y1，y2，因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)所以两圆相交法二：把圆C1的方程化成标准方程，得(x1)2(y4)225.圆C1的圆心是点(1，4)，半径长r15.把圆C2的方程化成标准方程，得(x2)2(y2)210，圆C2的圆心是点(2,2)，半径长r2.圆C1与圆C2的连心线的长为3，圆C1与圆C2的两半径长之和是r1r25，两半径长之差r1r25.而535，即r1r23r1r2，所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点所以圆C1与圆C2相交8圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心O2(2,1)(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且AB2，求圆O2的方程解：(1)由两圆外切，O1O2r1r2，r2O1O2r12(1)，故圆O2的方程是(x2)2(y1)2128，两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为xy120.(2)设圆O2的方程为：(x2)2(y1)2r.圆O1的方程为x2(y1)24，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x4yr80.作O1HAB，则AHAB，O1H.又圆心(0，1)到直线的距离为，得r4或r20，故圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.高考水平训练1若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.解析：如图，设两圆的公共弦为AB，AB交y轴于点C，连结OA，则OA2.把x2y24与x2y22ay60相减，得2ay2，即y为公共弦AB所在直线的方程，所以OC.因为AB2，所以AC，在RtAOC中，OC2OA2AC2，即431，因为 a0，所以a1.答案：12在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_解析：x2y28x150化成标准方程为(x4)2y21，则该圆的圆心为M(4,0)，半径长为1.若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径长的圆与圆C有公共点，只需要圆心M(4,0)到直线ykx2的距离d11即可，所以有d2，化简得k(3k4)0，解得0k(依据二次函数y3x24x的图象求解)，所以k的最大值是.答案：3已知经过点A(1，3)，B(0,4)的圆C与圆x2y22x4y40相交，它们的公共弦平行于直线2xy10，求圆C的方程解：设圆C的方程为x2y2DxEyF0，则两圆的公共弦方程为(D2)x(E4)yF40，由题意得圆C的方程为x2y26x160，即(x3)2y225.4已知点P(2，3)和以点Q为圆心的圆(x4)2(y2)29.(1)Q为PQ中点，画出以PQ为直径，Q为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q为圆心的圆和以Q为圆心的圆的两个交点A，B.直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB的方程解：(1)已知圆的方程为(x4)2(y2)232，Q(4,2)PQ中点为Q(1，)，半径为r，故以Q为圆心的圆的方程为(x1)2(y)2(如图所示)(2)PQ是圆Q的直径，PAAQ，PA是圆Q的切线，同理PB也是圆Q的切线(3)将圆Q与圆Q方程相减，得6x5y250.即直线AB的方程为6x5y250.
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