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4.4解三角形考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.用正、余弦定理解三角形1.理解正弦定理与余弦定理的推导过程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2017课标全国,11;2017课标全国,16;2017课标全国,15;2016课标全国,4;2016山东,8选择题、填空题、解答题2.解三角形及其应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2017山东,17;2016课标全国,9;2016课标全国,15分析解读解三角形是高考中的热点,以正、余弦定理为载体考查解三角形问题,命题呈现出如下几点:1.能利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题,解题时要在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式间的联系,会用方程与函数的思想解决三角形的最值问题.解三角形知识常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值大约为5分或12分.答案:60解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2ba2+c2-b22ac=aa2+b2-c22ab+cb2+c2-a22bc,即ba2+c2-b2ac=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=12,又0B180,所以B=60.五年高考考点一用正、余弦定理解三角形1.(2017课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则C=()A.12B.6C.4D.3答案B2.(2016山东,8,5分)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=()A.34B.3C.4D.6答案C3.(2015广东,5,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cos A=32且bc,则b=()A.3B.22C.2D.3答案C4.(2014江西,5,5分)在ABC中,内角A,B,C所对边的分别是a,b,c.若3a=2b,则2sin2B-sin2Asin2A的值为()A.-19B.13C.1D.72答案D5.(2013安徽,9,5分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=()A.3B.23C.34D.56答案B6.(2017课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=6,c=3,则A=.答案757.(2016北京,13,5分)在ABC中,A=23,a=3c,则bc=.答案18.(2015重庆,13,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-14,3sin A=2sin B,则c=.答案49.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35.所以sin A=1-cos2A=45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.11.(2015山东,17,12分)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=33,sin(A+B)=69,ac=23,求sin A和c的值.解析在ABC中,由cos B=33,得sin B=63,因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=69.因为sin Csin B,所以Cb,则B=()A.6B.3C.23D.56答案A13.(2013北京,5,5分)在ABC中,a=3,b=5,sin A=13,则sin B=()A.15B.59C.53D.1答案B14.(2013湖南,5,5分)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=3b,则角A等于()A.3B.4C.6D.12答案A15.(2015福建,14,4分)若ABC中,AC=3,A=45,C=75,则BC=.答案216.(2015安徽,12,5分)在ABC中,AB=6,A=75,B=45,则AC=.答案217.(2015北京,11,5分)在ABC中,a=3,b=6,A=23,则B=.答案418.(2014山东,17,12分)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=63,B=A+2.(1)求b的值;(2)求ABC的面积.解析(1)在ABC中,由题意知,sin A=1-cos2A=33,因为B=A+2,所以sin B=sinA+2=cos A=63.由正弦定理可得b=asinBsinA=36333=32.(2)由B=A+2得cos B=cosA+2=-sin A=-33.由A+B+C=,得C=-(A+B).所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=33-33+6363=13.因此ABC的面积S=12absin C=1233213=322.19.(2014课标,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C,BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C.由,得cos C=12,故C=60,BD=7.(2)四边形ABCD的面积S=12ABDAsin A+12BCCDsin C=1212+1232sin 60=23.20.(2014陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值.解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)由题设有b2=ac,c=2a,b=2a,由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a24a2=34.21.(2014湖南,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=7,EA=2,ADC=23,BEC=3.(1)求sinCED的值;(2)求BE的长.解析设CED=.(1)在CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC,得7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理得ECsinEDC=CDsin,得sin =CDsin23EC=2327=217,即sinCED=217.(2)由题设知,03,于是由(1)知,cos =1-sin2=1-2149=277.而AEB=23-,所以cosAEB=cos23-=cos23cos +sin23sin =-12cos +32sin =-12277+32217=714.在RtEAB中,cosAEB=EABE=2BE,故BE=2cosAEB=2714=47.22.(2013湖北,18,12分)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积S=53,b=5,求sin Bsin C的值.解析(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去).因为0A,所以A=3.(2)由S=12bcsin A=12bc32=34bc=53,得bc=20.又b=5,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=21.由正弦定理得sin Bsin C=basin Acasin A=bca2sin2A=202134=57.23.(2013天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=23.(1)求b的值;(2)求sin2B-3的值.解析(1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=3csin B,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b2=a2+c2-2accos B,cos B=23,可得b=6.(2)由cos B=23,得sin B=53,进而得cos 2B=2cos2B-1=-19,sin 2B=2sin Bcos B=459.所以sin2B-3=sin 2Bcos3-cos 2Bsin3=45+318.考点二解三角形及其应用1.(2016课标全国,9,5分)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则sin A=()A.310B.1010C.55D.31010答案D2.(2014四川,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m答案C3.(2013课标全国,10,5分)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5答案D4.(2013课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=6,C=4,则ABC的面积为()A.23+2B.3+1C.23-2 D.3-1答案B5.(2017浙江,14,5分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案152;1046.(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案21137.(2014课标,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.答案1508.(2017山东,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.解析因为ABAC=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A,所以A=34.又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2322-22=29,所以a=29.9.(2016天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.(1)求B;(2)若cos A=13,求sin C的值.解析(1)在ABC中,由asinA=bsinB可得asin B=bsin A,又由asin 2B=3bsin A得2asin Bcos B=3bsin A=3asin B,所以cos B=32,得B=6.(2)由cos A=13可得sin A=223,则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sin A+12cos A=26+16.10.(2015课标,17,12分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90,且a=2,求ABC的面积.解析(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=14.(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90,所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,故c=a=2.所以ABC的面积为1.(12分)11.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC;(2)若BAC=60,求B.解析(1)由正弦定理得ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD.因为AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sinB.由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30.教师用书专用(1225)12.(2013山东,7,5分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=3,则c=()A.23B.2C.2D.1答案B13.(2013陕西,9,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定答案A14.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为107 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=107,AM=40,所以MC=402-(107)2=30,从而sinMAC=34.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=P1Q1sinMAC=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=62-142=24,从而GG1=KG12+GK2=242+322=40.设EGG1=,ENG=,则sin =sin2+KGG1=cosKGG1=45.因为2,所以cos =-35.在ENG中,由正弦定理可得40sin=14sin,解得sin =725.因为02,所以cos =2425.于是sinNEG=sin(-)=sin(+)=sin cos +cos sin =452425+-35725=35.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG,Q2为垂足,则P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=P2Q2sinNEG=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)15.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin 3=2sinB,从而sin B=217,又由ab,知AB,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos 3+cos Bsin 3=32114.所以ABC的面积为12absin C=332.16.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan4+A=2.(1)求sin2Asin2A+cos2A的值;(2)若B=4,a=3,求ABC的面积.解析(1)由tan4+A=2,得tan A=13,所以sin2Asin2A+cos2A=2tanA2tanA+1=25.(2)由tan A=13,A(0,),得sin A=1010,cos A=31010.又由a=3,B=4及正弦定理asinA=bsinB,得b=35.由sin C=sin(A+B)=sinA+4得sin C=255.设ABC的面积为S,则S=12absin C=9.17.(2015天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14.(1)求a和sin C的值;(2)求cos2A+6的值.解析(1)在ABC中,由cos A=-14,可得sin A=154.由SABC=12bcsin A=315,得bc=24,结合b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.由asinA=csinC,得sin C=158.(2)cos2A+6=cos 2Acos6-sin 2Asin6=32(2cos2A-1)-122sin Acos A=15-7316.18.(2015四川,19,12分)已知A,B,C为ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x2+3px-p+1=0(pR)的两个实根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=6,求p的值.解析(1)由已知得,方程x2+3px-p+1=0的判别式=(3p)2-4(-p+1)=3p2+4p-40.所以p-2,或p23.由韦达定理,有tan A+tan B=-3p,tan Atan B=1-p.于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p0,从而tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=-3pp=-3.所以tan C=-tan(A+B)=3,所以C=60.(2)由正弦定理,得sin B=ACsinCAB=6sin603=22,解得B=45,或B=135(舍去).于是A=180-B-C=75.则tan A=tan 75=tan(45+30)=tan45+tan301-tan45tan30=1+331-33=2+3.所以p=-13(tan A+tan B)=-13(2+3+1)=-1-3.19.(2014辽宁,17,12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知BABC=2,cos B=13,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由BABC=2得cacos B=2.又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13得a=2,c=3或a=3,c=2.因为ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=1-132=223.由正弦定理,得sin C=cbsin B=23223=429.因为a=bc,所以C为锐角,因此cos C=1-sin2C=1-4292=79.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1379+223429=2327.20.(2014大纲全国,18,12分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=13,求B.解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=13,所以cos C=2sin C,tan C=12.所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=tanA+tanCtanAtanC-1=-1,所以B=135.21.(2014安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,ABC的面积为2,求cos A与a的值.解析由三角形面积公式,得1231sin A=2,故sin A=223.因为sin2A+cos2A=1,所以cos A=1-sin2A=1-89=13.当cos A=13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-21313=8,所以a=22.当cos A=-13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213-13=12,所以a=23.22.(2014重庆,18,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.(1)若a=2,b=52,求cos C的值;(2)若sin Acos2B2+sin Bcos2A2=2sin C,且ABC的面积S=92sin C,求a和b的值.解析(1)由题意可知c=8-(a+b)=72.由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=22+522-7222252=-15.(2)由sin Acos2B2+sin Bcos2A2=2sin C可得sin A1+cosB2+sin B1+cosA2=2sin C,化简得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知a+b=3c.又因为a+b+c=8,所以a+b=6.由于S=12absin C=92sin C,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.23.(2013重庆,18,13分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.(1)求A;(2)设a=3,S为ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.解析(1)由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=-3bc2bc=-32.又因0A,所以A=56.(2)由(1)得sin A=12,又由正弦定理及a=3得S=12bcsin A=12asinBsinAasin C=3sin Bsin C,因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C).所以,当B=C,即B=-A2=12时,S+3cos Bcos C取最大值3.24.(2013浙江,18,14分)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=3b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积.解析(1)由2asin B=3b及asinA=bsinB,得sin A=32.因为A是锐角,所以A=3.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=283.由S=12bcsin A,得ABC的面积为733.25.(2013四川,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35.(1)求sin A的值;(2)若a=42,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.解析(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35.则cos(A-B+B)=-35,即cos A=-35.又0Ab,则AB,故B=4.根据余弦定理,有(42)2=52+c2-25c-35,解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=22.(12分)三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一用正、余弦定理解三角形1.(2018河南中原名校第三次联考,7)ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若B=2A,a=1,b=3,则c=()A.1B.2C.2D.23答案C2.(2017湖北黄冈3月质检,6)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=52b,A=2B,则cos B=()A.53B.54C.55D.56答案B3.(2017福建厦门12月联考,6)在锐角ABC中,a,b,c分别为A、B、C的对边,若向量m=(a-b,1)和n=(c-b,1)平行,且sin B=45,当ABC的面积为32时,b=()A.3B.1+32C.4D.2+3答案A考点二解三角形及其应用4.(2018江西师大附中10月模拟,7)已知ABC中,满足b=2,B=60的三角形有两解,则边长a的取值范围是()A.32a2 B.12a2C.2a433D.2a0,c0,3ac3a+c22,(3a+c)2-434(3a+c)2,即(3a+c)216,当且仅当3a=c,即a=23,c=2时取等号,所以3a+c的最大值为4.(10分)又在ABD中,3a+c2,(11分)故3a+c的取值范围是(2,4.(12分)9.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).BCD=CDE=23,BAE=3,DE=3BC=3CD=910 km.(1)求道路BE的长度;(2)求生活区ABE的面积的最大值.解析(1)如图,连接BD,在BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=27100,BD=3310 km.BC=CD,BCD=23,CBD=CDB=-232=6,又CDE=23,BDE=2.在RtBDE中,BE=BD2+DE2=33102+9102=335(km).故道路BE的长度为335 km.(6分)(2)设ABE=,BAE=3,AEB=23-.在ABE中,ABsinAEB=AEsinABE=BEsinBAE=335sin 3=65,AB=65sin23-km,AE=65sin km.(8分)SABE=12ABAEsin 3=9325sin23-sin =932512sin2-6+14km2,023,-62-676.当2-6=2,即=3时,SABE取得最大值,最大值为932512+14=273100 km2,故生活区ABE面积的最大值为273100 km2.(12分)10.(2017山西、河南、河北三省12月联考,17)如图,在ABC中,sin C=154,且2C,AB=8,若12sinBAC=ABsin B.(1)求ABC的面积;(2)已知D在线段BC上,且BAD=CAD,求sinCAD的值以及AD的长.解析(1)记AC=b,BC=a,AB=c,因为sin C=154,且2C,所以cos C=-1-sin2C=-14.因为12sinBAC=ABsin B,且AB=8,所以12sinBAC=8sin B,由正弦定理得3a=2b.在ABC中,c2=a2+b2-2abcos C=a2+9a24+2a3a21464=4a2,解得a=4,又3a=2b,故b=6.故ABC的面积S=12absin C=1246154=315.(2)依(1)得cosBAC=b2+c2-a22bc=78,又由已知得cosBAC=1-2sin2CAD,所以sinCAD=14,故sinADC=sin(DAC+C)=14-14+154154=78,故ADsinC=ACsinADCAD154=678AD=12157.C组20162018年模拟方法题组方法1正弦定理和余弦定理的应用方法1.(2017广东七校第一次联考,7)在ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,若a,b,c成等比数列,A=45,则bsinBc=()A.12B.32C.22D.34答案C2.(2018豫北、豫南精英对抗赛,16)已知锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,其外接圆半径为233,b=2,则ABC的周长的取值范围是.答案(2+23,63.(2018河南信阳第一次质检,20)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A+3cos A=2.(1)求角A的大小;(2)现给出三个条件:a=2;B=45;c=3b.试从中选出两个可以确定ABC的条件,写出你的选择,并以此为依据求ABC的面积.(只写出一个方案即可)解析(1)sin A+3cos A=2可化为2sinA+3=2,所以sinA+3=1.因为0A1,故这样的ABC不存在.4.(2017河北唐山一模,17)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=6,求A,C;(2)若C=23,c=14,求SABC.解析(1)由已知B=6,a2-ab-2b2=0结合正弦定理化简整理得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=-12(舍).因为0A0,所以a-2b=0,即a=2b,联立解得b=27,a=47.所以SABC=12absin C=143.方法2三角形形状的判断方法5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在ABC中,若bcosCccosB=1+cos2C1+cos2B,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D6.(2017湖北荆州中学12月模拟,9)a,b,c为ABC三边长,a1,bc,若log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)alog(c-b)a,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案B7.(2016江西丰城中学月考,10)在ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2C2+12,则ABC为()A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角非等边三角形D.等腰直角三角形答案D方法3解三角形应用题的方法8.(2017湖北七校联考,16)三国魏人刘徽自撰海岛算经,专论测高望远.其中有一题:今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?译文如下:要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高均为3丈的标杆BC和DE,前后标杆相距1 000步,使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上,从前标杆杆脚B退行123步到F,人眼著地观测到岛峰,A、C、F三点共线,从后标杆杆脚D退行127步到G,人眼著地观测到岛峰,A、E、G三点也共线,则岛峰的高度AH=步.(古制:1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步)答案1 2559.(2016吉林五校第一次联考,14)2015年8月6日凌晨,马来西亚总理纳吉布在吉隆坡确认,7月29日在法属留尼汪岛发现的飞机残骸来自515天前失联的马航MH370.若一架侦察机以500米/秒的速度在留尼汪岛上空平行于地面匀速飞行时,发现飞机残骸在侦察机前方且俯角为30的地面上,半分钟后,侦察机发现飞机残骸仍在其前方且俯角为75的地面上,则侦察机的飞行高度是米.(保留根号)答案3 750(3+1)10.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地OAB,其中OA=3 km,OB=33 km,AOB=90,当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且MON=30.(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;(2)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使OMN的面积最小,并求出最小面积.解析(1)在OAB中,因为OA=3,OB=33,AOB=90,所以OAB=60.在OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcos A=7,所以OM=7,所以cosAOM=OA2+OM2-AM22OAOM=277,在OAN中,sinONA=sin(A+AON)=sin(AOM+90)=cosAOM=277.在OMN中,由MNsin30=OMsinONA得MN=727712=74.故点M,N之间的距离为74 km.(2)设AOM=,03.在OAM中,由OMsinOAB=OAsinOMA得OM=332sin+3.在OAN中,由ONsinOAB=OAsinONA得ON=332sin+2=332cos.所以SOMN=12OMONsinMON=12332sin+3332cos12=2716sin+3cos=278sincos+83cos2=274sin2+43cos2+43=278sin2+3+43,因为03,所以2+33,所以当2+3=2,即=12时,SOMN取最小值27(2-3)4.所以应设计AOM=12,可使OMN的面积最小,最小面积是27(2-3)4 km2.
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